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[摘 要]
在数学发展的初期，离不开实验与操作，技能在此增长，概念萌发其中，真理在这里不断验证，这是数学素养蕴育和提升的绝佳时机。
[关键词]
高中数学；实验操作；核心素养
数学起源于生活实践，是因计数、测量等实际需要而产生的。数学又抽象于实践，这是人类认识自然、改造自然的必然进程。在数学发展的初期，离不开实验与操作，技能在此增长，概念萌发其中，真理在这里不断验证，这是一个漫长而充满痛苦与希冀的时光，失败和成功不是等可能事件。这更是数学素养蕴育和提升的绝佳时机，因实验与操作中实在有太多的不确定因素，直观想象、数学建模、数学运算、数据分析、逻辑推理、数学抽象等交织其中。这不正是高中数学核心素养所追求的吗？故在高中数学教学中适度进行实验与操作，必为学生喜闻乐见，是提高学生数学核心素养的有效途径。
一、以实验为载体，通过操作深化对概念的理解
既然数学是人们在征服自然的生活实践中逐步积累发展起来的，那么很多数学概念在人们的生活环境中必有它们的现实原型。我们可在课堂上通过实验再现生活场景，让学生在操作和观察中体会概念的内涵，在思考和探究中理清问题的来龙去脉。这类问题俯拾皆是，只要有心，信手拈来。
案例1：“或”“且”“非”和“真值表”的引入。
“逻辑联结词”这一内容的教学，可以引入物理中的串联、并联实验电路来加深对“或”“且”“非”和“真值表”的理解。
图1是两个实验装置，分别为串联电路和并联电路。命题p表示灯L1亮；命题q表示灯L2亮。
则“p或q”就是表示灯L1亮或者灯L2亮或者灯L1和L2都亮。
让学生用并联电路实验来解释：p或q就是表示灯L1亮（开关K1合上）或者灯L2亮（开关K2合上）或者灯L1和L2都亮（开关K1、K2同时合上）。
“p且q”就是表示灯L1和L2都亮。
让学生用串联电路来解释：p且q就是表示灯L1和L2都亮（开关K1、K2同时合上）。在这个过程中还很自然地得出了“真值表”。
说实话，“逻辑联结词”这一内容的教学，不做实验学生也能理解，相应的习题也能较好地解决。但如此学生仅仅是“知其然”而已，随着时光的流逝将会慢慢的遗忘这些知识。与之相反的是通过实验得来的知识，学生不仅“知其然”，更知其“所以然”，以后一看到“或”“且”等字眼，马上就会联想到并联、串联实验，相应结论便一一唤醒。故通过操作得来的概念学生学得轻松并能深刻理解、牢固掌握，而且学习兴趣浓探索精神强，这正是提升数学素养的要义所在。
二、以电脑为工具，通过动态演示化抽象为直观
随着社会的发展，多媒体已经广泛地用于教学领域，现代教育媒体改变了“一张嘴一支粉笔一块黑板”的单调，能有效地缩短教学时间，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，增大信息量，提高教学效率。教师可以通过多媒体非常形象直观地讲清过去很难描述的课程内容，学生可以更形象地去理解和掌握相应课本知识。
案例2：如图2，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在棱CC′上，画出直线A′P与平面ABCD的交点Q。
这种题目看起来很简单，但对于很多立体几何的初学者来说并不能马上可以弄清图中点、线、面的位置关系，很多老师对此都深有体会。部分学生初画此图时，由于缺乏在平面上表示立体图形的感知与技巧，从平几视角想当然地认为直线 A′P与DC或BC的延长线的交点即为所求点Q，从而得到错误答案。有的老师一开始就拿出立几模型演示，学生一看就知道该如何处理，答案来得太容易，没有让学生历经思维上的磨炼、操作上的曲折，以后遇到类似问题照错不误。
实际上，我们利用几何画板就很容易让学生明白，其实这两条直线根本就不相交。由于在几何画板上看到的立体图形是体现在平面上，故演示中学生能不断看到不同立体图形的平面化，学生的读图能力得到了一次次的锤炼，识图能力得到了一次次的强化，画图能力得到了一次次的提高。本题可作如下处理：
（1）先画一个圆，以圆心為旋转中心，在圆上取一点通过旋转90°得另三点，使他们构成一个正方形；
（2）利用作椭圆的方法，分别作出四个点的对应点
（3）把连线得到的四边形向竖直方向平移适当的距离，就得到一个正方体。
（4）拖动带有“转动”字样的点到适当的位置，就可看出A′P与DC的关系。
事实上只要连接AC，并延长，它与A′P的延长线相交于一点。这一点就是直线A′P与平面ABCD的交点Q（如图7），如果此时再辅以正方体模型直观演示，效果更佳。
这里，我们借助几何画板能给学生提供一种更为简洁、明了的方式，帮助学生建立空间概念，有助于激发学生学习立体几何的兴趣。但特别要指出的是：多媒体演示只能作为教学的辅助工具，是某一个时段为突破学生的困境而为之，平时的板书和作图还是一笔一画板演给学生为好。这样更易暴露问题过程，为学生理解。先进的教学设备固然好，但传统的教学形式也不能丢，尤其对于理科教学，一笔一画的推演，才能彰显逻辑的缜密，方能提升理性的思维，更能滋润素养的成长。
三、以学生为主体，在探索中获真知
数学实验要求学生在老师的指导下进行探索性、验证性的操作，探索建立模型解决实际问题的方法，在失败和成功中获得真知。例如教科书上的定理、法则和公式是和学生天天见面的朋友，是数学家历尽艰辛的成果体现，在数学教育家的精心编排下以“完美无缺”的逻辑体系展现在学生面前，但学生对它曲折复杂的发现过程却一无所知。对此，教师可设置教学情境，让学生运用实验手段和方法，亲历定理的发生发展过程，使学生更深刻地理解定理的本质含义，下面以“三垂线定理”（有的教材已将之淡化为例题）的实验探索教学为例。 案例3：“三垂线定理”的教学。
（1）提问猜想
①由线面垂直定义我们知道，平面的垂线垂直于平面内的任意条直线，那么平面的一条斜线是否也垂直于平面内的任意一条直线呢？
教师用两根铁丝演示：一根放在桌面上，另一根与桌面相交且不断改变位置，学生易知平面内的任意一条直线，不一定和平面的一条斜线垂直。
②是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？
教师继续用两根铁丝演示：如图8，铁丝m和桌面α斜交，铁丝n平面α内，移动铁丝n的位置，使铁丝m、n相交，再转动铁丝n，并用三角板的直角去验证（也可用量角器），此时学生发现确有某个位置m⊥n，即平面α内有直线与平面的斜线垂直。
③如果我们把铁丝n在平面内平行移动，使其到不同的位置，那么，这些直线与铁丝m垂直吗？
学生能根据“两条异面直线所成的角”的原理判定这些直线与m垂直。
④那么平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？
（2）实验发现
①老师让学生用三角板和铅笔在桌面上摆成如图9状态，并使三角板的一直角边与桌面垂直。
问：铅笔怎样摆才能与三角板的斜边垂直？
②经过学生不断摆弄，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直。
③启发学生将这个结果归结为数学问题，并用简练的文字语言表达。经不断点拨归纳，得到：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直。
④引导学生对实验得出的结果是进行证明。
上述实验过程为学生顺利建构认知结构奠定了良好的直观思维背景，同时也培养了学生的实践能力和合情推理能力。教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生通过观察、猜想、动手实验，进而发现新的规律，再让学生证明猜想结果，总结定理。这比直接给出定理记得牢，理解得深刻，用得活。这样由具体到抽象地研究问题，从“实验”到“猜想”是量的积累而觉醒，从“猜想”到“证明”是逻辑推理的深化，定理的灵活应用则是质的升华，是学习数学必备的重要素质。
四、以问题为中介，在思维“操作”中让知识与智慧同步
国家督学成尚荣教授指出：“课堂教学改革就是要超越知识教育，从知识走向智慧，从培养“知识人”转为培养“智慧者”。数学实验能给学生带来全新的感受，浓厚的兴趣，高涨的学习热情，积极主动的态度。而且在实验研究过程中，他们需灵活运用所学知识，及时调整研究方法，归纳、整理资料，从中学会了学习，学会了研究，增长了才干，获得的是全面发展。他们在动手实践、自主探索、合作交流中发挥了自己的主动性，在操作中感悟数学概念，运用数学知识；同伴之间开展合作、交流，知识与智慧同步生成，这正是新课程所倡导的学习方式。
案例4：《普通高中课程标准试验教科书》（苏教版必修二）上的一道操作题。
用硬纸剪一个三边均不相等的锐角三角形AOB，然后以AB边上的高OO′为折痕，折得两个直角三角形，使之直立于桌面α上（如图10），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影，转动其中一个直角三角形，观察∠AOB与∠AO′B的大小关系，是否存在某个位置，使得∠AOB=∠AO′B？
实验要求学生分小组动手操作、研究、交流。
图10 图11
对此题有的老师视而不见，有的则一带而过，甚至有的老师不作研究给出错误答案。如此处理既是对教材的不尊重，更是错失一次开发、拓展学生思维的良机。我是让学生作为课外作业完成，然后小组交流，得到了两种不同结论：
（1）一部分同学认为“这个位置肯定不存在”。理由是：将∠AOB绕AB旋转到桌面α上，如图11，此时显然有∠AO′B大于∠AOB。
（2）另一部分同学则认为存在这样的位置，使得∠AOB=∠AO′B。并且这些同学进行了实验演示（取其中一个），所做硬纸板锐角三角形AOB三边长为AO=16.4cm，BO=17.7cm，AB=16.2cm。把两个量角器靠在两个角的边上，在转动Rt△OO′B的过程中出现∠AOB与∠AO′B相等（都等于9°）。
面对对立的结果，大家议论纷纷，有人认为两组同学都是从具体的三角形入手，用特殊代替一般，结论缺少说服力。有学生提出需要用代数的方法来分析这个结论是否成立，并加以证明。教师综合大家的意见，将这个问题转化为判断是否存在某个位置，使得这两个角的余弦值相等。
为此，如图10.设∠AO′B=α，∠AOB=β，O′A=a，O′B=b，且a≠b，OA=a1，OB=b1，AB=c。这样cosα=[a2 b2-c22ab]，cosβ=[a12 b12-c22a1b1]，α、β∈（0，π），问题化归为，是否存在c使得α=β，即：是否存在c使得[a2 b2-c22ab=a12 b12-c22a1b1]成立，就是关于c的方程[a2 b2-c22ab=a12 b12-c22a1b1]有解。
把上面的式子变形为[c2=a1b1（a2 b2）-ab（a12 b12）a1b1-ab]于是只要能证明等式右边为正，即可证明这个方程一定有解。
由条件得a1>a，b1>b，分母a1b1-ab>0恒成立。
分子可分解为（aa1-bb1）（ab1-a1b）.
在图10中，不妨设a>b，则有a1>b1，即得aa1-bb1>0.由于△AO′O与△BO′O都是直角三角形，显然有∠O′AO、∠O′BO，从而cos∠O′AO>cos∠O′BO，即有[aa1>bb1]，故ab1-a1b>0.所以，c2>0成立.這就说明确实存在某个位置使得这两个角相等。
热烈的探讨让大家仍觉意犹未尽，不一会儿，又有学生从极端情形给了如下解释：对任意的三边均不相等的锐角三角形AOB，在转动Rt△O′BO的过程中，观察两个极端位置，当∠AO′B=180°时，∠AO′B>∠AOB；当∠AO′B=0°时，∠AO′B<∠AOB。从转动的连续性结合函数零点原理可知，必有∠AO′B=∠AOB出现的时刻。学生所说很有道理，他们的探索还在继续。
本题取材于教材，抽象于生活，入口宽，上手易，结果很有迷惑性。同时这题又有相当难度，大部分学生选（1），他们认为这是一个小题，直观上觉得是显然的。还有一些学生是猜测有可能相等（包括给出数据），能想用代数方法去处理的很少，而且极难成功。解本题不一定要动手操作，它是一道立几题，也可看成是三角问题，处理中要用到一些线段或角的量，然后看可以有哪些数据，需要哪些数据，可以用什么定理求解等等。这其中数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析都有相当体现，确实是一道非常精彩的能渗透数学核心素养的题目。而其中不同学生所用的不同数据，所得不同的表达方式及结果的对错，反映了学生数学素养的层次。显而易见，在这样的“数学实验”中，教师、学生都怀有强烈的冲动，在积极的探索中高潮迭起，在理性的分析中收益良多，潜能在此激发，素养在此形成！
由上可知，数学教学中的实验操作给课堂了一股久违的清风：一是促进了学生“学”的方式的改变，在高中好多操作实践问题其实更需的是一种心灵的“动作”、思维的“操作”。二是增加了教师“教”的模式，实验操作让学生亲手做，亲口说，主动思考，让学生自我发现、展示、评价，这样才能把学生有创意的想法激发出来。同时我们深知，培养学生的核心素养，不是刻意的一日之功、一年之力，是一个润物细无声的长期过程，是在学习中通过感知、感受、体验、思考而自然形成的。
[参 考 文 献]
[1]刘晟，刘恩山.学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].教育学报，2012（2）.
[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美国学习进阶的研究进展及启示[J].外国中小学教育，2015（8）.
[3]汤文兵.“精心设计有效提问，引导学生深度学习”[J].中学数学研究，2015（2）.
（责任编辑：张华伟）
在数学发展的初期，离不开实验与操作，技能在此增长，概念萌发其中，真理在这里不断验证，这是数学素养蕴育和提升的绝佳时机。
[关键词]
高中数学；实验操作；核心素养
数学起源于生活实践，是因计数、测量等实际需要而产生的。数学又抽象于实践，这是人类认识自然、改造自然的必然进程。在数学发展的初期，离不开实验与操作，技能在此增长，概念萌发其中，真理在这里不断验证，这是一个漫长而充满痛苦与希冀的时光，失败和成功不是等可能事件。这更是数学素养蕴育和提升的绝佳时机，因实验与操作中实在有太多的不确定因素，直观想象、数学建模、数学运算、数据分析、逻辑推理、数学抽象等交织其中。这不正是高中数学核心素养所追求的吗？故在高中数学教学中适度进行实验与操作，必为学生喜闻乐见，是提高学生数学核心素养的有效途径。
一、以实验为载体，通过操作深化对概念的理解
既然数学是人们在征服自然的生活实践中逐步积累发展起来的，那么很多数学概念在人们的生活环境中必有它们的现实原型。我们可在课堂上通过实验再现生活场景，让学生在操作和观察中体会概念的内涵，在思考和探究中理清问题的来龙去脉。这类问题俯拾皆是，只要有心，信手拈来。
案例1：“或”“且”“非”和“真值表”的引入。
“逻辑联结词”这一内容的教学，可以引入物理中的串联、并联实验电路来加深对“或”“且”“非”和“真值表”的理解。
图1是两个实验装置，分别为串联电路和并联电路。命题p表示灯L1亮；命题q表示灯L2亮。
则“p或q”就是表示灯L1亮或者灯L2亮或者灯L1和L2都亮。
让学生用并联电路实验来解释：p或q就是表示灯L1亮（开关K1合上）或者灯L2亮（开关K2合上）或者灯L1和L2都亮（开关K1、K2同时合上）。
“p且q”就是表示灯L1和L2都亮。
让学生用串联电路来解释：p且q就是表示灯L1和L2都亮（开关K1、K2同时合上）。在这个过程中还很自然地得出了“真值表”。
说实话，“逻辑联结词”这一内容的教学，不做实验学生也能理解，相应的习题也能较好地解决。但如此学生仅仅是“知其然”而已，随着时光的流逝将会慢慢的遗忘这些知识。与之相反的是通过实验得来的知识，学生不仅“知其然”，更知其“所以然”，以后一看到“或”“且”等字眼，马上就会联想到并联、串联实验，相应结论便一一唤醒。故通过操作得来的概念学生学得轻松并能深刻理解、牢固掌握，而且学习兴趣浓探索精神强，这正是提升数学素养的要义所在。
二、以电脑为工具，通过动态演示化抽象为直观
随着社会的发展，多媒体已经广泛地用于教学领域，现代教育媒体改变了“一张嘴一支粉笔一块黑板”的单调，能有效地缩短教学时间，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，增大信息量，提高教学效率。教师可以通过多媒体非常形象直观地讲清过去很难描述的课程内容，学生可以更形象地去理解和掌握相应课本知识。
案例2：如图2，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在棱CC′上，画出直线A′P与平面ABCD的交点Q。
这种题目看起来很简单，但对于很多立体几何的初学者来说并不能马上可以弄清图中点、线、面的位置关系，很多老师对此都深有体会。部分学生初画此图时，由于缺乏在平面上表示立体图形的感知与技巧，从平几视角想当然地认为直线 A′P与DC或BC的延长线的交点即为所求点Q，从而得到错误答案。有的老师一开始就拿出立几模型演示，学生一看就知道该如何处理，答案来得太容易，没有让学生历经思维上的磨炼、操作上的曲折，以后遇到类似问题照错不误。
实际上，我们利用几何画板就很容易让学生明白，其实这两条直线根本就不相交。由于在几何画板上看到的立体图形是体现在平面上，故演示中学生能不断看到不同立体图形的平面化，学生的读图能力得到了一次次的锤炼，识图能力得到了一次次的强化，画图能力得到了一次次的提高。本题可作如下处理：
（1）先画一个圆，以圆心為旋转中心，在圆上取一点通过旋转90°得另三点，使他们构成一个正方形；
（2）利用作椭圆的方法，分别作出四个点的对应点
（3）把连线得到的四边形向竖直方向平移适当的距离，就得到一个正方体。
（4）拖动带有“转动”字样的点到适当的位置，就可看出A′P与DC的关系。
事实上只要连接AC，并延长，它与A′P的延长线相交于一点。这一点就是直线A′P与平面ABCD的交点Q（如图7），如果此时再辅以正方体模型直观演示，效果更佳。
这里，我们借助几何画板能给学生提供一种更为简洁、明了的方式，帮助学生建立空间概念，有助于激发学生学习立体几何的兴趣。但特别要指出的是：多媒体演示只能作为教学的辅助工具，是某一个时段为突破学生的困境而为之，平时的板书和作图还是一笔一画板演给学生为好。这样更易暴露问题过程，为学生理解。先进的教学设备固然好，但传统的教学形式也不能丢，尤其对于理科教学，一笔一画的推演，才能彰显逻辑的缜密，方能提升理性的思维，更能滋润素养的成长。
三、以学生为主体，在探索中获真知
数学实验要求学生在老师的指导下进行探索性、验证性的操作，探索建立模型解决实际问题的方法，在失败和成功中获得真知。例如教科书上的定理、法则和公式是和学生天天见面的朋友，是数学家历尽艰辛的成果体现，在数学教育家的精心编排下以“完美无缺”的逻辑体系展现在学生面前，但学生对它曲折复杂的发现过程却一无所知。对此，教师可设置教学情境，让学生运用实验手段和方法，亲历定理的发生发展过程，使学生更深刻地理解定理的本质含义，下面以“三垂线定理”（有的教材已将之淡化为例题）的实验探索教学为例。 案例3：“三垂线定理”的教学。
（1）提问猜想
①由线面垂直定义我们知道，平面的垂线垂直于平面内的任意条直线，那么平面的一条斜线是否也垂直于平面内的任意一条直线呢？
教师用两根铁丝演示：一根放在桌面上，另一根与桌面相交且不断改变位置，学生易知平面内的任意一条直线，不一定和平面的一条斜线垂直。
②是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？
教师继续用两根铁丝演示：如图8，铁丝m和桌面α斜交，铁丝n平面α内，移动铁丝n的位置，使铁丝m、n相交，再转动铁丝n，并用三角板的直角去验证（也可用量角器），此时学生发现确有某个位置m⊥n，即平面α内有直线与平面的斜线垂直。
③如果我们把铁丝n在平面内平行移动，使其到不同的位置，那么，这些直线与铁丝m垂直吗？
学生能根据“两条异面直线所成的角”的原理判定这些直线与m垂直。
④那么平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？
（2）实验发现
①老师让学生用三角板和铅笔在桌面上摆成如图9状态，并使三角板的一直角边与桌面垂直。
问：铅笔怎样摆才能与三角板的斜边垂直？
②经过学生不断摆弄，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直。
③启发学生将这个结果归结为数学问题，并用简练的文字语言表达。经不断点拨归纳，得到：平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直。
④引导学生对实验得出的结果是进行证明。
上述实验过程为学生顺利建构认知结构奠定了良好的直观思维背景，同时也培养了学生的实践能力和合情推理能力。教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生通过观察、猜想、动手实验，进而发现新的规律，再让学生证明猜想结果，总结定理。这比直接给出定理记得牢，理解得深刻，用得活。这样由具体到抽象地研究问题，从“实验”到“猜想”是量的积累而觉醒，从“猜想”到“证明”是逻辑推理的深化，定理的灵活应用则是质的升华，是学习数学必备的重要素质。
四、以问题为中介，在思维“操作”中让知识与智慧同步
国家督学成尚荣教授指出：“课堂教学改革就是要超越知识教育，从知识走向智慧，从培养“知识人”转为培养“智慧者”。数学实验能给学生带来全新的感受，浓厚的兴趣，高涨的学习热情，积极主动的态度。而且在实验研究过程中，他们需灵活运用所学知识，及时调整研究方法，归纳、整理资料，从中学会了学习，学会了研究，增长了才干，获得的是全面发展。他们在动手实践、自主探索、合作交流中发挥了自己的主动性，在操作中感悟数学概念，运用数学知识；同伴之间开展合作、交流，知识与智慧同步生成，这正是新课程所倡导的学习方式。
案例4：《普通高中课程标准试验教科书》（苏教版必修二）上的一道操作题。
用硬纸剪一个三边均不相等的锐角三角形AOB，然后以AB边上的高OO′为折痕，折得两个直角三角形，使之直立于桌面α上（如图10），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影，转动其中一个直角三角形，观察∠AOB与∠AO′B的大小关系，是否存在某个位置，使得∠AOB=∠AO′B？
实验要求学生分小组动手操作、研究、交流。
图10 图11
对此题有的老师视而不见，有的则一带而过，甚至有的老师不作研究给出错误答案。如此处理既是对教材的不尊重，更是错失一次开发、拓展学生思维的良机。我是让学生作为课外作业完成，然后小组交流，得到了两种不同结论：
（1）一部分同学认为“这个位置肯定不存在”。理由是：将∠AOB绕AB旋转到桌面α上，如图11，此时显然有∠AO′B大于∠AOB。
（2）另一部分同学则认为存在这样的位置，使得∠AOB=∠AO′B。并且这些同学进行了实验演示（取其中一个），所做硬纸板锐角三角形AOB三边长为AO=16.4cm，BO=17.7cm，AB=16.2cm。把两个量角器靠在两个角的边上，在转动Rt△OO′B的过程中出现∠AOB与∠AO′B相等（都等于9°）。
面对对立的结果，大家议论纷纷，有人认为两组同学都是从具体的三角形入手，用特殊代替一般，结论缺少说服力。有学生提出需要用代数的方法来分析这个结论是否成立，并加以证明。教师综合大家的意见，将这个问题转化为判断是否存在某个位置，使得这两个角的余弦值相等。
为此，如图10.设∠AO′B=α，∠AOB=β，O′A=a，O′B=b，且a≠b，OA=a1，OB=b1，AB=c。这样cosα=[a2 b2-c22ab]，cosβ=[a12 b12-c22a1b1]，α、β∈（0，π），问题化归为，是否存在c使得α=β，即：是否存在c使得[a2 b2-c22ab=a12 b12-c22a1b1]成立，就是关于c的方程[a2 b2-c22ab=a12 b12-c22a1b1]有解。
把上面的式子变形为[c2=a1b1（a2 b2）-ab（a12 b12）a1b1-ab]于是只要能证明等式右边为正，即可证明这个方程一定有解。
由条件得a1>a，b1>b，分母a1b1-ab>0恒成立。
分子可分解为（aa1-bb1）（ab1-a1b）.
在图10中，不妨设a>b，则有a1>b1，即得aa1-bb1>0.由于△AO′O与△BO′O都是直角三角形，显然有∠O′AO、∠O′BO，从而cos∠O′AO>cos∠O′BO，即有[aa1>bb1]，故ab1-a1b>0.所以，c2>0成立.這就说明确实存在某个位置使得这两个角相等。
热烈的探讨让大家仍觉意犹未尽，不一会儿，又有学生从极端情形给了如下解释：对任意的三边均不相等的锐角三角形AOB，在转动Rt△O′BO的过程中，观察两个极端位置，当∠AO′B=180°时，∠AO′B>∠AOB；当∠AO′B=0°时，∠AO′B<∠AOB。从转动的连续性结合函数零点原理可知，必有∠AO′B=∠AOB出现的时刻。学生所说很有道理，他们的探索还在继续。
本题取材于教材，抽象于生活，入口宽，上手易，结果很有迷惑性。同时这题又有相当难度，大部分学生选（1），他们认为这是一个小题，直观上觉得是显然的。还有一些学生是猜测有可能相等（包括给出数据），能想用代数方法去处理的很少，而且极难成功。解本题不一定要动手操作，它是一道立几题，也可看成是三角问题，处理中要用到一些线段或角的量，然后看可以有哪些数据，需要哪些数据，可以用什么定理求解等等。这其中数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析都有相当体现，确实是一道非常精彩的能渗透数学核心素养的题目。而其中不同学生所用的不同数据，所得不同的表达方式及结果的对错，反映了学生数学素养的层次。显而易见，在这样的“数学实验”中，教师、学生都怀有强烈的冲动，在积极的探索中高潮迭起，在理性的分析中收益良多，潜能在此激发，素养在此形成！
由上可知，数学教学中的实验操作给课堂了一股久违的清风：一是促进了学生“学”的方式的改变，在高中好多操作实践问题其实更需的是一种心灵的“动作”、思维的“操作”。二是增加了教师“教”的模式，实验操作让学生亲手做，亲口说，主动思考，让学生自我发现、展示、评价，这样才能把学生有创意的想法激发出来。同时我们深知，培养学生的核心素养，不是刻意的一日之功、一年之力，是一个润物细无声的长期过程，是在学习中通过感知、感受、体验、思考而自然形成的。
[参 考 文 献]
[1]刘晟，刘恩山.学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].教育学报，2012（2）.
[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美国学习进阶的研究进展及启示[J].外国中小学教育，2015（8）.
[3]汤文兵.“精心设计有效提问，引导学生深度学习”[J].中学数学研究，2015（2）.
（责任编辑：张华伟）