摘要本文介绍了分块矩阵的初等变换的概念,以及初等变换在分块矩阵中的应用。
　　关键词分块矩阵 初等变换 应用
　　中图分类号:O13文献标识码:A
　　
　　矩阵分块的方法是矩阵理论中基本方法之一,分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵的有关问题的重要工具.本文着重阐述了初等变换在分块矩阵问题中的应用。
　　1 预备知识
　　定义1 以下分块矩阵的变换称为广义的初等变换:
　　(1) 交换两行(列);
　　(2) 某行(列)左(右)乘一个可逆矩阵P;
　　(3) 用一个矩阵左(右)乘某行(列)后加到某一行(列)。
　　定义2 分块单位矩阵(即把单位矩阵分块得到的分块矩阵)经过一次分块矩阵的初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。
　　定理1 一个分块矩阵A作一次分块矩阵的初等行(列)变换,就相当于在A的左(右)边乘上一个相应的分块初等矩阵。
　　2 应用
　　2.1 利用初等变换求分块矩阵的逆。
　　例1 设A和B分别为m€譶和n€譵阶矩阵,Em、En分别为m、n阶单位矩阵,又Em-AB可逆,试证En-BA可逆,并用A、B及(Em-AB)-1表示(En-BA)-1。
　　证明:
　　故En-BA可逆当且仅当Em-AB可逆.
　　利用分块矩阵初等变换求矩阵逆思路简单,就是进行初等变换,很容易就得出结论。
　　2.2 在求矩阵秩中得应用
　　例2 设A为n阶方阵,则A2=E 当且仅当 秩(A+E)+秩(A-E)=n
　　证明:必要性
　　因为秩(A+E)+秩(A-E)=n 故 A2-E=0 即 A2=E
　　再看用矩阵秩的性质的证明
　　证明:由A2=E可得(A+E)(A-E)=0
　　在证明当AB=0时,A、B为n阶方阵,有秩(A)+秩(B)≤n
　　从而有秩(A+E)+秩(A-E)≤n
　　另一方面有
　　秩(A+E)+秩(A-E)≥秩[(A+E)-(A-E)]=秩(2E)=n
　　故有秩(A+E)+秩(A-E)=n。
　　比较两种方法,显然用分块矩阵的初等变换的解法更容易被人接受,符合形象教学法。
　　2.3 在行列式计算中的应用
　　(1)一般应用。
　　例3 設A是m€譶 矩阵,B是n€譵 矩阵,证明:
　　|Em-AB|=|En-BA|
　　证明:构造分块矩阵
　　若不用此方法解答,仅从行列式的一些性质出发很难找到突破口,而构造了分块矩阵,只需要利用初等变换就简单第得出了结论,这种方法可以使复杂的问题简单化。
　　(2)公式法。
　　我们可以利用分块矩阵的初等变换得到下面两个公式:
　　公式1 设A为n阶可逆矩阵, 和为两个n维列向量,则:
　　
　　公式2 设A为n阶可逆矩阵,B1为n€?矩阵,B2为2€譶矩阵,则:
　　当行列式的阶数比较高时,我们利用公式1、2将其降阶,从而求得行列式的值,故称上述两公式为降阶公式。
　　例4. 计 算
　　像例4、5本是n阶矩阵,如果用广义初等行列式来做不仅步骤繁多,而且一不小心就会出错,不易得出结论,而用降阶公式将其降阶,在代入公式一步便可以求初结论。
　　3 结束语
　　通过上述的几种方法总结,我们可以看出,用分块矩阵的初等变换来做题,能使问题简单化,解题思路清晰,把一些高阶矩阵分成若干个低阶矩阵,能使我们迅速接近问题的本质,从而达到解决问题的目的。
　　
　　参考文献
　　[1]王品超.高等代数新方法[M].山东:山东教育出版社,1989.
　　[2]北京大学数学系编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1978.
　　[3]张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京:清华大学出版社,1998.