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题目 （“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛题）如图1，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，FM∥AD，则FC的长为.
此题条件简单明了， 涉及到的知识点不多，是一道考查基础知识以及转化能力的好题.经过探索发现解法较多，现介绍给读者，供参考.
探索1：因为AD∥MF，
所以CF/CA=CM/CD.
又AC=11，因此，要求CF的长，只要能求出CM/CD的值即可.
又M为BC的中点，
所以CM/CD=BC/2CD.
因为AD平分∠BAC，所以BD/DC的值容易求，故BC/DC的值可求.
因为BD、DC共点且共线，所以可以通过作辅助平行线来求BD/DC的值.由于辅助平行线的不同作法，有下列解法.
解法1：如图2，过点C作CN∥AB交AD的延长线于点N，则∠1=∠3.
又∠1=∠2，所以∠2=∠3，
所以CN=AC=11，由CN∥AB，得BD/DC=AB/CN=7/11，
即BC/DC=18/11.
因为M为BC的中点，
所以CM/DC=9/11.
因为AD∥MF，所以CF/CA=CM/DC=9/11，所以CF=9/11×11=9.故应填“9”.
为了节约篇幅，以下各解法只要求出BD/DC的值，其余均略去.
解法2：如图2，过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，则∠E=∠2，∠1=∠4.
因为∠1=∠2，所以∠E=∠4，
所以AE=AB=7.
由BE∥AD，得BD/DC=AE/AC=7/11.
解法3：如图2，过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，则∠2=∠5.
因而∠1=∠2，所以∠1=∠5，
所以BG=AB=7.
由BG∥AC，得BD/DC=BG/AC=7/11.
解法4：如图2，过C点作CH∥AD交BA的延长线于点H，则∠1=∠H，∠2=∠ACH.
因为∠1=∠2，所以∠H=∠ACH，
所以AH=AC=11.
由AD∥CH，得BD/DC=BA/AH=7/11.
解法5：如图3，过点D作DE∥AC交AB于点E，则∠2=∠3.
又∠1=∠2，所以∠1=∠3，
所以DE=AE.
由DE∥AC，得BD/DC=BE/EA=BE/ED=BA/AC=7/11.
解法6：如图3，过点D作DG∥AB交AC于点G，则∠1=∠4.又∠1=∠2，
所以∠2=∠4，所以AG=DG.
由DG∥AB，得BD/DC=AG/GC=DG/GC=AB/AC=7/11.
解法7：如图3，过点B作BN⊥AD，过点C作CP⊥AD，N、P为垂足.
因为∠1=∠2，所以Rt△ANB∽Rt△ACP，
所以BN/CP=AB/AC.
因为∠BDN=∠CDP，
所以Rt△BDN∽Rt△CDP.
所以BN/CP=BD/DC，
所以BD/DC=AB/AC=7/11.
解法8：如图3，过点A作直线 l⊥AD，分别过点B、C作 l 的垂线，垂足为H、L，
则BH∥DA∥CL，
所以BD/DC=HA/AL.
因为∠1=∠ABH，∠2=∠ACL，∠1=∠2，所以∠ABH=∠ACL，
所以Rt△BHA∽Rt△CLA，
所以HA/AL=AB/AC，
所以BD/DC=AB/AC=7/11.
解法9：如图4，由AC>AB知∠ABC>∠ACB,故在∠ABC内作∠ABG=∠ACB,边BG交AD于点G.
因为∠1=∠2，所以△ABG∽△ACD，所以BG/DC=AB/AC=7/11，∠AGB=∠ADC，所以∠BGD=∠BDG，所以BG=BD，故BD/DC=7/11.
解法10：如图4，由AC>AB知∠ABC>∠ACB,故以AC为边作∠ACE=∠ABC，CE交AD的延长线于点E.
因为∠1=∠2，所以△ABD∽△ACE，
所以BD/CE=AB/AC=7/11，
∠ADB=∠E.
又∠ADB=∠CDE，
所以∠CDE=∠E，所以DC=CE.
故BD/DC=7/11.
解法11：如图5，因为AC>AB,所以在AC上取AE=AB，连结DE，过点E作EN∥AD交BC于点N，则由已知易证BD=DE=DN.
由EN∥AD，得DN/DC=AE/AC，
故BD/DC=AB/AC=7/11.
解法12：如图5，因为AC>AB，所以在AB的延长线上取AG=AC，连结DG，过点B作BH∥AB交GD于点H，则由已知易证DG=DC，BD=DH.
由BH∥AD，得
DH/DG=AB/AC=7/11，
所以BD/DC=7/11.
解法13：如图5，以点B为圆心，BD之长为半径画弧交AD于点P，连结BP，则BP=BD，
所以∠BDP=∠BPD，
所以∠ADC=∠APB.
又∠1=∠2，所以△ADC∽△APB，
所以PB/DC=AB/AC=7/11，
故BD/DC=7/11.
解法14：如图5，以C为圆心，CD之长为半径画弧交AD的延长线于点Q，连结CQ，则CQ=CD，所以∠CQD=∠CDQ.
因为∠ADB=∠QDC，
所以∠ADB=∠CQD.
又∠1=∠2，所以△ABD∽△ACQ，
所以BD/CQ=AB/AC=7/11，
故BD/DC=7/11.
解法15：如图6，以BC为边，在∠ABC的外部作∠DBN=∠1，边BN交AD的延长线于点N.
因为∠1=∠2，所以∠DBN=∠2，
又∠BDN=∠ADC，所以△BDN∽△ADC，所以DN/DC=BN/AC.
又由△ABN∽△BDN，
得BD/DN=AB/BN.
两式相乘，得BD/DC=AB/AC=7/11.
解法16：如图6，以BC为边，在∠ACB的外部作∠BCE=∠2，边CE交AD的延长线于点E.以下与解法15类似，略去.
探索2：由探索1知，要求FC的长，只要求出BD/DC的值即可，因为BD、DC共点且共线，所以可以利用线段比与三角形的面积比互化来求解，又有以下两种解法.
解法17：如图6，设BC边上的高为 h，
∠BAD=∠DAC=α，
则BD•h=AB•AD•sinα=2S△ABD.
DC•h=AC•ADsinα=2S△ADC
两式相除，得BD/DC=AB/AC=7/11.
解法18：如图6，设BC边上的高为 h，由AD平分∠BAC知，点D到AB、AC的距离相等，设为 h1，则
BD•h=AB•h1=2S△ABD，
DC•h=AC•h1=2S△ADC，
两式相除，得BD/DC=AB/AC=7/11.
探索3：要求CF的长，因为AC=11，所以只要求出AF的长即可；又因为M为BC边的中点，所以可以通过构造三角形的中位线，利用三角形的中位线定理来求解，又有以下几种解法.
解法19：如图7，过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，则由已知易证AE=AB=7.
所以CE=CA+AE=18.
因为AD∥MF，所以MF∥BE.
因为M为BC的中点，所以F为CE的中点，所以FC=9.
解法20：如图7，过点M作MH∥AB交AC于点H，则
CH=AC/2，MH=AB/2.
由已知易证FH=HM，
所以FC=FH+HC=MH+HC=（AB+AC）/2=（7+11）/2=9.
解法21：如图7，延长MF交BA的延长线于点N，则由已知易证AF=AN.
由AD∥MN，得BA/BD=AN/DM=AF/DM=FC/MC，
所以（BA+AF）/BM=FC/MC.
因为BM=MC，所以BA+AF=FC，
即BA+AC-FC=FC，
所以FC=（AB+AC）/2=9.
解法22：如图7，过点C作CG∥AD交BA的延长线于点G，延长MF交AG于点N，则易证AF=AN，AG=AC=11，所以BG=18.
因为AD∥MN，所以MN∥CG.
因为M为BC的中点，所以N为BG的中点，所以BN=9，所以AF=AN=9-7=2.
所以FC=AC-AF=11-2=9.
解法23：如图7，过点M作MP∥AC分别交AB、AD于点P、Q，则MP=AC/2，AP=AB/2.
由已知易证AP=PQ，AF=QM，
所以AF=QM=MP-PQ=（AC-AB）/2=2，所以FC=AC-AF=11-2=9.
解法24：如图7，过点M作MH∥AB交AC于点H，交AD的延长线于点S.则由已知易证
AH=HS，FH=HM.
所以AF=SM=SH-MH=（AC-AB）/2=2,所以FC=AC-AF=11-2=9.
解法25：如图7，过点B作AC的平行线，分别交AD、FM的延长线于点T、I.
则由已知易证BI=FC，BT=AB.
又易证四边形ATIF为，
所以AF=TI，
所以AC-FC=BI-BT=FC-AB，
所以FC=（AB+AC）/2=（7+11）/2
=9.
（初二）
此题条件简单明了， 涉及到的知识点不多，是一道考查基础知识以及转化能力的好题.经过探索发现解法较多，现介绍给读者，供参考.
探索1：因为AD∥MF，
所以CF/CA=CM/CD.
又AC=11，因此，要求CF的长，只要能求出CM/CD的值即可.
又M为BC的中点，
所以CM/CD=BC/2CD.
因为AD平分∠BAC，所以BD/DC的值容易求，故BC/DC的值可求.
因为BD、DC共点且共线，所以可以通过作辅助平行线来求BD/DC的值.由于辅助平行线的不同作法，有下列解法.
解法1：如图2，过点C作CN∥AB交AD的延长线于点N，则∠1=∠3.
又∠1=∠2，所以∠2=∠3，
所以CN=AC=11，由CN∥AB，得BD/DC=AB/CN=7/11，
即BC/DC=18/11.
因为M为BC的中点，
所以CM/DC=9/11.
因为AD∥MF，所以CF/CA=CM/DC=9/11，所以CF=9/11×11=9.故应填“9”.
为了节约篇幅，以下各解法只要求出BD/DC的值，其余均略去.
解法2：如图2，过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，则∠E=∠2，∠1=∠4.
因为∠1=∠2，所以∠E=∠4，
所以AE=AB=7.
由BE∥AD，得BD/DC=AE/AC=7/11.
解法3：如图2，过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，则∠2=∠5.
因而∠1=∠2，所以∠1=∠5，
所以BG=AB=7.
由BG∥AC，得BD/DC=BG/AC=7/11.
解法4：如图2，过C点作CH∥AD交BA的延长线于点H，则∠1=∠H，∠2=∠ACH.
因为∠1=∠2，所以∠H=∠ACH，
所以AH=AC=11.
由AD∥CH，得BD/DC=BA/AH=7/11.
解法5：如图3，过点D作DE∥AC交AB于点E，则∠2=∠3.
又∠1=∠2，所以∠1=∠3，
所以DE=AE.
由DE∥AC，得BD/DC=BE/EA=BE/ED=BA/AC=7/11.
解法6：如图3，过点D作DG∥AB交AC于点G，则∠1=∠4.又∠1=∠2，
所以∠2=∠4，所以AG=DG.
由DG∥AB，得BD/DC=AG/GC=DG/GC=AB/AC=7/11.
解法7：如图3，过点B作BN⊥AD，过点C作CP⊥AD，N、P为垂足.
因为∠1=∠2，所以Rt△ANB∽Rt△ACP，
所以BN/CP=AB/AC.
因为∠BDN=∠CDP，
所以Rt△BDN∽Rt△CDP.
所以BN/CP=BD/DC，
所以BD/DC=AB/AC=7/11.
解法8：如图3，过点A作直线 l⊥AD，分别过点B、C作 l 的垂线，垂足为H、L，
则BH∥DA∥CL，
所以BD/DC=HA/AL.
因为∠1=∠ABH，∠2=∠ACL，∠1=∠2，所以∠ABH=∠ACL，
所以Rt△BHA∽Rt△CLA，
所以HA/AL=AB/AC，
所以BD/DC=AB/AC=7/11.
解法9：如图4，由AC>AB知∠ABC>∠ACB,故在∠ABC内作∠ABG=∠ACB,边BG交AD于点G.
因为∠1=∠2，所以△ABG∽△ACD，所以BG/DC=AB/AC=7/11，∠AGB=∠ADC，所以∠BGD=∠BDG，所以BG=BD，故BD/DC=7/11.
解法10：如图4，由AC>AB知∠ABC>∠ACB,故以AC为边作∠ACE=∠ABC，CE交AD的延长线于点E.
因为∠1=∠2，所以△ABD∽△ACE，
所以BD/CE=AB/AC=7/11，
∠ADB=∠E.
又∠ADB=∠CDE，
所以∠CDE=∠E，所以DC=CE.
故BD/DC=7/11.
解法11：如图5，因为AC>AB,所以在AC上取AE=AB，连结DE，过点E作EN∥AD交BC于点N，则由已知易证BD=DE=DN.
由EN∥AD，得DN/DC=AE/AC，
故BD/DC=AB/AC=7/11.
解法12：如图5，因为AC>AB，所以在AB的延长线上取AG=AC，连结DG，过点B作BH∥AB交GD于点H，则由已知易证DG=DC，BD=DH.
由BH∥AD，得
DH/DG=AB/AC=7/11，
所以BD/DC=7/11.
解法13：如图5，以点B为圆心，BD之长为半径画弧交AD于点P，连结BP，则BP=BD，
所以∠BDP=∠BPD，
所以∠ADC=∠APB.
又∠1=∠2，所以△ADC∽△APB，
所以PB/DC=AB/AC=7/11，
故BD/DC=7/11.
解法14：如图5，以C为圆心，CD之长为半径画弧交AD的延长线于点Q，连结CQ，则CQ=CD，所以∠CQD=∠CDQ.
因为∠ADB=∠QDC，
所以∠ADB=∠CQD.
又∠1=∠2，所以△ABD∽△ACQ，
所以BD/CQ=AB/AC=7/11，
故BD/DC=7/11.
解法15：如图6，以BC为边，在∠ABC的外部作∠DBN=∠1，边BN交AD的延长线于点N.
因为∠1=∠2，所以∠DBN=∠2，
又∠BDN=∠ADC，所以△BDN∽△ADC，所以DN/DC=BN/AC.
又由△ABN∽△BDN，
得BD/DN=AB/BN.
两式相乘，得BD/DC=AB/AC=7/11.
解法16：如图6，以BC为边，在∠ACB的外部作∠BCE=∠2，边CE交AD的延长线于点E.以下与解法15类似，略去.
探索2：由探索1知，要求FC的长，只要求出BD/DC的值即可，因为BD、DC共点且共线，所以可以利用线段比与三角形的面积比互化来求解，又有以下两种解法.
解法17：如图6，设BC边上的高为 h，
∠BAD=∠DAC=α，
则BD•h=AB•AD•sinα=2S△ABD.
DC•h=AC•ADsinα=2S△ADC
两式相除，得BD/DC=AB/AC=7/11.
解法18：如图6，设BC边上的高为 h，由AD平分∠BAC知，点D到AB、AC的距离相等，设为 h1，则
BD•h=AB•h1=2S△ABD，
DC•h=AC•h1=2S△ADC，
两式相除，得BD/DC=AB/AC=7/11.
探索3：要求CF的长，因为AC=11，所以只要求出AF的长即可；又因为M为BC边的中点，所以可以通过构造三角形的中位线，利用三角形的中位线定理来求解，又有以下几种解法.
解法19：如图7，过点B作BE∥AD交CA的延长线于点E，则由已知易证AE=AB=7.
所以CE=CA+AE=18.
因为AD∥MF，所以MF∥BE.
因为M为BC的中点，所以F为CE的中点，所以FC=9.
解法20：如图7，过点M作MH∥AB交AC于点H，则
CH=AC/2，MH=AB/2.
由已知易证FH=HM，
所以FC=FH+HC=MH+HC=（AB+AC）/2=（7+11）/2=9.
解法21：如图7，延长MF交BA的延长线于点N，则由已知易证AF=AN.
由AD∥MN，得BA/BD=AN/DM=AF/DM=FC/MC，
所以（BA+AF）/BM=FC/MC.
因为BM=MC，所以BA+AF=FC，
即BA+AC-FC=FC，
所以FC=（AB+AC）/2=9.
解法22：如图7，过点C作CG∥AD交BA的延长线于点G，延长MF交AG于点N，则易证AF=AN，AG=AC=11，所以BG=18.
因为AD∥MN，所以MN∥CG.
因为M为BC的中点，所以N为BG的中点，所以BN=9，所以AF=AN=9-7=2.
所以FC=AC-AF=11-2=9.
解法23：如图7，过点M作MP∥AC分别交AB、AD于点P、Q，则MP=AC/2，AP=AB/2.
由已知易证AP=PQ，AF=QM，
所以AF=QM=MP-PQ=（AC-AB）/2=2，所以FC=AC-AF=11-2=9.
解法24：如图7，过点M作MH∥AB交AC于点H，交AD的延长线于点S.则由已知易证
AH=HS，FH=HM.
所以AF=SM=SH-MH=（AC-AB）/2=2,所以FC=AC-AF=11-2=9.
解法25：如图7，过点B作AC的平行线，分别交AD、FM的延长线于点T、I.
则由已知易证BI=FC，BT=AB.
又易证四边形ATIF为，
所以AF=TI，
所以AC-FC=BI-BT=FC-AB，
所以FC=（AB+AC）/2=（7+11）/2
=9.
（初二）