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人教版《数学》七年级上册《三角形内角和定理的证明》旨在引导学生应用运动变化的观点认识数学,通过一题多解、一题多变,体会思维的多向性,经历从特殊到一般再到特殊的过程,感受思维实验和符号化的理性作用。难点是让学生学会用添加辅助线的方法证明三角形内角和为180°。笔者在教学中做了如下尝试:
一、联系先前经验,初步感知定理
学生的认知活动是建立在先前学习经验的基础之上的,教师在教学之初要准确把握学生的认知发展水平,找准学生思维的最近发展区,创设问题情境,为其提供支架,实现思维现有发展水平向可能发展水平的平稳过渡。
教学伊始,笔者让学生回忆小学阶段已经知道的“三角形内角和等于180°”这一结论的得出过程。有的说是用量角器量出来的,有的说是将三个角剪下来围绕一个顶点拼出来的。笔者肯定了学生的回答后,引导学生再次动手操作:(如图1)把一个三角形的两个角剪下,拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A ∠B ∠ACB=180°。当学生对三角形内角和定理有了初步的感知后,笔者引导学生思考:除此之外,还有什么方法可以证明该定理。学生在动手操作中,开动脑筋积极思考。
二、引导观察比较,形成证明思路
教学中,教师将部分相近或相对的教学内容、教学环节用类比的方法有意识地进行调整、组合,使知识、技能和方法更系统化和概括化,让学生在类比中提高分析和归纳能力。
有学生观察图1后发现了另一种证明思路:(如图2)将∠A剪下,拼在∠C的顶点处,得出∠MCA=∠A,再用量角器量出∠MCB ∠B=∠MCA ∠ACB ∠B =∠A ∠B ∠ACB=180°。还有学生指出:(如图3)把[∠B]和[∠C]剪下,以点A为顶点拼在一起,同样可以得出∠B ∠C ∠CAB=180°。笔者引导学生观察比较这三种证明方法,想一想如果不用拼角的方法,还有更加简便的思路吗?
三、通过操作实验,完善证明过程
通过多种方法添加辅助线沟通条件与问题之间的联系,建立起清晰的思维脉络,在操作实验的基础上简化思维步骤,充分利用先前知识经验完善证明过程。
课中,笔者让学生通过画辅助线的方法再次证明。如图4,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,结合平角180°和平行线性质定理(两平行线间同位角相等、内错角相等、同旁内角互补),可知:∠A=∠ACE,∠B=∠ECD, ∠A ∠B ∠ACB=∠ACB ∠ACE ∠ECD=180°。接着,笔者引导学生类比直角的形象添加辅助线,如图5所示,学生过点B作BD⊥BC,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点C作CF⊥BC,并作如下证明:∵∠DBC=∠AEC=∠FCB=90°,∴DB∥AE∥FC,∴∠EAB=∠DBA,∠EAC=∠FCA,∴∠CAB ∠ABC ∠BCA=∠EAB ∠CAE ∠ABC ∠BCA=∠DBA ∠FCA ∠ABC ∠BCA=∠DBC ∠FCB=180°。至此,学生通过添加辅助线的方式再次证明了三角形内角和定理。
(作者单位:红安县太平桥镇马井中学)
一、联系先前经验,初步感知定理
学生的认知活动是建立在先前学习经验的基础之上的,教师在教学之初要准确把握学生的认知发展水平,找准学生思维的最近发展区,创设问题情境,为其提供支架,实现思维现有发展水平向可能发展水平的平稳过渡。
教学伊始,笔者让学生回忆小学阶段已经知道的“三角形内角和等于180°”这一结论的得出过程。有的说是用量角器量出来的,有的说是将三个角剪下来围绕一个顶点拼出来的。笔者肯定了学生的回答后,引导学生再次动手操作:(如图1)把一个三角形的两个角剪下,拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A ∠B ∠ACB=180°。当学生对三角形内角和定理有了初步的感知后,笔者引导学生思考:除此之外,还有什么方法可以证明该定理。学生在动手操作中,开动脑筋积极思考。
二、引导观察比较,形成证明思路
教学中,教师将部分相近或相对的教学内容、教学环节用类比的方法有意识地进行调整、组合,使知识、技能和方法更系统化和概括化,让学生在类比中提高分析和归纳能力。
有学生观察图1后发现了另一种证明思路:(如图2)将∠A剪下,拼在∠C的顶点处,得出∠MCA=∠A,再用量角器量出∠MCB ∠B=∠MCA ∠ACB ∠B =∠A ∠B ∠ACB=180°。还有学生指出:(如图3)把[∠B]和[∠C]剪下,以点A为顶点拼在一起,同样可以得出∠B ∠C ∠CAB=180°。笔者引导学生观察比较这三种证明方法,想一想如果不用拼角的方法,还有更加简便的思路吗?
三、通过操作实验,完善证明过程
通过多种方法添加辅助线沟通条件与问题之间的联系,建立起清晰的思维脉络,在操作实验的基础上简化思维步骤,充分利用先前知识经验完善证明过程。
课中,笔者让学生通过画辅助线的方法再次证明。如图4,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,结合平角180°和平行线性质定理(两平行线间同位角相等、内错角相等、同旁内角互补),可知:∠A=∠ACE,∠B=∠ECD, ∠A ∠B ∠ACB=∠ACB ∠ACE ∠ECD=180°。接着,笔者引导学生类比直角的形象添加辅助线,如图5所示,学生过点B作BD⊥BC,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点C作CF⊥BC,并作如下证明:∵∠DBC=∠AEC=∠FCB=90°,∴DB∥AE∥FC,∴∠EAB=∠DBA,∠EAC=∠FCA,∴∠CAB ∠ABC ∠BCA=∠EAB ∠CAE ∠ABC ∠BCA=∠DBA ∠FCA ∠ABC ∠BCA=∠DBC ∠FCB=180°。至此,学生通过添加辅助线的方式再次证明了三角形内角和定理。
(作者单位:红安县太平桥镇马井中学)