尺规作图指的是利用圆规和直尺进行作图，其规则是，圆规只能画指定圆心和半径的圆或圆弧，直尺只能画经过两点的直线，射线或线段.尺规作图是数学解题中的一种常见题型，如果将尺规作图与物理问题有机结合起来，不仅可以巩固我们相关的数学知识，而且还能使我们对物理规律的内涵有更深入的理解.本文以密度计刻度线标注为例，介绍尺规作图在物理解题中的应用.
　　密度计是测量液体密度的一种仪器，它是根据漂浮在不同密度液面的同一物体，排开液体的质量相同，而由于液体密度不同排开体积不同的原理而制作的.密度计的构造非常简单，一个中空的圆柱玻璃管，下面坠一大小合适的金属重物，能够在各种不同密度的液面漂浮即可.
　　与一般的测量工具不同，由于液体密度越大，漂浮在液面的密度计露出的体积也越大，但露出的体积并不与液体的密度成正比，所以，密度计的刻度盘越往下，数据越大，且刻度线不均匀.我们不妨通过一个具体实例来看一下，如何给截面均匀的柱状密度计标刻度线.
　　例1 如图1，某同学在中空圆柱体试管下粘贴一小铁块自制一只密度计，用来测量液体的密度.将自制密度计分别放入密度为1 g/cm3和2 g/cm3的液体中时，液面分别在密度计的A、B位置，为使测量方便、精确，该同学拟将刻度线画在一张纸条上，并粘贴在试管的内部.请用尺规作图法在图中标出0.5、1.5和2.5刻度线.
　　分析 试管下面粘贴金属铁块后，整个密度计是一个外形不规则的几何体.为方便研究，我们另选一个规则的圆柱体与该密度计进行比较（即图2中的（b），实际上，实验室学生使用的密度计的外形大都如图2（a）所示）所选圆柱体质量、体积及截面大小都与自制密度计相同，并且与自制密度计一样，圆柱体的重心也在其下部——浮心的下方（目的是能够“直立”地漂浮在液面上，如果密度计的重心在浮心之上，放入液体中，密度计将无法直立在液面上），这样的圆柱体不仅存在，而且大小形状是唯一确定的.当自制密度计与参照圆柱体漂浮在同一种液体的液面时，因为他们的质量相同，所以他们排开液体的体积相等；又因为他们的截面大小一样，体积相同，所以当它们在同一种的液体中漂浮时，露出液面的高度也相同，因此，圆柱体（b）和自制密度计（a）上的刻度线间隔规律的变化是一样的，所以，我们只需在（b）中标出需要的刻度线即可.就图2（b）而言，当它漂浮在不同的液面之上时，排开液体的质量相同，都等于圆柱体的质量，所以，圆柱体排开液体的体积与液体的密度成反比，又因为圆柱体的体积正比于高度，所以，漂浮着的圆柱体浸入液体中的高度与液体的密度成反比.
　　解析 如图3，设圆柱体在ρ1=1 g/cm3和ρ2=2 g/cm3的液面漂浮时，排开液体的体积分别为V1和V2，则有V1=2V2，所以，2.0刻度线B一定在1.0刻度线A与圆柱体底面O的正中间，即BO=BA，当圆柱体飘浮在密度为ρ3=0.5 g/cm3的液面时，排开液体的体积V3应为在密度ρ1=1 g/cm3液体液面漂浮时排开体积V1的2倍，所以，以A为圆心，AO为半径作弧，与圆柱侧壁的交点C（用尺规作图画图时，在纸条上画即可），就是0.5刻度线位置.
　　再看1.5刻度线的画法.因为ρ4=1.5 g/cm3是ρ1=1 g/cm3的32倍，所以，1.5刻度线与O的距离是AO长度的23，我们可以运用数学中平行线等分线段成比例定理来进行作图.作法：（1）过O任作射线OM；（2）在OM上顺次截取OE=EF=FG；（3）连接AG；（4）过F作FD∥GA，交OA与D，则点D就是1.5刻度线位置.
　　用同样的方法，我们可以作出2.5刻度线位置，大家不妨试试看.你能说出其他任意刻度线的作法吗？比如，1.1、1.2…，等等.
　　当然，不用尺规作图，运用反比例函数知识“算”出与各密度值对应的刻度线距离圆柱体底面的距离，也可以将需要的刻度线标出来.
　　在纸条上标出刻度线之后，粘贴于透明的圆柱体试管内部的合适位置（这样可以防止纸条被液体浸湿），自制密度计才算大功告成.用它可以很方便地测量各种液体的密度，大家不妨试试看.