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【摘要】文章所研究的易错点，主要是指学生在数学知识获取和应用的过程中最容易出现的误解、误识、误用的知识点.小学生思维能力较弱，很容易在学习理解和应用解题的过程中混淆某知识点的相关概念和逻辑.数学教师如果不加以纠正和引导，不仅容易导致学生在后期的考试中失分，而且不利于學生获取新的数学知识.而后期的纠正和引导，显然不如教师的提前干预效率更高.
【关键词】小学高年级数学;易错点;提前干预
引言：易错点可以被视为数学教学中的重难点.一般来说，学生数学知识学习和应用的易错通常是逻辑不清、理解错误或牢固度不够等.如果不对易错点进行提前干预，而只采用后期的纠正举措，这有些类似于“亡羊补牢”，虽然能解决问题，但是很难提高学生的学习质量和教师教学的效率.因而，如果教师能够在教学中提前预判学生可能出现的易错点，在教学的过程中就采用一些有效的提前干预措施，那么就能大量减少学生出现错误的现象，再辅以根据学生在学习训练过程中所呈现出来的错误进行补救的策略，则可以保证教学质量和效率的提升，也能在很大程度上提升学生学习发展的质量.
一、易错点产生的原因细分
经过笔者大量的实践和研究表明，导致数学易错点产生的原因包含以下几方面.
（一）教师备课不扎实
随着技术的发展，教学的形式和手段发生了变化，信息化教学的应用，使教学的质量和效率以及教师备课的质量和效率都得到了较大幅度的提升.但是，这可能也造成了一些教师过于依赖于信息技术，使备课质量出现了下滑的问题.当前，很多数学教师在授课时都会借助幻灯片或者多媒体设备进行授课.很多教师为了一时方便，会直接从网站上下载别人的教案进行“备课”.由此，就导致了教师对教材的研究层次不深，理解不足.因为这种备课形式，表面上看速度非常快，基本上就是把网站上的课件直接用于教学.但教师没有考虑到，网站上的课件是基于设计者的情况设计出来的，并不一定与自身的教学需求、学情相符合.教师不根据自己学生的学习情况、思维状态等因素进行分析，不去找自己学生在学习中可能遇到的难点.这样，教师在用这些借来的课件进行授课时，只是对本节课包含的重要知识点一笔带过，没有针对自己学生的易错点进行针对性的讲解和重点提示，就会造成学生数学概念混淆、易错点掌握情况较差等问题.
（二）数学公式记忆偏差
根据对班上大多数学生的走访调查得知，很多学生仍然对公式记忆不清，甚至有些学生在小升初考试之前还不清楚四则运算的顺序和乘法交换式的公式.公式的记忆偏差造成很多学生在考场上失分，导致学生在很多非常简单的试题上计算错误.其实，数学的记忆和语文、英语等学科的记忆不一样，数学的记忆量不多，几节课才会涉及一个公式需要学生记忆.因而，从这个角度分析，其实学生数学公式记忆偏差的原因，主要不是学生不用功的问题，而是教师引导学生的方法可能存在着问题.数学的公式记忆，其实是一种理解性的、逻辑性的记忆，并不是背单词一样死记硬背，其基础是理解.如果教师没有把握好这个记忆规律，其教学的方法就很可能造成学生记忆公式出现困难，从而出现公式应用的“易错”.
（三）混淆公式概念
我们可以将小学数学学习比作修盖高楼的地基，如果不打好基础，会导致学生初高中阶段的数学学习非常吃力.举例来说，如果学生的计算整数乘法的能力薄弱，那么学生在进行小数乘法计算时就会更加困难.而对于数学知识来说，公式、概念这些内容就是基础中的基础，是真正的“地基”.比如，学习几何知识，学生连“点、线、面、体”这四个概念都是模糊的，只是大概知道，仔细的概念又说不太清，那么，显然无论是运用还是对将来的学习发展都会受到影响.而出现这个易错点的原因，与公式记忆易错相似，就是教师在教学公式概念的时候，所采用的方法、策略不符合公式概念的认知规律.学生没有听明白，等后面接触更多同类的、相似的公式概念时，就出现了混淆，而且是越学越乱.
（四）课堂学习效率低下
根据调查研究表明，小学生由于年龄较小，一般的专注力集中时间不会高于15分钟，而且小学生自控能力不足，只要受到外界干扰，小学生的注意力就会被其他事物吸引.学生专注力的低下必然导致其课堂学习效率低下，如果学生的基础知识掌握的不扎实，必然会在练习和考试中出错.出现这类易错的原因，除了前面所说的，教师在传授知识、引导记忆的时候方法不符合规律之外，就是教师没有对学生学习品质、习惯以及心理进行有效引导.数学的学习对学生没有吸引力，上课时不愿意听、不擅长思考，下课时不愿意练，没有好习惯.在这种学情之下，教师再怎么努力，也是白费.
从以上分析就可以看出，虽然通常来说，学生容易出错的题目类型多为应用题、计算题，但这只是学生错误的呈现渠道，而真正的原因则是知识掌握不牢固和理解不透彻，以及学习品质不佳、学习方法不正确等问题.如果教师将学生做错题目的原因完全归因于学生马虎大意和审题不仔细，这也是不科学的判断.
二、对数学易错点进行提前干预的重要性
学生在一个知识点上反复做错，不仅会影响学生对数学学习的自信，而且会误导教师对该生的评价，更主要的是影响学生的学习发展.所以，教师应重视通过发现学生的易错点，并予以及时的纠正和指导，使学生彻底将易错变为易对.
但是，很多教师在这方面所采用的策略是后期纠正的策略.也就是当学生在练习、考试的时候出现了问题，教师才会根据这些问题对学生进行补课、纠正.这种亡羊补牢式的易错点解决策略存在着两个问题.第一，学生的思维已经形成了固化.在新学的时候，学生的理解、记忆已经存在了错误，并且在课下的巩固中，也是按着错误的思维和理解去进行的.这样，错误的知识、技能其实已经在学生头脑中比较“顽固”了.这时候教师再去纠正，学生一时很难摆脱错误的思维惯性.也就是说，错误还可能会继续存在.第二，事后干预很明显是一种重复式的教学.在新授课时，教师本来已经按规划完成了教学（前面分析过，出现易错点很大的原因是教师教学的设计有问题）.这时候，教师发现了学生的错误，然后又回到原点，重新调整教学方法（有的教师还不进行调整），再带领学生把某个知识点再学一遍.显然，这是用了双倍的时间去完成本来应该一次完成的教学任务. 如果教师在新授课之前，就对学生可能遇到的难点、易错点进行预判，然后在备课时专门设计强化这方面教学的方法和步骤，使学生在新学时，就把易错点消于“未错”.这样，学生的巩固质量、练习效率以及考试成绩都会提升，也节省了大量的教学时间，可以用于展开对学生素养的培养甚至是拓展.由此可见，教师一定要对数学知识点中的一些易错点进行提前干预.但教师几乎不太可能完全预判出学生可能出现的易错点和难点，难免会出现一些遗落（但有了提前干预，这会很少），这就需要采用事后补习的策略.因而，对于易错点，教师应该是以提前干预为主，以事后补习为辅.
三、数学教师对易错点的提前干预策略
（一）针对易错题型进行提前干预
易错题是易错点最为直接的表现形式，自然也就是解决学生易错点的主要着力点.如果教师可以采用相应的举措对学生的易错题进行有效干预，提高学生对易错题所对应的知识点的认识和理解，做好预防工作，那么学生的解题速度和正确率会大幅提升.
例如，在学习“负数的初步认识”这部分内容的过程中，由于小学生长期处于“正数”思维定式的影响之中，很难转变原先的固有认识.比如，在带领学生认识负数的过程中，很多学生会将负数前面的“-”号直接忽略掉，按照以往的认知经验，认为数字越大数值也就越大，由此导致学生在后期的“比较大小”的题目练习中频繁出错.其实，这并不能完全归因于学生的粗心大意，没有观察到试题中的“-”号，而是因为学生缺少对这个知识点直观的体验感知.也就是前面所分析的，教师在教授这个知识点时，没有考虑到学生习惯于感性思维的特征，没有采用直观的教学方法.基于这样的分析，根据此类错题，数学教师可以在授课的时候借助实物进行教学，通过直观的方式来加深学生对知识的印象，对这个易错的知识点进行提前干预.比如，教师可以借助温度计进行教学，让学生将视线的重点放到刻度0上，先列举一些生活中经常听到的“零下15摄氏度、零下20摄氏度”，用这些生活用语作为资源供学生对负数与正数的概念进行讨论和比较，通过直观的视觉方式引导学生自己发现负数的大小关系，即0以下的温度，越靠近温度计的“刻度0”，温度越高，也就是数值越大.这样，当学生做此類试题时，无论负数大小，学生的脑海中都会浮现温度计的图像，用直观思维来完成思考，就很少会出现错误了.只要学生完成了这个思维直观与抽象的转换，掌握了知识要点，即可提高做题的正确率.
（二）对易错点进行及时总结
在数学学习过程中，最为科学的一种学习方式是让学生找到适合自己的学习方法.学习如逆水行舟，不进则退，数学学习也是相同的.如果学生连续在同一个易混淆概念上栽了两次跟头，就说明学生的学习方法存在问题，需要教师及时跟进指导.这其实也对应着一个数学的素养问题——建模能力.也就是学生在学习和理解知识点的时候，没有将这个知识点放到整个数学知识体系中去思考和归位，没有将对应的知识与其他知识建立关联，也没有理顺数学知识的学、解与用的逻辑关系.基于这样的考量，教师在对学生的易错点进行提前干预时，需要注意不要总是“头痛医头、脚痛医脚”，而是需要注重知识的建模，带领学生围绕易错点对知识进行系统的归纳和总结.
例如，教师可以建议学生购买多种颜色的彩笔和一个错题本，将教师在课堂上讲解过的易混淆知识点全部记录下来，在平时的课堂预习和复习中反复研究，形成一个以错题为中心的知识体系.例如，在学习“分数的加法和减法”这部分内容时，很多学生一心急就会用整数的加减法运算形式来计算，将“通分”这一关键步骤抛却脑后，这就是学生没有将整数计算与分数计算的知识统筹起来所造成的.基于此，教师可以用记忆口诀的形式帮助学生总结易错点，让学生将口诀铭记在大脑中.这样一来，学生在解同类题型的时候，就有了一个思维模式.
（三）期中和期末进行易错知识点统一梳理
期中考试和期末考试是检验学生本学段学习效果的最佳手段，同时是对本学期学习过程中存在的易错点进行梳理和分析的最佳时期.基于此，教师可以根据学生试卷中的易错知识点的分布情况，单独拿出一节课来进行知识点的系统化梳理.
例如，在对学生的易错知识点分布情况进行整理后得出全班近67%以上的易错点集中在分数的四则混合运算过程中.有的学生在进行通分后就将整数四则运算规律抛诸脑后，按照顺序进行计算，导致做错.基于此，教师可以将分数四则运算作为易错点树立重点，先将学生分成小组对各自的试卷中做错的分数四则运算题目单独列出来进行互评，让学生自己发现错误，然后根据错误情况有针对性地进行讲解，深化学生对分数四则运算方法的理解.
结束语
综合来看，无论是教师还是学生，都要在易错点中吸取经验和教训.对教师而言，一定要深化对课程的理解和掌握，不断提高自己的教学水平;对学生而言，要在课堂上认真听讲，做到胆大心细，不断提高自己的做题正确率.对于数学的易错点，教师应本着提前干预为主，事后补习为辅的理念，以保证教学的质量和效果以及学生数学素养的良好发展.
【参考文献】
[1]薛惠萍，巩红江.小学数学教学中易错点提前干预策略[J].新课程（教研版），2017（12）：109.
[2]索雷波.防患未然——初中数学易错题提前干预策略[J].情感读本，2017（26）：114.
【关键词】小学高年级数学;易错点;提前干预
引言：易错点可以被视为数学教学中的重难点.一般来说，学生数学知识学习和应用的易错通常是逻辑不清、理解错误或牢固度不够等.如果不对易错点进行提前干预，而只采用后期的纠正举措，这有些类似于“亡羊补牢”，虽然能解决问题，但是很难提高学生的学习质量和教师教学的效率.因而，如果教师能够在教学中提前预判学生可能出现的易错点，在教学的过程中就采用一些有效的提前干预措施，那么就能大量减少学生出现错误的现象，再辅以根据学生在学习训练过程中所呈现出来的错误进行补救的策略，则可以保证教学质量和效率的提升，也能在很大程度上提升学生学习发展的质量.
一、易错点产生的原因细分
经过笔者大量的实践和研究表明，导致数学易错点产生的原因包含以下几方面.
（一）教师备课不扎实
随着技术的发展，教学的形式和手段发生了变化，信息化教学的应用，使教学的质量和效率以及教师备课的质量和效率都得到了较大幅度的提升.但是，这可能也造成了一些教师过于依赖于信息技术，使备课质量出现了下滑的问题.当前，很多数学教师在授课时都会借助幻灯片或者多媒体设备进行授课.很多教师为了一时方便，会直接从网站上下载别人的教案进行“备课”.由此，就导致了教师对教材的研究层次不深，理解不足.因为这种备课形式，表面上看速度非常快，基本上就是把网站上的课件直接用于教学.但教师没有考虑到，网站上的课件是基于设计者的情况设计出来的，并不一定与自身的教学需求、学情相符合.教师不根据自己学生的学习情况、思维状态等因素进行分析，不去找自己学生在学习中可能遇到的难点.这样，教师在用这些借来的课件进行授课时，只是对本节课包含的重要知识点一笔带过，没有针对自己学生的易错点进行针对性的讲解和重点提示，就会造成学生数学概念混淆、易错点掌握情况较差等问题.
（二）数学公式记忆偏差
根据对班上大多数学生的走访调查得知，很多学生仍然对公式记忆不清，甚至有些学生在小升初考试之前还不清楚四则运算的顺序和乘法交换式的公式.公式的记忆偏差造成很多学生在考场上失分，导致学生在很多非常简单的试题上计算错误.其实，数学的记忆和语文、英语等学科的记忆不一样，数学的记忆量不多，几节课才会涉及一个公式需要学生记忆.因而，从这个角度分析，其实学生数学公式记忆偏差的原因，主要不是学生不用功的问题，而是教师引导学生的方法可能存在着问题.数学的公式记忆，其实是一种理解性的、逻辑性的记忆，并不是背单词一样死记硬背，其基础是理解.如果教师没有把握好这个记忆规律，其教学的方法就很可能造成学生记忆公式出现困难，从而出现公式应用的“易错”.
（三）混淆公式概念
我们可以将小学数学学习比作修盖高楼的地基，如果不打好基础，会导致学生初高中阶段的数学学习非常吃力.举例来说，如果学生的计算整数乘法的能力薄弱，那么学生在进行小数乘法计算时就会更加困难.而对于数学知识来说，公式、概念这些内容就是基础中的基础，是真正的“地基”.比如，学习几何知识，学生连“点、线、面、体”这四个概念都是模糊的，只是大概知道，仔细的概念又说不太清，那么，显然无论是运用还是对将来的学习发展都会受到影响.而出现这个易错点的原因，与公式记忆易错相似，就是教师在教学公式概念的时候，所采用的方法、策略不符合公式概念的认知规律.学生没有听明白，等后面接触更多同类的、相似的公式概念时，就出现了混淆，而且是越学越乱.
（四）课堂学习效率低下
根据调查研究表明，小学生由于年龄较小，一般的专注力集中时间不会高于15分钟，而且小学生自控能力不足，只要受到外界干扰，小学生的注意力就会被其他事物吸引.学生专注力的低下必然导致其课堂学习效率低下，如果学生的基础知识掌握的不扎实，必然会在练习和考试中出错.出现这类易错的原因，除了前面所说的，教师在传授知识、引导记忆的时候方法不符合规律之外，就是教师没有对学生学习品质、习惯以及心理进行有效引导.数学的学习对学生没有吸引力，上课时不愿意听、不擅长思考，下课时不愿意练，没有好习惯.在这种学情之下，教师再怎么努力，也是白费.
从以上分析就可以看出，虽然通常来说，学生容易出错的题目类型多为应用题、计算题，但这只是学生错误的呈现渠道，而真正的原因则是知识掌握不牢固和理解不透彻，以及学习品质不佳、学习方法不正确等问题.如果教师将学生做错题目的原因完全归因于学生马虎大意和审题不仔细，这也是不科学的判断.
二、对数学易错点进行提前干预的重要性
学生在一个知识点上反复做错，不仅会影响学生对数学学习的自信，而且会误导教师对该生的评价，更主要的是影响学生的学习发展.所以，教师应重视通过发现学生的易错点，并予以及时的纠正和指导，使学生彻底将易错变为易对.
但是，很多教师在这方面所采用的策略是后期纠正的策略.也就是当学生在练习、考试的时候出现了问题，教师才会根据这些问题对学生进行补课、纠正.这种亡羊补牢式的易错点解决策略存在着两个问题.第一，学生的思维已经形成了固化.在新学的时候，学生的理解、记忆已经存在了错误，并且在课下的巩固中，也是按着错误的思维和理解去进行的.这样，错误的知识、技能其实已经在学生头脑中比较“顽固”了.这时候教师再去纠正，学生一时很难摆脱错误的思维惯性.也就是说，错误还可能会继续存在.第二，事后干预很明显是一种重复式的教学.在新授课时，教师本来已经按规划完成了教学（前面分析过，出现易错点很大的原因是教师教学的设计有问题）.这时候，教师发现了学生的错误，然后又回到原点，重新调整教学方法（有的教师还不进行调整），再带领学生把某个知识点再学一遍.显然，这是用了双倍的时间去完成本来应该一次完成的教学任务. 如果教师在新授课之前，就对学生可能遇到的难点、易错点进行预判，然后在备课时专门设计强化这方面教学的方法和步骤，使学生在新学时，就把易错点消于“未错”.这样，学生的巩固质量、练习效率以及考试成绩都会提升，也节省了大量的教学时间，可以用于展开对学生素养的培养甚至是拓展.由此可见，教师一定要对数学知识点中的一些易错点进行提前干预.但教师几乎不太可能完全预判出学生可能出现的易错点和难点，难免会出现一些遗落（但有了提前干预，这会很少），这就需要采用事后补习的策略.因而，对于易错点，教师应该是以提前干预为主，以事后补习为辅.
三、数学教师对易错点的提前干预策略
（一）针对易错题型进行提前干预
易错题是易错点最为直接的表现形式，自然也就是解决学生易错点的主要着力点.如果教师可以采用相应的举措对学生的易错题进行有效干预，提高学生对易错题所对应的知识点的认识和理解，做好预防工作，那么学生的解题速度和正确率会大幅提升.
例如，在学习“负数的初步认识”这部分内容的过程中，由于小学生长期处于“正数”思维定式的影响之中，很难转变原先的固有认识.比如，在带领学生认识负数的过程中，很多学生会将负数前面的“-”号直接忽略掉，按照以往的认知经验，认为数字越大数值也就越大，由此导致学生在后期的“比较大小”的题目练习中频繁出错.其实，这并不能完全归因于学生的粗心大意，没有观察到试题中的“-”号，而是因为学生缺少对这个知识点直观的体验感知.也就是前面所分析的，教师在教授这个知识点时，没有考虑到学生习惯于感性思维的特征，没有采用直观的教学方法.基于这样的分析，根据此类错题，数学教师可以在授课的时候借助实物进行教学，通过直观的方式来加深学生对知识的印象，对这个易错的知识点进行提前干预.比如，教师可以借助温度计进行教学，让学生将视线的重点放到刻度0上，先列举一些生活中经常听到的“零下15摄氏度、零下20摄氏度”，用这些生活用语作为资源供学生对负数与正数的概念进行讨论和比较，通过直观的视觉方式引导学生自己发现负数的大小关系，即0以下的温度，越靠近温度计的“刻度0”，温度越高，也就是数值越大.这样，当学生做此類试题时，无论负数大小，学生的脑海中都会浮现温度计的图像，用直观思维来完成思考，就很少会出现错误了.只要学生完成了这个思维直观与抽象的转换，掌握了知识要点，即可提高做题的正确率.
（二）对易错点进行及时总结
在数学学习过程中，最为科学的一种学习方式是让学生找到适合自己的学习方法.学习如逆水行舟，不进则退，数学学习也是相同的.如果学生连续在同一个易混淆概念上栽了两次跟头，就说明学生的学习方法存在问题，需要教师及时跟进指导.这其实也对应着一个数学的素养问题——建模能力.也就是学生在学习和理解知识点的时候，没有将这个知识点放到整个数学知识体系中去思考和归位，没有将对应的知识与其他知识建立关联，也没有理顺数学知识的学、解与用的逻辑关系.基于这样的考量，教师在对学生的易错点进行提前干预时，需要注意不要总是“头痛医头、脚痛医脚”，而是需要注重知识的建模，带领学生围绕易错点对知识进行系统的归纳和总结.
例如，教师可以建议学生购买多种颜色的彩笔和一个错题本，将教师在课堂上讲解过的易混淆知识点全部记录下来，在平时的课堂预习和复习中反复研究，形成一个以错题为中心的知识体系.例如，在学习“分数的加法和减法”这部分内容时，很多学生一心急就会用整数的加减法运算形式来计算，将“通分”这一关键步骤抛却脑后，这就是学生没有将整数计算与分数计算的知识统筹起来所造成的.基于此，教师可以用记忆口诀的形式帮助学生总结易错点，让学生将口诀铭记在大脑中.这样一来，学生在解同类题型的时候，就有了一个思维模式.
（三）期中和期末进行易错知识点统一梳理
期中考试和期末考试是检验学生本学段学习效果的最佳手段，同时是对本学期学习过程中存在的易错点进行梳理和分析的最佳时期.基于此，教师可以根据学生试卷中的易错知识点的分布情况，单独拿出一节课来进行知识点的系统化梳理.
例如，在对学生的易错知识点分布情况进行整理后得出全班近67%以上的易错点集中在分数的四则混合运算过程中.有的学生在进行通分后就将整数四则运算规律抛诸脑后，按照顺序进行计算，导致做错.基于此，教师可以将分数四则运算作为易错点树立重点，先将学生分成小组对各自的试卷中做错的分数四则运算题目单独列出来进行互评，让学生自己发现错误，然后根据错误情况有针对性地进行讲解，深化学生对分数四则运算方法的理解.
结束语
综合来看，无论是教师还是学生，都要在易错点中吸取经验和教训.对教师而言，一定要深化对课程的理解和掌握，不断提高自己的教学水平;对学生而言，要在课堂上认真听讲，做到胆大心细，不断提高自己的做题正确率.对于数学的易错点，教师应本着提前干预为主，事后补习为辅的理念，以保证教学的质量和效果以及学生数学素养的良好发展.
【参考文献】
[1]薛惠萍，巩红江.小学数学教学中易错点提前干预策略[J].新课程（教研版），2017（12）：109.
[2]索雷波.防患未然——初中数学易错题提前干预策略[J].情感读本，2017（26）：114.