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[摘 要] 数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力. 与高中数学相关的核心素养主要包括：学会学习、应用能力、创新意识、抽象概括、推理能力、数学建模、运算能力、几何直观、数据分析，其中前三项为通识素养，后六项为数学素养. 数学核心素养是数学教与学过程中应当特别关注的基本素养. “能推理、会运算”是从数学的学习中养成的基本素质. 运算能力的培养与学生的素养相辅相成.
[关键词] 学生素养；数学素养；数学核心素养；运算能力
随着基础教育课程改革的不断深入，学生素养的培养越来越为人们所关注. 就数学学科而言，学生数学素养的提高，特别是数学核心素养的培养，已经引起许多数学教师的思考和探索. 核心素养是指学生借助学校教育所形成的解决问题的素养与能力. 数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力. 与高中数学相关的核心素养主要包括：学会学习、应用能力、创新意识、抽象概括、推理能力、数学建模、运算能力、几何直观、数据分析，其中前三项为通识素养，后六项为数学素养. 数学核心素养是数学教与学过程中应当特别关注的基本素养.
近年来，各地的高考试题一直关注对数学核心素养中的运算能力的考查，要求考生在理解、应用、实施运算过程中，分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序（考查算法算理）. 运算能力的培养与学生的素养相辅相成，主体上无法靠简单的训练形成，在高三复习过程中需要重视以下几个操作层面.
[?] 着眼于扎实的数学基础知识和基本技能
落实基本概念、公式、法则的理解是思维和运算的“基元”. 在数学教学中，让学生牢固掌握运算所需要的概念、公式、法则是运算的前提.
例1：已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若Sn 1，Sn，Sn 2成等差数列，则公比q的值为______.
在列出等式2Sn=Sn 1 Sn 2后，利用数列前n项和的定义有：2Sn=Sn an 1 Sn an 1 an 2，即0=an 1 an 1 an 2，所以q=-2. 方法简明，体现了对定义的理解.在理解概念的基础上自觉用来进行运算，说明学生在这方面具备了一定的数学素养. 个别学生往往会按照思维惯性利用等比数列前n项和的公式来求解，过程相对烦琐，而且容易忽视q=1的情形，说明运算方面的素养仍需提高.
除了熟记和活用概念、公式外，对于一些典型问题的结论和方法也要熟化，更要弄清楚这些典型问题的结构和背景，使其结论能够生发，方法能够迁移，成为运算的“助推器”.
例2：在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 =1（a>b>0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D. 若tan∠F1BO=，则直线CD的斜率为______.
本题由tan∠F1BO=可得直线BD的斜率，利用结论“在椭圆 =1（a>b>0）中，若MN是过中心的一条弦，P是椭圆上异于M，N的一点，则有kPM·kPN= -”，可迅速求得直线CD的斜率.
在复习过程中学生可在教师的带领下，或自主将知识归类整理，把知识对应的问题及解法进行梳理、归纳，使得解法模式化，适度重复使用，形成技能，便于遇到问题时能在短时间内检索、筛选，获得解题的思路. 从会学习的角度看，学生就获得了数学素养的提高.
[?] 突出数学思想和方法的教学，提倡在理解的基础上创新
必须突出数学思想和方法的教学，使学生在把握问题、理解问题的基础上有所创新. 要重视培养学生的观察能力、分析能力、抽象概括能力、推理论证能力等，要加强特殊化、一般化、类比推广、从反面考虑问题、构造法等基本数学思想方法的教学；向学生适当介绍有关创造性方法学、科学方法论等知识，启发学生的积极思维，开阔视野. 同時，要帮助学生建立良好的数学认知结构和培养学生的广泛迁移能力，要重视数学知识与应用的发生过程，重视知识间的有机联系，把整体学习与局部学习有机地结合起来.
例3：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________.
本题的切入点有两个，一个是按部就班，找出半径r的表达式r=，通过代数法求其最大值；另一个是将直线方程变形为m（x-2）-（y 1）=0，可“发现”直线过定点（2，-1），结合图像，r的最大值就是点（2，-1）与圆心（1，0）之间的距离. 这种数形结合的思考就展现出了一定的思维创新，对学生学习数学和研究数学有指导意义，是学生数学核心素养的具体表现.
例4：设t∈R，若x>0时均有（tx-1）·[x2-（t 1）x-1]≥0，则实数t的值为_________.
令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t 1）x-1，g（x）的两个零点x<00且f（x）的零点也为x2时不等式恒成立. 将x2=代入g（x）=0，得
t-
（t 1）=0，解得t=.
如果单纯来解不等式，往往需要分类讨论，中间环节对问题的理解、运算都需要较强的功底. 但是，在审题时，如果注意到不等式左边是两个因式相乘的形式，联想因式对应的函数，那么对不等式就有很直观的认识了，解法自然就会流畅很多. 在解决某些规律性较强的问题时，需要学生牢固掌握一些基本方法，形成一定的思维习惯，树立应用数学思想方法的意识.
数学的学习不仅是指数学知识的获得与积累，更重要的是使个体形成良好的数学认知结构，形成有序的、起作用的、有着生长点和开放面的认知结构. 数学思想方法是从操作层面上体现的数学核心素养，对培养学生的数学素养来说是一个很好的切入点，也是一个良好的机会. [?] 优化教学过程，培养学生的主体意识
在运算教学中，要重视从激发学生学习数学的兴趣入手，努力提高学生学习的积极性和主动性. 激发学生学习兴趣的方式并不在于过多地求新求奇，而主要在于教学内容要在适应学生现有水平基础上达到最近发展区水平，使教学具有启发性. 通过挖掘数学中的美来启迪学生的心灵，也是吸引学生自觉钻研数学的一个重要方面.
的值.
这是一个三角计算求值的问题，试图通过三角恒等变换达到考查运算能力的目的. 主要体现在如何选择公式，如何确定运算方向，怎样确定运算路径，从合理进行运算的角度来考查运算能力.
可以引导学生分析条件和目标，从角α 与2α 之间的关系入手确定运算路径.
关系①简洁明朗，但在由已知求cos
2α
的过程中，需要先求出sinα，cosα和sin
α
的值.
关系②比关系①要复杂一些，但在求cos
2α
的过程中，只需求出sin
，即cos2α和sin2α的值.
教师：再往下分析，由cos
α
的值求sinα，cosα容易还是求sin2α，cos2α容易？
学生3：由于2α =2
α
，自然是求角2α 的正、余弦容易.
到此运算的方向基本确定.
运算能力的主要标识不在运算的本身，而是运算方向和运算路径的确定. 来自于对问题的深刻理解，运算目标在运算过程中起到了十分重要的作用. 没有运算目标的指引，合理的运算路径就很难形成.
[?] 引导学生反思，提升运算品质
引导学生进行运算解题后的反思，是进一步优化数学思维品质，培养数学素养的重要举措. 对运算的过程和结果进行评估和研判，也是学生运算能力的一种. 这一过程既是对学生运算品质的全面性培养，也是学生对自己思维活动的再认识.
例6：如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 =1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF. 求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切.
[x][O][y][P][A][F]
图2
本题的思路不难确定，由PA⊥PF知点P（x0，y0）在以线段AF为直径的圆上，将此圆方程与椭圆方程联立，可解得点P的坐标；然后再求半径FP，证明FP与点F到右准线x=的距离-c相等即可.
具体地，由PA⊥PF得·=-1，即y=-（x0 a）（x0-c）①.
又 =1②，①②联立，如果不假思索消去y并整理成（b2-a2）x-a2（a-c）x0 a3c-a2b2=0，下一步无论用十字相乘法或是求根公式，都可能得不到理想的结果.
此时，就应引导学生对过程进行反思：解题目标是什么？思路是什么？从而促使学生再一次对两个研究对象进行深入的观察和思考，挖掘新特征，调整运算，达成目标.
以AF为直径的圆与椭圆除点P这个公共点外，还有另一个公共点A，那么由①②联立整理成关于x0的二次方程中就一定会有“x0 a”这个因子.
消y得b2x a2[-（x0 a）（x0-c）]-a2b2=0，即b2（x-a2）=a2（x0 a）（x0-c），有（x0 a）
x0
=0，解得x0=或x0=-a（舍去）.
课堂上，许多学生的解题思路是清楚的，目标是明确的，却往往陷于“复杂”的运算当中不能自拔. 学生处在欲进不得、欲罢不能之时，教师引导其深挖信息，走出困境，此时学生收获的不仅仅是解题技能的提高，更是思维水平的提升和数学学习兴趣的激扬. 这样的反思过程强化了理性思考，有效促使了学生对运算的认知理解，提高了学生自觉通过提高思维水平来达到提升运算水平的认识，数学素养也会随之提高.
总之，高三复习过程中要把培养学生的运算能力列为明确的教学目标，辅之以相应的教学素材和教学设计. 要把学生运算能力的培养渗透到每节课、每道题中. 任何一道精心编拟的数学试题，均蕴涵着运算的通性通法或者是在数学思想方法基础上所表现出来的合理、简洁的运算方式. 如果注意渗透、适时讲解、反复强调，贯穿于整个高三复习的始终，学生就会深入于心，形成良好的运算心理、意识和品质，数学核心素养的培养才会得到有效落实.
[关键词] 学生素养；数学素养；数学核心素养；运算能力
随着基础教育课程改革的不断深入，学生素养的培养越来越为人们所关注. 就数学学科而言，学生数学素养的提高，特别是数学核心素养的培养，已经引起许多数学教师的思考和探索. 核心素养是指学生借助学校教育所形成的解决问题的素养与能力. 数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力. 与高中数学相关的核心素养主要包括：学会学习、应用能力、创新意识、抽象概括、推理能力、数学建模、运算能力、几何直观、数据分析，其中前三项为通识素养，后六项为数学素养. 数学核心素养是数学教与学过程中应当特别关注的基本素养.
近年来，各地的高考试题一直关注对数学核心素养中的运算能力的考查，要求考生在理解、应用、实施运算过程中，分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序（考查算法算理）. 运算能力的培养与学生的素养相辅相成，主体上无法靠简单的训练形成，在高三复习过程中需要重视以下几个操作层面.
[?] 着眼于扎实的数学基础知识和基本技能
落实基本概念、公式、法则的理解是思维和运算的“基元”. 在数学教学中，让学生牢固掌握运算所需要的概念、公式、法则是运算的前提.
例1：已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若Sn 1，Sn，Sn 2成等差数列，则公比q的值为______.
在列出等式2Sn=Sn 1 Sn 2后，利用数列前n项和的定义有：2Sn=Sn an 1 Sn an 1 an 2，即0=an 1 an 1 an 2，所以q=-2. 方法简明，体现了对定义的理解.在理解概念的基础上自觉用来进行运算，说明学生在这方面具备了一定的数学素养. 个别学生往往会按照思维惯性利用等比数列前n项和的公式来求解，过程相对烦琐，而且容易忽视q=1的情形，说明运算方面的素养仍需提高.
除了熟记和活用概念、公式外，对于一些典型问题的结论和方法也要熟化，更要弄清楚这些典型问题的结构和背景，使其结论能够生发，方法能够迁移，成为运算的“助推器”.
例2：在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 =1（a>b>0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D. 若tan∠F1BO=，则直线CD的斜率为______.
本题由tan∠F1BO=可得直线BD的斜率，利用结论“在椭圆 =1（a>b>0）中，若MN是过中心的一条弦，P是椭圆上异于M，N的一点，则有kPM·kPN= -”，可迅速求得直线CD的斜率.
在复习过程中学生可在教师的带领下，或自主将知识归类整理，把知识对应的问题及解法进行梳理、归纳，使得解法模式化，适度重复使用，形成技能，便于遇到问题时能在短时间内检索、筛选，获得解题的思路. 从会学习的角度看，学生就获得了数学素养的提高.
[?] 突出数学思想和方法的教学，提倡在理解的基础上创新
必须突出数学思想和方法的教学，使学生在把握问题、理解问题的基础上有所创新. 要重视培养学生的观察能力、分析能力、抽象概括能力、推理论证能力等，要加强特殊化、一般化、类比推广、从反面考虑问题、构造法等基本数学思想方法的教学；向学生适当介绍有关创造性方法学、科学方法论等知识，启发学生的积极思维，开阔视野. 同時，要帮助学生建立良好的数学认知结构和培养学生的广泛迁移能力，要重视数学知识与应用的发生过程，重视知识间的有机联系，把整体学习与局部学习有机地结合起来.
例3：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________.
本题的切入点有两个，一个是按部就班，找出半径r的表达式r=，通过代数法求其最大值；另一个是将直线方程变形为m（x-2）-（y 1）=0，可“发现”直线过定点（2，-1），结合图像，r的最大值就是点（2，-1）与圆心（1，0）之间的距离. 这种数形结合的思考就展现出了一定的思维创新，对学生学习数学和研究数学有指导意义，是学生数学核心素养的具体表现.
例4：设t∈R，若x>0时均有（tx-1）·[x2-（t 1）x-1]≥0，则实数t的值为_________.
令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t 1）x-1，g（x）的两个零点x<0
t-
（t 1）=0，解得t=.
如果单纯来解不等式，往往需要分类讨论，中间环节对问题的理解、运算都需要较强的功底. 但是，在审题时，如果注意到不等式左边是两个因式相乘的形式，联想因式对应的函数，那么对不等式就有很直观的认识了，解法自然就会流畅很多. 在解决某些规律性较强的问题时，需要学生牢固掌握一些基本方法，形成一定的思维习惯，树立应用数学思想方法的意识.
数学的学习不仅是指数学知识的获得与积累，更重要的是使个体形成良好的数学认知结构，形成有序的、起作用的、有着生长点和开放面的认知结构. 数学思想方法是从操作层面上体现的数学核心素养，对培养学生的数学素养来说是一个很好的切入点，也是一个良好的机会. [?] 优化教学过程，培养学生的主体意识
在运算教学中，要重视从激发学生学习数学的兴趣入手，努力提高学生学习的积极性和主动性. 激发学生学习兴趣的方式并不在于过多地求新求奇，而主要在于教学内容要在适应学生现有水平基础上达到最近发展区水平，使教学具有启发性. 通过挖掘数学中的美来启迪学生的心灵，也是吸引学生自觉钻研数学的一个重要方面.
的值.
这是一个三角计算求值的问题，试图通过三角恒等变换达到考查运算能力的目的. 主要体现在如何选择公式，如何确定运算方向，怎样确定运算路径，从合理进行运算的角度来考查运算能力.
可以引导学生分析条件和目标，从角α 与2α 之间的关系入手确定运算路径.
关系①简洁明朗，但在由已知求cos
2α
的过程中，需要先求出sinα，cosα和sin
α
的值.
关系②比关系①要复杂一些，但在求cos
2α
的过程中，只需求出sin
，即cos2α和sin2α的值.
教师：再往下分析，由cos
α
的值求sinα，cosα容易还是求sin2α，cos2α容易？
学生3：由于2α =2
α
，自然是求角2α 的正、余弦容易.
到此运算的方向基本确定.
运算能力的主要标识不在运算的本身，而是运算方向和运算路径的确定. 来自于对问题的深刻理解，运算目标在运算过程中起到了十分重要的作用. 没有运算目标的指引，合理的运算路径就很难形成.
[?] 引导学生反思，提升运算品质
引导学生进行运算解题后的反思，是进一步优化数学思维品质，培养数学素养的重要举措. 对运算的过程和结果进行评估和研判，也是学生运算能力的一种. 这一过程既是对学生运算品质的全面性培养，也是学生对自己思维活动的再认识.
例6：如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 =1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），P（x0，y0）为椭圆上一点，且PA⊥PF. 求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切.
图2
本题的思路不难确定，由PA⊥PF知点P（x0，y0）在以线段AF为直径的圆上，将此圆方程与椭圆方程联立，可解得点P的坐标；然后再求半径FP，证明FP与点F到右准线x=的距离-c相等即可.
具体地，由PA⊥PF得·=-1，即y=-（x0 a）（x0-c）①.
又 =1②，①②联立，如果不假思索消去y并整理成（b2-a2）x-a2（a-c）x0 a3c-a2b2=0，下一步无论用十字相乘法或是求根公式，都可能得不到理想的结果.
此时，就应引导学生对过程进行反思：解题目标是什么？思路是什么？从而促使学生再一次对两个研究对象进行深入的观察和思考，挖掘新特征，调整运算，达成目标.
以AF为直径的圆与椭圆除点P这个公共点外，还有另一个公共点A，那么由①②联立整理成关于x0的二次方程中就一定会有“x0 a”这个因子.
消y得b2x a2[-（x0 a）（x0-c）]-a2b2=0，即b2（x-a2）=a2（x0 a）（x0-c），有（x0 a）
x0
=0，解得x0=或x0=-a（舍去）.
课堂上，许多学生的解题思路是清楚的，目标是明确的，却往往陷于“复杂”的运算当中不能自拔. 学生处在欲进不得、欲罢不能之时，教师引导其深挖信息，走出困境，此时学生收获的不仅仅是解题技能的提高，更是思维水平的提升和数学学习兴趣的激扬. 这样的反思过程强化了理性思考，有效促使了学生对运算的认知理解，提高了学生自觉通过提高思维水平来达到提升运算水平的认识，数学素养也会随之提高.
总之，高三复习过程中要把培养学生的运算能力列为明确的教学目标，辅之以相应的教学素材和教学设计. 要把学生运算能力的培养渗透到每节课、每道题中. 任何一道精心编拟的数学试题，均蕴涵着运算的通性通法或者是在数学思想方法基础上所表现出来的合理、简洁的运算方式. 如果注意渗透、适时讲解、反复强调，贯穿于整个高三复习的始终，学生就会深入于心，形成良好的运算心理、意识和品质，数学核心素养的培养才会得到有效落实.