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本文研究了Dirichlet除数问题在Pjateckiǐ-(S)apiro素数定理条件下和无k次因子数集合中的推广.
数论中的一个著名问题就是研究除数函数d(n)的均值估计∑d(n)=xlogx+(2γ-1)x+△(x)，n≤xDirichlet首先得到了余项的估计△(x)《x1/2(1849).为了纪念他，人们把该问题叫做Dirichlet除数问题.后来，人们不断改进而得到了下面的结果：△(x)(《)x1/3logxVoronoi(1904)△(x)(《)x27/82vanderCorput(1928)△(x)(《)x346/1067Kolesnik(1973)△(x)(《)x35/108log2xKolesnik(1982)△(x)(《)x23/73log315/146xHuxley(1993)△(x)(《)x131/416log26957/8320xHuxley(2003)虽然这些结果越来越好，但离预期还有一段距离一一猜想(未解决)对任意小的正数ε，有△(x)(《)x1/4+ε.同样的，人们也考虑在特定条件下的除数问题.Heath-Brown[9]，Iwanicc研究了算数序列(等差数列)中的Dirichlet除数问题：∑n≤xn=a(modq)=c1(a,q)xlogx+c2(a，q)x+E(x；a，q).设c＞0为固定实数，令πc(x)表示不超过实数x的整数n的个数，其中这些整数满足：[nc]是一个素数.人们对这样的数感兴趣.Pjateckiǐ-(S)apiro[11]首先证πc(x)=x/clogx(1+o(1))对0＜c＜12/11成立.其中，0＜c≤1时是素数定理的显然推论；1＜c＜12/11时是非显然结果，不能由素数定理得到.令Nc表示不超过实数x且满足上述条件的所有整数，Balog[2]当0＜c＜5/6时，得到了∑1p≤xp∈Nc=x/clog2x(1+o(1)).本文第一章即研究了在Pjateckiǐ-(S)apiro素数定理条件下的Dirichlet除数问题，得到了定理1.1∑n≤xn∈Ncd(n)=1/cx+1/c(2γ-1/c)x/logx+O(xe-c√logx)，对0＜c＜4/5成立.其中，c＞0是常数.第二章研究了n是无k次因子数时的问题，得到了一般结果定理2.1∑d(n)fk(n)=Axlogx+Bx+Ek(x)，其中A，B是与κ有关的可算常数，{x1/2e-c2δ(x)，k=2；Ek(x)x1/3e-c3δ(x)，k=3；xθ，k≥4.由于κ≥4得不到很好的余项估计，所以本章又研究了小区间上的问题，得到定理2.2设xθ+2ε≤y≤x，则有∑d(n)fk(n)=C(x+y)log(x+y)-Cxlogx+Dy+O(yx-ε/2+xθ+ε)，其中C，D是与κ有关的可算常数.