再谈“反函数”

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  【摘 要】初等数学中反函数的概念既重要但又不容易深入理解掌握,部分同学更是一知半解。这往往影响对函数及相关知识的深入学习。在此结合以下一些具体例子或命题,采用对比和联系的方法,再谈谈反函数。
  【关键词】函数;反函数;单调函数;一一对应;奇偶函数
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2019)04-0105-01
  1 反函数的基本知识
  1.1 反函数的定义
  设函数,它的定义域为D,值域为M,如果对于值域M中的任意一个值,都能由确定D中唯一的值与它对应,由此得到以为自变量的函数叫做的反函数,记作。在习惯上,自变量用表示,函数值用表示,所以又将它改写为。
  1.2 反函数的一些性质或结论
  (1)互为反函数,即;
  (2)的定义域D和值域M分别是其反函数的值域和定义域,通俗的说就是“交换了”;
  (3)互为反函数的两个函数的图像关于直线对称;
  (4)并非所有的函数都有反函数,函数存在反函数的充要条件是:函数的定义域与值域是一一对应;简单来讲:一一对应就能确定反函数。
  (5)分段函数的反函数的求法:逐段求出每段的反函数及反函数的定义域,再合成分段函数。
  2 关于反函数,再作如下讨论
  (1)函数没有反函数。函数
  有反函数.
  说明:函数满足一一对应,有反函数。
  (2)函数有反函数
  函数有反函数。
  说明:某些周期函数,在不同的范围内,只要一一对应,都有反函数,但其反函数的解析式不同。
  (3)以下几个函数,函数及函数等都有相同的反函数,
  且其解析式都是
  说明:一些函数(主要是周期函数)虽然不同,但它们可以有相同的反函数。
  (4)单调函数一定有反函数,但不能说有反函数的函数一定单调。
  如有反函数,但函数不单调(读者思考)
  说明:单调函数的反函数也是单调函数,且它们同增同减;如果初等函数是严格单调的,就有反函数;只要函数在定义域的不同区间内是单值对应的(不一定是单调),就有反函数(这些请读者思考)
  (5)设函数有反函数那么
  1)在上成立;
  2)在上成立;
  3)在上成立。
  例子:则反函数为可验证。
  说明:若函数有反函数,则其满足置换对称性。
  (6)如果是奇函数,则其反函数也是奇函数;但与其反函数不能都是偶函数。读者可举简单例子验证。
  (7)若函数的图像与它的反函数的图像有交点,但交点不一定在直线上。
  如函数与函数互为反函数,且它们的图像有无数多个交点,但这些交点都不在上。另一方面,若函数的图像与有交点,则这些交点也都是其反函数的圖像与直线的
  交点。以上讨论,读者都可以再举一些简单例子加以理解,从而加深对反函数知识的全面深入的掌握,为反函数及其在其它方面的应用打下坚实的基础。
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