群论的算法是一个很有意义的问题。在实际应用中遇到的群大都十分复杂,需要借助于计算机来实现其运算。本文用计算机代数系统Mathematica实现了置换群上的运算和证明问题。 针对置换群上的基本运算、子群的运算和生成以及群对集合的作用等问题,我们设计了相应的算法并用Mathematica实现了这些算法。 把交代群A_n的元素按共轭分类,将除单位元所在共轭类之外的其它共轭类的阶数进行所有可能的组合相加,对所得的每个数加上单位元所在共轭类的阶数1,然后用所得结果依次去除|A_n|,如果其中存在某个数k,使得k能够整除|A_n|,则只有阶数相加为k的那些共轭类的并集所生成的群才有可能成为A_n的非平凡的正规子群。从这个理论出发,我们设计了用计算机代数的方法判断A_n是否为单群的算法,当n<10时都能很快地得出A_n(n≠4)为单群的结论。 Caley定理揭示了一个抽象群G和一个具体的群S_n的关系。如果能把S_n中所有不同构的n阶子群都找出来,那么也就能把所有可能存在的n阶群都找出来了。本文讨论了计算对称群的所有子群并对其进行共轭分类的算法,作为例子,我们完成了S_n(n≤7)的所有子群的共轭分类。