论文部分内容阅读
数学填空题，作为江苏新高考数学试题中第一大类型题，考查目标集中，旨在考查数学基础知识和考生的基本技能；重在考查考生分析问题、解决问题的能力以及严密的逻辑思维和运算能力.填空题只要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简.结果稍有毛病，便得零分. 针对填空题的特点，我们的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫.而要做到“准”、“巧”、“快”，我们必须掌握一些最有效的解题方法.填空题解法知多少，让我们一起来看一看.
1．直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.
例1 设表示不大于x的最大整数，集合A={x|x2-2=3}，B={x|18＜2x＜8}，则A∩B=.
解析：此题是一元二次方程根分布问题，涉及指数不等式的解法，函数与方程思想，分类讨论思想等.求解此题惟有直接法.
不等式18＜2x＜8的解为-3＜x＜3，所以B={-3,3}.
若x∈A∩B，则x2-2=3-3＜x＜3，所以只可能取值-3,-2,-1,0,1,2.
若≤-2，则x2=3+2＜0，没有实数解；若=-1，则x2=1，解得x=-1；
若=0，则x2=3，没有符合条件的解；若=1，则x2=5，没有符合条件的解；
若=2，则x2=7，有一个符合条件的解x=7.
因此，A∩B={-1,7}.
说明：用直接法做的填空题，往往是一道小型计算题，此类问题除了考查某些知识点外，往往还考查某种数学思想和方法.
2．特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.
例2 如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别为侧棱AA1,CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为.
解析：P、Q点是变化的，但相互之间存在着条件AP=C1Q的牵制，使得四边形APQC的面积为定值，而B点到面APQC的距离为定值，所以四棱锥B-APQC的体积为定值，考虑特殊位置，P→A,Q→C1，则易知VB-APQC=VB-AC1C=13V.
说明：特殊化法，就是将题中的某个条件“特殊化”，其目的是在“特殊化”的条件下快速算出结果，至于如何将条件“特殊化”，应具体问题具体分析，便于计算即可.
3．赋值法
特殊值代入法，即赋值法，是解填空题题的常用方法.填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可，故其应用相当普遍.
例3 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2，则f(2011)等于.
解析：因为函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称，所以f(x)是偶函数，于是由f(x+4)=f(x)+f(2)知f(-x+4)=f(-x)+f(2)=f(x)+f(2)，令x=2，得f(2)=0，所以有f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为4.
所以f(2011)=f(-1)=f(1)=2，
说明：赋值法在抽象函数问题和二项式定理问题十分有效.
4．构造法
根据已知条件所提供的信息，适当的有目的的去构造函数、数列、方程或几何图形等使问题获解.
例4 数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1.问：2009表示为1个或几个正整数的和的方法有种.
解析：我们将2009个1写成一行，它们之间留有20088个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号.例如对于数3，上述4种和的表达方法对应： 111，11＋1，1＋11，1＋1＋1.显然，将2009表示成和的形式与填写2008个空隙处的方式之间一对一，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此2009可以表示为正整数之和的不同方法有
（种）.
说明：构造法的本质就是构造恰当的数学模型，从看似没有规律的“现象”中找到数学规律，这类问题具有较高的难度，我们应善于联想，大胆尝试.
5．等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.
例5 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c.在区间上是单调递减函数，求a2+b2的最小值为.
解析：由题意知f′(x)=3x2+2ax+b≤0在区间上恒成立，于是有f′(-1)=3-2a+b≤0f′(0)=b≤0，所表示的平面区域如图所示，a2+b2的最小值即为原点到直线3-2a+b=0的距离的平方.不难算得答案为95.
说明：等价转化是数学解题的“主旋律”.有些填空题“外包装”很“华丽”，但一旦“剥去”这层“包装”，基本的数学问题就会“凸现”，本例就是如此.
6．动态操作法
通过动手操作（实物模型）或模拟空间中的点、线、面元素的位置关系，探究解题过程，如翻折、展开、旋转、投影等等.
例6 如图2，正三棱锥S-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是.
解析：因为S-ABC是正三棱锥，所以四边形EFGH为矩形，∴SEFGH=HG•EH，HG=12AB=a，是确定的，EH=12SC，是变化的，考虑EFGH的面积的取值范围，其实质是SC的变化范围.因为S-ABC是正三棱锥， S点在过△ABC的中心且垂直于面ABC的直线上运动，当S点处于无穷远的“极限位置”时，SC趋近于无穷大，当S点处于平面内的“极限位置”时，“SC”=23•32•(2a)=233a，“SEFGH”=33a2，所以，四边形EFGH的面积的取值范围是（33a2,+∞）.
说明：动态操作法就是用运动的观点处理问题，这个方法通常用在立体几何和解析几何相关的填空题中.
7．数形结合法
通过以数示形，以形示数，借助图形的直观性（函数图像、几何意义等）来求解.
例7 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，且x∈时，f(x)=x2，g(x)=log5 x，则方程f(x)=g(x)的解的个数为.
解析：f(x)=g(x)是个超越方程，我们无法把根一一求出，而结果只关心根的个数，于是想到通过作图象来直观判断.由条件知，函数y=f(x)(x∈R)是以2为周期的周期函数，且当x∈时，f(x)=x2.在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象（如图），由图象易知，y=f(x)与y=g(x)有4个交点，故方程f(x)=g(x)的解的个数为4.说明：数形结合法虽然能使答案一望便知，但作图必须力图精确，尤其是函数图象，否则也难保结果准确.
[JX+1.7mm][XC0833B.TIF；%115%100][JX-+1.7mm][KG-23.5mm]8．类比推理法
类比推理是一事物推广到它事物的过程，即指由某类对象的某些属性，运用类比推出它所在别的属性上也可能具有相同或相似的属性.“类比”的载体可以是平面到空间的升维，也可以是方法的迁移、策略上的推广、情景上的发散等等.
例8 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍.你可以从给出的简单图形①、②中[JP3]体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x2a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2=a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为．
解析：用平行于y轴的直线x=t截图形，截得的椭圆弦长为2baa2-t2，截得圆的弦长为2a2-t2，它们的比为ba，∵圆的面积为πa2，∴椭圆的面积为πab.把这个结论推广到空间，就是祖恒原理了．
说明：类比推理型填空题是近几年高考的热点问题，这类要求我们由此及彼，发散思维，快速找到一些问题的“共同语言”.
其实，解答填空题的方法，何止上文提到的八种！而能够多角度思考问题，灵活选择方法，才是快速准确地解数学填空题的关键！
1．直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.
例1 设表示不大于x的最大整数，集合A={x|x2-2=3}，B={x|18＜2x＜8}，则A∩B=.
解析：此题是一元二次方程根分布问题，涉及指数不等式的解法，函数与方程思想，分类讨论思想等.求解此题惟有直接法.
不等式18＜2x＜8的解为-3＜x＜3，所以B={-3,3}.
若x∈A∩B，则x2-2=3-3＜x＜3，所以只可能取值-3,-2,-1,0,1,2.
若≤-2，则x2=3+2＜0，没有实数解；若=-1，则x2=1，解得x=-1；
若=0，则x2=3，没有符合条件的解；若=1，则x2=5，没有符合条件的解；
若=2，则x2=7，有一个符合条件的解x=7.
因此，A∩B={-1,7}.
说明：用直接法做的填空题，往往是一道小型计算题，此类问题除了考查某些知识点外，往往还考查某种数学思想和方法.
2．特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.
例2 如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别为侧棱AA1,CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为.
解析：P、Q点是变化的，但相互之间存在着条件AP=C1Q的牵制，使得四边形APQC的面积为定值，而B点到面APQC的距离为定值，所以四棱锥B-APQC的体积为定值，考虑特殊位置，P→A,Q→C1，则易知VB-APQC=VB-AC1C=13V.
说明：特殊化法，就是将题中的某个条件“特殊化”，其目的是在“特殊化”的条件下快速算出结果，至于如何将条件“特殊化”，应具体问题具体分析，便于计算即可.
3．赋值法
特殊值代入法，即赋值法，是解填空题题的常用方法.填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可，故其应用相当普遍.
例3 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.若函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2，则f(2011)等于.
解析：因为函数f(x-1)的图像关于直线x=1对称，所以f(x)是偶函数，于是由f(x+4)=f(x)+f(2)知f(-x+4)=f(-x)+f(2)=f(x)+f(2)，令x=2，得f(2)=0，所以有f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为4.
所以f(2011)=f(-1)=f(1)=2，
说明：赋值法在抽象函数问题和二项式定理问题十分有效.
4．构造法
根据已知条件所提供的信息，适当的有目的的去构造函数、数列、方程或几何图形等使问题获解.
例4 数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1.问：2009表示为1个或几个正整数的和的方法有种.
解析：我们将2009个1写成一行，它们之间留有20088个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号.例如对于数3，上述4种和的表达方法对应： 111，11＋1，1＋11，1＋1＋1.显然，将2009表示成和的形式与填写2008个空隙处的方式之间一对一，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此2009可以表示为正整数之和的不同方法有
（种）.
说明：构造法的本质就是构造恰当的数学模型，从看似没有规律的“现象”中找到数学规律，这类问题具有较高的难度，我们应善于联想，大胆尝试.
5．等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.
例5 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c.在区间上是单调递减函数，求a2+b2的最小值为.
解析：由题意知f′(x)=3x2+2ax+b≤0在区间上恒成立，于是有f′(-1)=3-2a+b≤0f′(0)=b≤0，所表示的平面区域如图所示，a2+b2的最小值即为原点到直线3-2a+b=0的距离的平方.不难算得答案为95.
说明：等价转化是数学解题的“主旋律”.有些填空题“外包装”很“华丽”，但一旦“剥去”这层“包装”，基本的数学问题就会“凸现”，本例就是如此.
6．动态操作法
通过动手操作（实物模型）或模拟空间中的点、线、面元素的位置关系，探究解题过程，如翻折、展开、旋转、投影等等.
例6 如图2，正三棱锥S-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是.
解析：因为S-ABC是正三棱锥，所以四边形EFGH为矩形，∴SEFGH=HG•EH，HG=12AB=a，是确定的，EH=12SC，是变化的，考虑EFGH的面积的取值范围，其实质是SC的变化范围.因为S-ABC是正三棱锥， S点在过△ABC的中心且垂直于面ABC的直线上运动，当S点处于无穷远的“极限位置”时，SC趋近于无穷大，当S点处于平面内的“极限位置”时，“SC”=23•32•(2a)=233a，“SEFGH”=33a2，所以，四边形EFGH的面积的取值范围是（33a2,+∞）.
说明：动态操作法就是用运动的观点处理问题，这个方法通常用在立体几何和解析几何相关的填空题中.
7．数形结合法
通过以数示形，以形示数，借助图形的直观性（函数图像、几何意义等）来求解.
例7 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，且x∈时，f(x)=x2，g(x)=log5 x，则方程f(x)=g(x)的解的个数为.
解析：f(x)=g(x)是个超越方程，我们无法把根一一求出，而结果只关心根的个数，于是想到通过作图象来直观判断.由条件知，函数y=f(x)(x∈R)是以2为周期的周期函数，且当x∈时，f(x)=x2.在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象（如图），由图象易知，y=f(x)与y=g(x)有4个交点，故方程f(x)=g(x)的解的个数为4.说明：数形结合法虽然能使答案一望便知，但作图必须力图精确，尤其是函数图象，否则也难保结果准确.
[JX+1.7mm][XC0833B.TIF；%115%100][JX-+1.7mm][KG-23.5mm]8．类比推理法
类比推理是一事物推广到它事物的过程，即指由某类对象的某些属性，运用类比推出它所在别的属性上也可能具有相同或相似的属性.“类比”的载体可以是平面到空间的升维，也可以是方法的迁移、策略上的推广、情景上的发散等等.
例8 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍.你可以从给出的简单图形①、②中[JP3]体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x2a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2=a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为．
解析：用平行于y轴的直线x=t截图形，截得的椭圆弦长为2baa2-t2，截得圆的弦长为2a2-t2，它们的比为ba，∵圆的面积为πa2，∴椭圆的面积为πab.把这个结论推广到空间，就是祖恒原理了．
说明：类比推理型填空题是近几年高考的热点问题，这类要求我们由此及彼，发散思维，快速找到一些问题的“共同语言”.
其实，解答填空题的方法，何止上文提到的八种！而能够多角度思考问题，灵活选择方法，才是快速准确地解数学填空题的关键！