在生态学上，“S”型曲线是指在非理想条件下，种群世代重叠，经过一定时间的连续增长后，数量趋于稳定的增长曲线，其中一定空间能维持种群的最大数量称为环境容纳量，又称K值。如图1。
　　1935年格雷厄姆提出用S型曲线描述种群增长变化情况。高中生物教材（人教版）中仅展现了定义与K值两个知识点，而近几年由这两个知识点衍生出的考查建构数学模型的高考题层出不穷，问题既不超纲又显得很新颖，如05年全国卷，“为了保护鱼类资源不受破坏，并能持续地获得最大捕鱼量，根据种群增长的S型曲线，应使被捕鱼群的种群数量保持在K/2水平，这是因为在这个水平上……”等题目，都完全符合三维教学目标中用数学模型解释种群数量变化的要求，解决上述问题的关键在于对S型曲线的充分理解。在生物第一轮总复习中，我主要把握两点做重点讲述。
　　一、“S”型曲线上点的切线斜率分析
　　如图2所示，过A点作切线AB，向X轴作垂线AC；由B点向AC作垂线，则直线AB的斜率为AC/BC。AC代表种群的增长数量，BC代表单位时间，因此直线AB的斜率应该代表种群在此时间段内的增长速率（增长速率是指单位时间增长率的变化，增长率指单位时间种群增长数量）。直线的斜率越大，增长速率越大，且切线斜率最大的点在“K/2”时，种群的增长速率达到最大，之后种群的增长速率逐渐变慢，当“S”曲线到达K值时，增长速率为0。我们通过研究曲线的起点、拐点、止点的斜率，就可以发现“S”型曲线表示的种群增长速率是一个先升后降的变化过程，呈现钟罩形变化曲线。
　　二、种群增长速率曲线呈钟罩形
　　“S”型种群增长曲线通称逻辑斯蒂（Logistic）曲线，其数学模型是：■=rN（1-■）=rN-■，dN/dt表示种群增长速率，r表示种群的增长率,N表示种群数量。要向高中学生讲清微积分方程，不但老师讲解是问题，学生听懂也是问题。我转化思维角度，将Dn/dt换原为y，N换原为x，则逻辑斯蒂方程变为高中学生特熟悉二次函数方程y=-x+rx，其图象见图，为部分开口朝下的抛物线，呈钟罩形。曲线表明，N＜K/2时，种群的增长速率逐渐增大；当等于K/2时取最大值；K＞N＞K/2，种群增长速率逐渐减小，直至K时增长速率为0。因此，“S”型种群增长曲线成为指导生物资源的保护理论，既能保持种群最大产量，又不损害持久利用。例如，在渔业生产中，应以鱼类种群数量的K/2为标志，此时捕捞，既使捕获量达到最大，获得最大效益，又能保证鱼类资源利用的持续性。
　　这样，我们就将问题转换角度，化繁为简，达到浅显易懂的目的，较好地提高了学生分析图形的能力、信息处理能力和知识迁移能力，解决“S”曲线问题就会得心应手。你不妨做几个类似的高考题体会一下。
　　
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