图论是现代数学的重要分支之一，图的染色问题是图论中的热点也是难点.图的染色问题起源于著名的“四色定理”，即给平面上的任何一张地图着色，使得有公共边界的国家染上不同的颜色，至多使用四种颜色([1-3])。后来，有些学者将平面图的染色问题扩展到1-平面图的染色研究。一个图称为是1-平面的当且仅当它可以画在一个平面上，使得它的任何一条边最多交叉另外一条边。1984年，Bordin[4]证明了1-平面图是6-可染的。1976年，Steinberg[5]提出猜想：不含4-圈和5-圈的平面图是3-可染的。为了证明Steinberg猜想，学者把平面图的正常点染色推广到非正常点染色，Xu[6]证明了不含4-圈和5-圈的平面图是(1,1,0)-可染的；Hill[7]证明了不含4-圈和6-圈的平面图是(3,0,0)-可染的;Xu[8]证明了不含4-圈和6-圈的平面图是(1,1,0)-可染的；Wang[10]证明了不含4-圈和6-圈的平面图是(2,0,0)-可染的等等.2011年，Chang[11]研究了Steinberg猜想并考虑了附近的染色。1986年，L.Cowen[12]提出了图的缺陷染色。　　图G的点染色是对图G的顶点集的一种剖分.如果图G的顶点集V可以剖分成互不相交的k个部分，给每一部分染上同一种颜色并且使得每部分的生成子图满足某种要求。若剖分产生的各部分都是点独立集，则为图G的正常点染色，否则称为图G的非正常点染色。如果对每部分剖分的导出子图中顶点的度数做限制,使得G[Vi]中所有顶点的度均不超过忒,则称图G是(d1,d2,…,dk)-可染的[12]。图的色数是指给一个图染色所用的最少颜色数。如果存在映射Φ:V→(1,…,dk},满足uv∈E时,Φ(u)=Φ(v),则称Φ是G的一个k-染色。若G有一个k-染色，则称G是k-可染的。　　关于图的正常点染色，主要有以下结果：　　⑴[四色定理[3]]平面图是4-可染的；　　(2)1-平面图是6-可染的([4]);　　(3)[Steinberg猜想叫不含4-圈和5-圈的平面图是3-可染的；　　(4)若图G为平面图，且不含长度为4,5,6,7的圈，则图G是3-可染的([13]);　　(5)若图G为平面图且不含长度为4,5,6,8的圈，则图G是3-可染的([14])　　(6)若图G为平面图且不含长度为4,5,6,9的圈，则图G是3-可染的([15]);　　(7)若图G为平面图且不含长度为4,5,7,8的圈，则图G是3-可染的([16]);　　(8)若图G为平面图且不含长度为4,6,7,8的圈，则图G是3-可染的([17]);　　(9)若图G为平面图且不含长度为4,6,8,9的圈，则图G是3-可染的([18]);　　(10)若图G为平面图，且不含长度为4,7,8,9的圈，则图G是3-可染的([19]);　　此外，Bordin等人在([20-26])中也研究了平面图的3-可染性。关于图的对每个剖分中点的度数做限制的非正常点染色，主要有以下结果：　　⑴若图G为平面图,且不含4-圈和5-圈，则图G是(1,1,0)-可染的([6]);　　(2)若图G为平面图，且不含4-圈和5-圈，则图G是(3,0,0)-可染的([7]);　　(3)若图G为平面图，且不含4-圈和6-圈，则图G是(1,1,0)-可染的([8]);　　⑷若图G为平面图，且不含4-圈和6-圈，则图G是(2,0,0)-可染的([10]);　　基于目前对图的点染色的研究，本人跟随前面学者的脚步，继续对图的染色问题进行研究。　　在第一章主要介绍了论文中所涉及的一些概念和术语符号以及本文的研究背景和已有的一些结果。　　在第二章中，我们仍然考虑传统的正常点染色问题,但我们将平面图的正常点染色研究推广到1-平面图的正常点染色研究。Bordin[4]证明了1-平面图是6-可染的，本文考虑不含4-圈且5-点不与5-点相邻的1-平面图的点染色，得到下面的结果：　　定理1.如果图G是1-平面图，满足图G不包含4-圈并且图G中5-点不与5-点相邻，那么图G是5-可染的。　　定理1是在1-平面图的正常点染色中，限制掉图中的4-圈，满足5-点不与5-点相邻，将1-平面图的正常点染色色数由6降到5。证明过程我们使用的是平面图的Euler公式，利用权转移的方法进行证明得出结果。　　在第三章中，我们将平面图的点染色研究推广到1-平面图的点染色研究，由正常的点染色问题研究推广到对每个剖分的生成子图中顶点的度数做限制的退化点染色研究。受X.Luo,M.Chen,Wang。等人在参考文献[17][18][19]中研究的启发,本文考虑的是不含3,4,5圈的1-平面图的退化点染色，得到下面的结果：　　定理2.不含3,4,5圈的1-平面图是（1,1,1,1)-可染的；　　定理2将1-平面图的正常点染色推广到不含某些结构的1-平面图的退化点染色，将每个色集的点导出子图由正常染色的点独立集放松到点导出子图中顶点的度数均不大于1.色数由6降到4。　　在第四章中，我们提出了一种新的非正常点染色。在这种非正常点染色中,我们没有对单色集的导出子图中顶点的度数做限制，而是使得单色集的导出子图中围长至少为l或者不含长度为l的圈。　　定义1:图G=(V,E)为有限图，给图G的顶点集一个颜色分配，使得每个色类的导出子图中围长至少为l,满足上述条件的染色称为图G的 l-围长染色。图G进行l-围长染色所需要的最小的色数称为图G的l-围长点色数,记作χgl(G)。　　定理3.G是一个图，△≤4并且G≠K5,那么χgl(G)≤2。　　定义2:图G=(V,E)为有限图，给图G的顶点一个颜色分配，使得每个色类的导出子图中不含长度为/的圈，满足上述条件的染色称为图G的无1-圈点染色。图G进行无l-圈点染色所需要的最小的色数称为图G的无l-圈点色数，记作知χcl-f(G)。　　定理4. G是一个图，△≤4时,χcl-f(G)≤2。