论文部分内容阅读
数学教学中经常会用到很多数学思想，这些数学思想和方法贯穿整个数学教学中，构成了数学知识体系。其中，类比法和联想法用得非常多。本文着重讲述了高中数学中的类比和联想方法的运用。所谓“类比法”，指的是通过把类似的问题放到一起进行对比，使学生受到启发，进而找到解决新问题的方法。在数学解题中，会经常遇到借助条件信息运用类比法解答的题目。但是往往很多问题在题目里并没有现成的可供参照的对象，它隐含在题目中，需要我们认真分析问题情景，挖掘出现有问题与已有问题之间相似的部分，从而顺利地解决问题。这种对问题情景和内容的有向迁移的方法也就是我们常说的“联想法”。
一、类比和联想的基本类型
1.由条件的结构特征产生的类比和联想。我们学习的许多知识都具有很强的结构特征，当一道试题中遇到类似结构时，我们往往会联想起这些内容。比如，遇到形如x1+x2、x1·x2的式子，我们会想到韦达定理，营造使用韦达定理的环境，从而解答问题。
2.由条件的相似性产生的类比和联想。我们遇到的许多数学问题中，往往具有一些相似的条件，这时我们就可以类比已有的解题方法建立新问题的解题方法。
3.由图形的相似性产生的类比和联想。有些数学问题所给出的图形往往具有一定的相似性，这时我们就可以类比已有的解题方法建立新问题的解题方法。
4.由解题方法产生的类比和联想。学习过程中我们总会积累一些解题方法，在对问题的解题方法进行判断时，我们可以依托某种解题方法进行类比和联想，从而建立该问题解题方法。
5.对于某些数学问题，由内在意义产生的类比和联想虽然形式各异，但归结到解法的内涵我们会发现，它们之间有着不少相似之处。这种由内在意义产生的类比和联想的相似，与其图形和结构上的类似相比，更是一种“神似”。
问题1：已知点M是圆C：x2+y2-2x-4y=0上的动点，点N为射线OM上的一点，且|OM|·|ON|=30，求点N的轨迹方程。
解法1：设N（x，y），M（x1，y1)，■·■=30，
∴x21x2+x21y2+y21x2+y21y2=302，x21y2=x1y·x1y=x1y·y1x=x1x·y1y，
y21x2=x1x·y1y，∴（x1x+y1y）2=302，∴x1x+y1y=30，
∴x1=■，y1=■，
∴x+2y-15=0为所求。
解法2：设M（x1，y1），N（x，y），设以Ox为始边，ON为终边的角为θ，
则x1=|OM|cosθ，y1=|OM|sinθ，x=|ON|cosθ，y=|ON|sinθ，
（|OM|cosθ）2+（|OM|sinθ）2-2|OM|cosθ-4|OM|sinθ=0，
∴|OM|-2cosθ-4sinθ=0，
|OM||ON|-2|ON|
cosθ-4|ON|sinθ=0，
∴30-2x-4y=0，所求轨迹方程为x+2y-15=0。
解法3：作⊙C的切线NA，A为切点，连结AC、CN,则AC⊥AN，如图1。
∴|AN|2=|CN|2-|AC|2，
而|AN|2=|ON|·|NM|=|ON|·（|ON|-|OM|）=|ON|2-（|ON|·|OM|），
∴|CN|2-|AC|2=|ON|2-|ON|·|OM|
设N（x，y），M（x1，y1)，而C（1，2），圆的半径为■，
∴（x-1）2+（y-2）2
-5=x2+y2-30,∴x+2y-15=0为所求。
评注：解法1、2——由解题方法产生的类比和联想(求轨迹方程的直接法和参数法)；解法3——由条件的结构特点产生的类比和联想。
问题2：如图2，已知椭圆■+■=1的左焦点为F，左准线与x轴的交点为K，点A在椭圆上，且|AK|=■|AF|，则△AFK的面积为 。
分析：已知椭圆方程，则已知椭圆的所有特征值。题中涉及了左焦点与左准线，椭圆的第二定义有很好的内在相似性。
解：设AF=m，则AH=2m，在Rt△AHK中，HK=■m，作FB垂直AH，垂足为B，则BF=HK，∴AB=■m，AH=AB+KF，即2m=■m+3，∴m=2。△AFK面积=■■。
问题3：过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F作倾斜角为120°的直线l交椭圆C于A、B两点，若|AF|=2|BF|，则椭圆的离心率e=。
分析：已知条件中，涉及椭圆上的点到焦点的距离和椭圆的离心率，联想在椭圆的知识点中，哪些知识点能同时含有这两个元素？很容易就能联想到椭圆的第二定义。（解题过程略）
二、类比和联想的基本策略
找准参照对象，进行广泛联想。解数学问题时用类比和联想的方法很常见。能否选准具有参照价值的对象是能否顺利解题的关键之所在。这需要我们掌握扎实的数学基础知识，同时还要有一定的数学想象力。联想的素材主要来源于我们原有的知识体系，扎实数学知识基础。对每个数学知识点都印象深刻，在遇到数学问题时能用敏锐的洞察力发现合适的参考对象并信手拈来，才能使问题得以顺利的解决。我国古代就有“以其所知，喻其不知，使之知之”，其实无论中国的先哲，还是西方教育家，都相似地认为，激活已有经验，联想新旧知识或问题之间的联系，能够唤醒大脑的积极思维，构建新知识的生长点。
发现相似之处，进行充分类比。我们说找准对象是解题的关键，那么接下来我们该怎么做呢？首先应仔细观察和分析，找到现有问题与类比问题的相似之处，充分挖掘出类比问题对解决新问题有哪些借鉴之处。无论联想和类比的作用有多大，都必须依赖于类比对象的恰当选择，其中更为重要的就是对类比对象要进行深层次的挖掘和利用，这是运用类比和联想方法的一个重要环节。
找到相似对象后进行大胆假设。以上两步是基础，在找准相似对象，把握了问题与相似对象的共同特征之后，就需要我们依据类比对象的特征进行大胆建构，对现有问题的结果大胆地做出假设。这不仅可以在解决方法方面受到一定启发，同时还有利于预见到问题发展的方向，甚至可能直接推测出问题的结论，这大大降低了问题的难度。
三、类比和联想的意义
类比法和联想法在解决数学问题的过程中起着很大的作用，它可以通过问题之间的相似性提出预设，并能将已知问题的特征和解决方法灵活运用到别的类似问题上。正如著名的数学家波利亚所说：“没有这些思路，特别是没有类比和联想，在初等数学或高等数学中也许就不会有发现。”这也充分说明了类比和联想在数学问题的解答乃至数学科学研究领域所起到的重大作用。
一、类比和联想的基本类型
1.由条件的结构特征产生的类比和联想。我们学习的许多知识都具有很强的结构特征，当一道试题中遇到类似结构时，我们往往会联想起这些内容。比如，遇到形如x1+x2、x1·x2的式子，我们会想到韦达定理，营造使用韦达定理的环境，从而解答问题。
2.由条件的相似性产生的类比和联想。我们遇到的许多数学问题中，往往具有一些相似的条件，这时我们就可以类比已有的解题方法建立新问题的解题方法。
3.由图形的相似性产生的类比和联想。有些数学问题所给出的图形往往具有一定的相似性，这时我们就可以类比已有的解题方法建立新问题的解题方法。
4.由解题方法产生的类比和联想。学习过程中我们总会积累一些解题方法，在对问题的解题方法进行判断时，我们可以依托某种解题方法进行类比和联想，从而建立该问题解题方法。
5.对于某些数学问题，由内在意义产生的类比和联想虽然形式各异，但归结到解法的内涵我们会发现，它们之间有着不少相似之处。这种由内在意义产生的类比和联想的相似，与其图形和结构上的类似相比，更是一种“神似”。
问题1：已知点M是圆C：x2+y2-2x-4y=0上的动点，点N为射线OM上的一点，且|OM|·|ON|=30，求点N的轨迹方程。
解法1：设N（x，y），M（x1，y1)，■·■=30，
∴x21x2+x21y2+y21x2+y21y2=302，x21y2=x1y·x1y=x1y·y1x=x1x·y1y，
y21x2=x1x·y1y，∴（x1x+y1y）2=302，∴x1x+y1y=30，
∴x1=■，y1=■，
∴x+2y-15=0为所求。
解法2：设M（x1，y1），N（x，y），设以Ox为始边，ON为终边的角为θ，
则x1=|OM|cosθ，y1=|OM|sinθ，x=|ON|cosθ，y=|ON|sinθ，
（|OM|cosθ）2+（|OM|sinθ）2-2|OM|cosθ-4|OM|sinθ=0，
∴|OM|-2cosθ-4sinθ=0，
|OM||ON|-2|ON|
cosθ-4|ON|sinθ=0，
∴30-2x-4y=0，所求轨迹方程为x+2y-15=0。
解法3：作⊙C的切线NA，A为切点，连结AC、CN,则AC⊥AN，如图1。
∴|AN|2=|CN|2-|AC|2，
而|AN|2=|ON|·|NM|=|ON|·（|ON|-|OM|）=|ON|2-（|ON|·|OM|），
∴|CN|2-|AC|2=|ON|2-|ON|·|OM|
设N（x，y），M（x1，y1)，而C（1，2），圆的半径为■，
∴（x-1）2+（y-2）2
-5=x2+y2-30,∴x+2y-15=0为所求。
评注：解法1、2——由解题方法产生的类比和联想(求轨迹方程的直接法和参数法)；解法3——由条件的结构特点产生的类比和联想。
问题2：如图2，已知椭圆■+■=1的左焦点为F，左准线与x轴的交点为K，点A在椭圆上，且|AK|=■|AF|，则△AFK的面积为 。
分析：已知椭圆方程，则已知椭圆的所有特征值。题中涉及了左焦点与左准线，椭圆的第二定义有很好的内在相似性。
解：设AF=m，则AH=2m，在Rt△AHK中，HK=■m，作FB垂直AH，垂足为B，则BF=HK，∴AB=■m，AH=AB+KF，即2m=■m+3，∴m=2。△AFK面积=■■。
问题3：过椭圆■+■=1（a>b>0）的右焦点F作倾斜角为120°的直线l交椭圆C于A、B两点，若|AF|=2|BF|，则椭圆的离心率e=。
分析：已知条件中，涉及椭圆上的点到焦点的距离和椭圆的离心率，联想在椭圆的知识点中，哪些知识点能同时含有这两个元素？很容易就能联想到椭圆的第二定义。（解题过程略）
二、类比和联想的基本策略
找准参照对象，进行广泛联想。解数学问题时用类比和联想的方法很常见。能否选准具有参照价值的对象是能否顺利解题的关键之所在。这需要我们掌握扎实的数学基础知识，同时还要有一定的数学想象力。联想的素材主要来源于我们原有的知识体系，扎实数学知识基础。对每个数学知识点都印象深刻，在遇到数学问题时能用敏锐的洞察力发现合适的参考对象并信手拈来，才能使问题得以顺利的解决。我国古代就有“以其所知，喻其不知，使之知之”，其实无论中国的先哲，还是西方教育家，都相似地认为，激活已有经验，联想新旧知识或问题之间的联系，能够唤醒大脑的积极思维，构建新知识的生长点。
发现相似之处，进行充分类比。我们说找准对象是解题的关键，那么接下来我们该怎么做呢？首先应仔细观察和分析，找到现有问题与类比问题的相似之处，充分挖掘出类比问题对解决新问题有哪些借鉴之处。无论联想和类比的作用有多大，都必须依赖于类比对象的恰当选择，其中更为重要的就是对类比对象要进行深层次的挖掘和利用，这是运用类比和联想方法的一个重要环节。
找到相似对象后进行大胆假设。以上两步是基础，在找准相似对象，把握了问题与相似对象的共同特征之后，就需要我们依据类比对象的特征进行大胆建构，对现有问题的结果大胆地做出假设。这不仅可以在解决方法方面受到一定启发，同时还有利于预见到问题发展的方向，甚至可能直接推测出问题的结论，这大大降低了问题的难度。
三、类比和联想的意义
类比法和联想法在解决数学问题的过程中起着很大的作用，它可以通过问题之间的相似性提出预设，并能将已知问题的特征和解决方法灵活运用到别的类似问题上。正如著名的数学家波利亚所说：“没有这些思路，特别是没有类比和联想，在初等数学或高等数学中也许就不会有发现。”这也充分说明了类比和联想在数学问题的解答乃至数学科学研究领域所起到的重大作用。