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对于有限群G，令Cent(G)={C<,G>(x)|x∈G}为G所有元素的中心化子组成的集合，令＃Cent(G)为该集合的元素个数．如果＃Cent(G)=n，则称G为n-centralizer群显然，G为1-centralizer群当且仅当G为交换群．
1994年，Belcastro和Sherman在[8]一文中证明了1) 对于n=2，3，不存在n-centralizer群．
2) G为4-centralizer群当且仅当G/Z(G) Z<,2>×Z<,2>3) G为5-centralizer群当且仅当G/Z(G) Z<,3>×Z<,3>或对称群S<,3>．
本文采用相似的手法，定义n-normalizer群，并证明一些相关结论．大致罗列如下：
定义设G为有限群，记Norm(a)={NG(x)|x∈G}，＃Norm(G)=|{N<,G>(x)|x ∈G}|为集合的元素个数．如果＃Norm(G)=n，则称G为n-normalizer群．
本文讨论的群均为有限群．
命题1 G是1-normalizer群当且仅当G是Dedekind群，进而G是幂零群，也是可解群．
命题2如果H≤G且H，G分别是m，n-normalizer群，则m≤n．
命题3 设 G 是幂零群， |G|=P><,1>p><,2>…p><,s>，其中Pi是素数， e<,i>是正整数．设P<,i>是Sylow P<,i>-子群，其中i=1，2，…，s，G=P<,1>×P<,2>×…×P<,s>．若P<,i>是n<,i>-normalizer群，则G是n-normalizer群，其中n=n<,1>n<,2>…n<,s>．
命题4 设 G=M<,1>×M<,2>，(|M<,1>|，|M<,2>|)=1，且M<,1>，M<,2>分别是m<,1>，m<,2>-normlaizer群，则G是m<,1>m<,2>-normalizer群．
定理1 对任意的整数n，存在n-normalizer群．
猜想对任意的整数n，存在n-normalizer P-群．
定理2 设G为有限群，且＃Norm(G)≤3，则G为幂零群．
命题5 设G为有限P-群，P为素数，P>2且＃Norm(G)=2，则G″=1·
命题6设G为有限2-群， ＃Norm(G)=2．令N=N<,G>(x)≤G对于某个x∈G，则N为交换群．
定理3 设G为有限p-群，＃Norm(G)=2．令N=NG(x)≤G对于某个x∈G，则N为交换群．
命题7 设G为2-群，且＃Norm(G)=2，则G"=1．
定理4 设G为有限群，且＃Norm(G)=2，则G"=1．
定理5 设G为内交换p-群，且G有生成关系：G=>=y>=1，yx=x<1+P>Y>，其中a≥2，b ∈z<+>．如果当P为奇素数时， a>b;当p=2时， a≥3且a>b，那么＃Norm(G)=2．