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数学学科历来是学生学习投入多和学习成绩低下情况较为严重的学科之一。对于职业中学的部分学生尤其如此,他们往往在小学开始学数学时成绩还可以,到初中时已经稍感吃力,到了高中已是不堪重负,甚至厌恶数学。造成这种现象的原因除了学生自身的智力因素以外,而其中没有掌握恰当的学习方法是主要原因。
数学技能的形成与能力培养离不开数学解题。有效地培养数学解题的能力,除了做好审题,制订解题方案,解答表达等工作外,解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。美籍匈牙利数学家波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾”。解题本身不是学习的目的,而只是一种训练手段。进行解题后的小结或反思,会有益于我们总结经验、发现规律、形成技能技巧,从而把解题真正变成一种强有力的训练手段。
由于认知结构水平的限制,经常表现出:一些学生对知识不求甚解,热衷于做大量题,不善于解题后对题目进行反思,普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节,也不善于纠正和找出自己的错误;也有一些学生即使想反思,也不知如何反思或反思的层面很浅,缺乏解题方法、数学思维的概括,掌握知识的系统性较弱、结构性较差。由于上述现象逐步造成了学生的数学成绩不好、失去学习兴趣、甚至厌烦数学、最后不学数学。所以缺乏解题后的反思是形成职高生数学学习现状的主要原因之一。为此笔者结合平时的教学实践对解题后的反思、以及如何“巧思妙想”谈一些肤浅的认识。
在经过一番艰辛,苦思冥想解出一道数学题答案后,必须认真进行如下反思:
一、解题后要“巧思”
命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证解题结论是否正确,命题所提供的条件的应用是否完备?求解论证过程是否判断有据,严密完善?本题有无其他解法一题多解?多题一解?
1.一思解题过程,查缺补漏
解数学题,有时由于审题思路不正确,概念不清,忽视条件,套用相近知识,考虑不周或计算出错,难免产生这样或那样的错误,即学生解数学题,不能保证一次性正确和完善。所以解题后,必须对解题过程进行回顾和评价,对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务,解完题目万事大吉,头也不回,扬长而去。由此产生大量谬误,应该引起重视,加以克制,引以为戒。如:(1)结论荒唐,成为笑柄。(2) 以特殊代替一般;(3) 臆造“定理”,判断无据,以日常概念代替科学概念。以上常见的错误,不胜枚举。通过上述反思可以明确概念、掌握知识点、熟悉考点、清晰思维、提高数学解题的正确性、合理性。
2.二思解题方法,探求一题多解和多题一解
数学知识有机联系、纵横交错,解题思路灵活多样,解题方法途径繁多,但最终却能殊路同归。即使一次性解题合理正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路、最优、最简捷的解法。不能解完题就此罢手,如释重负。应该进一步反思,探求一题多解、多题一解的问题,开拓思路,沟通知识,掌握规律,权衡解法可能用到不同章节的知识,这样以来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法又能解很多道题,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷,最合理?
例1:求证:(探索一题多解)
把本题的每一种解法和结论进一步推广,同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路:从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等,善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们去解决碰到的这类问题,便可以不变应万变,问题自然迎刃而解,这对提高数学解题能力尤其重要。
二、解题后要“妙想”
1.一想此题能否使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化
在问题解决之后,要不断地反思:解题过程是否浪费了重要信息,能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维思路,思维、运算能否变得更简捷?是否拘泥于思维定势,照搬了熟悉的解法?还有没有方法上的创新?通过这样不断地质疑、不断改进,让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。
例2:求证:正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。
此题有常规的解题思路:分别求出两个多面体的二面角的值,再求和。这也是一般参考书上的解法。探索解题过程,总感觉这样解题比较笨拙,缺少灵气!不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上,问题隐含了“结构”这个重要信息,那么,能否把“结构”作为切入点去探究问题呢?
2.二想此题能否把知识进行迁移和应用,探究问题所含的系统性
解题后,要不断地解决探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含的孤立的知识“点”,扩展到系统的知识“面”。通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解,进而形成认知结构中知识的系统性 。对每个问题都要寻根问底,能否得到一般性的结论,有无规律性的发现?能否形成独到的见解,有自己的小发明?点滴的发现,都能唤起学生的成就感,激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累,更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成,并增加知识的存储量。
3.三想此题能否整合知识、创新设问
要让学生明白,问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着内在联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间本质的联系,要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题启发?将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合,创造性设问?让学生在不断的知识联系和知识整合中,丰富认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣,这对培养学生的创造思维是非常有利的。
同一类型的问题,解题方法往往有其规律性,因此当一个问题解决后,要不失时机地引导学生反思解题方法,认真总结解题规律,力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西,以现在解决问题的经验帮助今后类似问题的解决,提高学生的解题效率。通过解题后反思改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动,让学生的思维在解题后继续飞翔,“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”。这是解题过程中更高一级的思维活动。为了让学生思维继续飞翔,提高数学解题能力,在教学中应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。
总之,解题后引导学生“巧思妙想”,不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括,对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断,可以让学生体会解题带来的快乐,享受探究带来的成就感,始终保持学生学习数学的激情。常此以往,逐步養成学生独立思考、积极探究的习惯,并懂得如何学数学,从而有效地培养和提高学生的数学解题能力。
(作者单位:江苏省铜山县职业教育中心)
数学技能的形成与能力培养离不开数学解题。有效地培养数学解题的能力,除了做好审题,制订解题方案,解答表达等工作外,解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。美籍匈牙利数学家波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾”。解题本身不是学习的目的,而只是一种训练手段。进行解题后的小结或反思,会有益于我们总结经验、发现规律、形成技能技巧,从而把解题真正变成一种强有力的训练手段。
由于认知结构水平的限制,经常表现出:一些学生对知识不求甚解,热衷于做大量题,不善于解题后对题目进行反思,普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节,也不善于纠正和找出自己的错误;也有一些学生即使想反思,也不知如何反思或反思的层面很浅,缺乏解题方法、数学思维的概括,掌握知识的系统性较弱、结构性较差。由于上述现象逐步造成了学生的数学成绩不好、失去学习兴趣、甚至厌烦数学、最后不学数学。所以缺乏解题后的反思是形成职高生数学学习现状的主要原因之一。为此笔者结合平时的教学实践对解题后的反思、以及如何“巧思妙想”谈一些肤浅的认识。
在经过一番艰辛,苦思冥想解出一道数学题答案后,必须认真进行如下反思:
一、解题后要“巧思”
命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证解题结论是否正确,命题所提供的条件的应用是否完备?求解论证过程是否判断有据,严密完善?本题有无其他解法一题多解?多题一解?
1.一思解题过程,查缺补漏
解数学题,有时由于审题思路不正确,概念不清,忽视条件,套用相近知识,考虑不周或计算出错,难免产生这样或那样的错误,即学生解数学题,不能保证一次性正确和完善。所以解题后,必须对解题过程进行回顾和评价,对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务,解完题目万事大吉,头也不回,扬长而去。由此产生大量谬误,应该引起重视,加以克制,引以为戒。如:(1)结论荒唐,成为笑柄。(2) 以特殊代替一般;(3) 臆造“定理”,判断无据,以日常概念代替科学概念。以上常见的错误,不胜枚举。通过上述反思可以明确概念、掌握知识点、熟悉考点、清晰思维、提高数学解题的正确性、合理性。
2.二思解题方法,探求一题多解和多题一解
数学知识有机联系、纵横交错,解题思路灵活多样,解题方法途径繁多,但最终却能殊路同归。即使一次性解题合理正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路、最优、最简捷的解法。不能解完题就此罢手,如释重负。应该进一步反思,探求一题多解、多题一解的问题,开拓思路,沟通知识,掌握规律,权衡解法可能用到不同章节的知识,这样以来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法又能解很多道题,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷,最合理?
例1:求证:(探索一题多解)
把本题的每一种解法和结论进一步推广,同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路:从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等,善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们去解决碰到的这类问题,便可以不变应万变,问题自然迎刃而解,这对提高数学解题能力尤其重要。
二、解题后要“妙想”
1.一想此题能否使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化
在问题解决之后,要不断地反思:解题过程是否浪费了重要信息,能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维思路,思维、运算能否变得更简捷?是否拘泥于思维定势,照搬了熟悉的解法?还有没有方法上的创新?通过这样不断地质疑、不断改进,让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。
例2:求证:正四面体和正八面体相邻两侧所成的二面角互补。
此题有常规的解题思路:分别求出两个多面体的二面角的值,再求和。这也是一般参考书上的解法。探索解题过程,总感觉这样解题比较笨拙,缺少灵气!不能反映两个多面体的巧妙结构。事实上,问题隐含了“结构”这个重要信息,那么,能否把“结构”作为切入点去探究问题呢?
2.二想此题能否把知识进行迁移和应用,探究问题所含的系统性
解题后,要不断地解决探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含的孤立的知识“点”,扩展到系统的知识“面”。通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解,进而形成认知结构中知识的系统性 。对每个问题都要寻根问底,能否得到一般性的结论,有无规律性的发现?能否形成独到的见解,有自己的小发明?点滴的发现,都能唤起学生的成就感,激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累,更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成,并增加知识的存储量。
3.三想此题能否整合知识、创新设问
要让学生明白,问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着内在联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间本质的联系,要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题启发?将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合,创造性设问?让学生在不断的知识联系和知识整合中,丰富认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣,这对培养学生的创造思维是非常有利的。
同一类型的问题,解题方法往往有其规律性,因此当一个问题解决后,要不失时机地引导学生反思解题方法,认真总结解题规律,力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西,以现在解决问题的经验帮助今后类似问题的解决,提高学生的解题效率。通过解题后反思改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动,让学生的思维在解题后继续飞翔,“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”。这是解题过程中更高一级的思维活动。为了让学生思维继续飞翔,提高数学解题能力,在教学中应该倡导和训练学生进行有效的解题反思。
总之,解题后引导学生“巧思妙想”,不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括,对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断,可以让学生体会解题带来的快乐,享受探究带来的成就感,始终保持学生学习数学的激情。常此以往,逐步養成学生独立思考、积极探究的习惯,并懂得如何学数学,从而有效地培养和提高学生的数学解题能力。
(作者单位:江苏省铜山县职业教育中心)