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圆锥曲线中的有关“定”的问题(如直线过定点,某个量为定值等)在高考试题中经常出现,同学们处理起来往往比较棘手.若在平时的学习中，掌握一些圆锥曲线的这类性质,往往能提高我们的做题效率.本文介绍圆锥曲线的几个性质,并利用这些性质处理2007年高考试题中有关圆锥曲线的解答题.
下面来看一看2007年高考天津卷第22题,试题如下:
（Ⅱ）Q2,Q1设为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
【性质二】 过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的射线OA,OB交抛物线于A、B,则直线AB过定点P(2p,0).
利用上述性质可以很快求解2000年春季北京、安徽高考第22题:
【例2】 如图，设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
【解析】 利用上面的性质可知点M的轨迹是以定线段OP为直径的圆x2+y2-4px=0(x≠0)
【性质三】 已知点A为抛物线x2=2py上的一个动点,定点C的坐标为(0, m),其中m>p[]2,则以AC为直径的圆截直线y=m-p[]2所得的弦长为定值p(2m-p).
下面来看一看2007年高考湖北卷第19题,试题如下:
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A,B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】 （Ⅰ）略; （Ⅱ）实质上是性质三的特殊情况,并把性质三改编成存在性问题.
下面来看一看2007年高考湖南卷第20题,试题如下:
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使CA•CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
下面来看一看2007年高考重庆卷第22题押轴题,题目如下:
【例5】 如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1.
【证明】 1[]|FP1|+1[]|FP2|+1[]|FP3|为定值，并求此定值．
【解析】 （Ⅰ）略; （Ⅱ）实质上是性质五的一个特例
【性质六】 (1)过y轴正半轴上一点C(0,c)任作一直线与抛物线y=ax2相交于A、B两点,过A、B两点引抛物线y=ax2的切线l1,l2,l1,l2相交于点M,则交点M的轨迹为y=-c.
(2)过定直线y=-c上任意一点引抛物线y=ax2的切线,切点分别为A、B,则直线AB过定点.
下面来看一看2007年高考江苏卷第19题:
【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A,B两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l∶y=-c交于点P,Q．
（1）若OA•OB=2，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
【解析】 （2）、（3）实质上是性质六的改编.从性质六的证明过程中可以观察出(2）、（3）结论, 并从中得到启发得出（2）、（3）的解答方法.
从以上几例2007年高考有关圆锥曲线的试题来看, 若教师与学生能在平时的教学与学习过程中多挖掘圆锥曲线的性质，那么处理起与性质有关的问题往往会有事半功倍的效果.
【作者单位: 湖北大学附属中学】
兼职责任编辑：严海平
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
下面来看一看2007年高考天津卷第22题,试题如下:
（Ⅱ）Q2,Q1设为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
【性质二】 过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的射线OA,OB交抛物线于A、B,则直线AB过定点P(2p,0).
利用上述性质可以很快求解2000年春季北京、安徽高考第22题:
【例2】 如图，设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
【解析】 利用上面的性质可知点M的轨迹是以定线段OP为直径的圆x2+y2-4px=0(x≠0)
【性质三】 已知点A为抛物线x2=2py上的一个动点,定点C的坐标为(0, m),其中m>p[]2,则以AC为直径的圆截直线y=m-p[]2所得的弦长为定值p(2m-p).
下面来看一看2007年高考湖北卷第19题,试题如下:
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A,B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】 （Ⅰ）略; （Ⅱ）实质上是性质三的特殊情况,并把性质三改编成存在性问题.
下面来看一看2007年高考湖南卷第20题,试题如下:
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使CA•CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
下面来看一看2007年高考重庆卷第22题押轴题,题目如下:
【例5】 如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x=12．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1.
【证明】 1[]|FP1|+1[]|FP2|+1[]|FP3|为定值，并求此定值．
【解析】 （Ⅰ）略; （Ⅱ）实质上是性质五的一个特例
【性质六】 (1)过y轴正半轴上一点C(0,c)任作一直线与抛物线y=ax2相交于A、B两点,过A、B两点引抛物线y=ax2的切线l1,l2,l1,l2相交于点M,则交点M的轨迹为y=-c.
(2)过定直线y=-c上任意一点引抛物线y=ax2的切线,切点分别为A、B,则直线AB过定点.
下面来看一看2007年高考江苏卷第19题:
【例6】 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A,B两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l∶y=-c交于点P,Q．
（1）若OA•OB=2，求c的值；
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
【解析】 （2）、（3）实质上是性质六的改编.从性质六的证明过程中可以观察出(2）、（3）结论, 并从中得到启发得出（2）、（3）的解答方法.
从以上几例2007年高考有关圆锥曲线的试题来看, 若教师与学生能在平时的教学与学习过程中多挖掘圆锥曲线的性质，那么处理起与性质有关的问题往往会有事半功倍的效果.
【作者单位: 湖北大学附属中学】
兼职责任编辑：严海平
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”