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在立体几何中，正四面体是一种特殊的正三棱锥，它有一些很重要的几何性质.回顾近几年的高考试题，我们可以发现有关正四面体的问题是考查的一个热点.命题者往往以正四面体为载体出题，考查立体几何中有关角和距离的知识点，因此我们很有必要系统地整理出它的几何性质，这样有关正四面体的几何问题就能迎刃而解.
我们不妨以棱长是 的正四面体 为例.如右图1，O为底面BCD的中心，AO⊥底面BCD，AO为正四面A-BCD的高，∠ABO是棱AB与底面BCD所成的角，连结BO延长交CD于点E，则E为CD中点且BE⊥CD， ，连结AE，则AE⊥CD，AE为正四面体 的斜高，∠AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角.
一、垂直问题
（1）对棱互相垂直（如图1中AB⊥CD）
简证：因为O是△ABC的中心，所以BE⊥CD，BE是AB在平面BCD内的射影，由三垂线定理可知AB⊥CD.
（2）设O1为AO的中点，则BO1、CO1、DO1两两垂直
简证：如图2中CO1=DO1= ，而CD= ， CO12+DO12=CD2，故∠CO1D=90°，即CO1⊥DO1，同理可证CO1⊥BO1 ，BO1⊥DO1.
所以BO1、CO1、DO1两两垂直.
应用举例：如右图，正四面体ABCD的棱长为1，G是底面△ABC的重心，点M在线段DG上，且使得
∠AMB=90°，则DM的长为 .
略解：由上可知当M为DG的中点时，满足∠AMB=90°，
所以DM= .
二、距离问题
（1）顶点A到底面BCD的距离（正四面体顶点到底面的距离）
如图1中AO⊥底面BCD，所以AO为顶点A到底面BCD的距离，
AO= = = .
应用举例：把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度.
分析：四个球的球心构成一个正四面体顶点.
解：四个球两两相切，球心组成一个正四面体的顶点，正四面体的棱长为2，此正四面体的高为 ，所以上层小球最高点离桌面的高度 +2.
（2）棱AB与棱CD的距离（正四面体中对棱的距离）
如图3中E、F分别为AB与CD的中点，易证EF为AB
与CD的公垂线，EF= = = .
应用举例：某同学为加强体育组环境管理，订做了半径为2R圆柱形铁筐（既有上盖也有下底），用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为 （ ）
A 22 B 24 C 26 D 28
略解：当如右图所示两球两球交替上叠，相邻四个篮球两两相切，任意相邻四个篮球球心的连线刚好组成一个正四面体，这样能装得最多，若记同一高度的两个篮球为一层，则上层两球心的连线与下层两球心的连线刚好是棱长为2R的正四面体的一组对棱，距离为 ，假设最多可以叠放n层.那么20R-2R≥ ×（n-1）（n∈N*），n≤9 +1≈13.728；所以最多可放13层，共26个篮球.所以选C.
评注：球与球相组合的问题，直观图比较难画，一般可考虑通过画球心代替球，组成一个多面体来解决相关问题.
三、空间角问题
（1）对棱所成的角（异面直线所成的角）为90°
略解：方法一：如右图中G为AC中点，连结FG与EG，则
FG=EG= ，又因为EF= ，所以EG2+FG2=EF2，
即EG⊥FG， AD与BC所成的角是90°.
方法二：∵AD与BC异面垂直，∴AD与BC所成的角是90°.
（2）侧棱与底面所成的角（直线与平面所成的角）为 .
略解：如图1中∠ABO为棱AB与底面BCD所成的角，∵BO= ×BE= × = ，AB= ，AO⊥BO，∴ = = ， = .
（3）两侧面所成的角或侧面与底面所成的角（面与面所成的角）为
略解： ∵BE⊥CD，AE⊥CD，
方法一：如图1中∠AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在Rt△AEO中，EO= BE= AE， = ，所以 = .
方法二：如图1中∠AEB为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在△ABE中，AE=BE= ，AB= ， = = ，
所以 = .
评注：在正四面体中求直线所成角、二面角的时候，通常转化到斜高、斜高在底面的射影与高线或侧棱、侧棱在底面的射影与高线所组成的直角三角形中，将空间图形转化为平面图形，这样求解将会变得比较方便.
四、内切球与外接球问题
（1）内切球半径 =
略解：设一个面的面积为S，内切球球心O1，连结A O1、CO1、
DO1，则 = + + +
即 =4× S× ，因此 = .
评注：用等体积法求几何体中内切球半径是一种学生比较容易掌握的方法.
（2）外接球半径R=
略解：棱长为 的正四面体可以补出一个与它有相同外接球的正方体，正四面体的六条棱刚好是正方体六个面的六条面对线，而正方体的外接球半径等于正方体对角线长的一半，设此正方体的棱长为x，则外接球的半径R= x，由图可知 = ，所以R= .
应用举例：甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空结构为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是 .若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ）
A B C D
略解：先补出以四个氢原子为顶点的正四面体的外接正方体，它们有相同的外接球半径，由题意可知此外接球半径为 ，任意两个氢原子之间的距离 = = .
所以选C.
评注：正四面体中与外接球半径有关的问题，我们可以将正四
面体补形为正方体，这样解题可以避免复杂的作图过程.
我们不妨以棱长是 的正四面体 为例.如右图1，O为底面BCD的中心，AO⊥底面BCD，AO为正四面A-BCD的高，∠ABO是棱AB与底面BCD所成的角，连结BO延长交CD于点E，则E为CD中点且BE⊥CD， ，连结AE，则AE⊥CD，AE为正四面体 的斜高，∠AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角.
一、垂直问题
（1）对棱互相垂直（如图1中AB⊥CD）
简证：因为O是△ABC的中心，所以BE⊥CD，BE是AB在平面BCD内的射影，由三垂线定理可知AB⊥CD.
（2）设O1为AO的中点，则BO1、CO1、DO1两两垂直
简证：如图2中CO1=DO1= ，而CD= ， CO12+DO12=CD2，故∠CO1D=90°，即CO1⊥DO1，同理可证CO1⊥BO1 ，BO1⊥DO1.
所以BO1、CO1、DO1两两垂直.
应用举例：如右图，正四面体ABCD的棱长为1，G是底面△ABC的重心，点M在线段DG上，且使得
∠AMB=90°，则DM的长为 .
略解：由上可知当M为DG的中点时，满足∠AMB=90°，
所以DM= .
二、距离问题
（1）顶点A到底面BCD的距离（正四面体顶点到底面的距离）
如图1中AO⊥底面BCD，所以AO为顶点A到底面BCD的距离，
AO= = = .
应用举例：把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度.
分析：四个球的球心构成一个正四面体顶点.
解：四个球两两相切，球心组成一个正四面体的顶点，正四面体的棱长为2，此正四面体的高为 ，所以上层小球最高点离桌面的高度 +2.
（2）棱AB与棱CD的距离（正四面体中对棱的距离）
如图3中E、F分别为AB与CD的中点，易证EF为AB
与CD的公垂线，EF= = = .
应用举例：某同学为加强体育组环境管理，订做了半径为2R圆柱形铁筐（既有上盖也有下底），用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为 （ ）
A 22 B 24 C 26 D 28
略解：当如右图所示两球两球交替上叠，相邻四个篮球两两相切，任意相邻四个篮球球心的连线刚好组成一个正四面体，这样能装得最多，若记同一高度的两个篮球为一层，则上层两球心的连线与下层两球心的连线刚好是棱长为2R的正四面体的一组对棱，距离为 ，假设最多可以叠放n层.那么20R-2R≥ ×（n-1）（n∈N*），n≤9 +1≈13.728；所以最多可放13层，共26个篮球.所以选C.
评注：球与球相组合的问题，直观图比较难画，一般可考虑通过画球心代替球，组成一个多面体来解决相关问题.
三、空间角问题
（1）对棱所成的角（异面直线所成的角）为90°
略解：方法一：如右图中G为AC中点，连结FG与EG，则
FG=EG= ，又因为EF= ，所以EG2+FG2=EF2，
即EG⊥FG， AD与BC所成的角是90°.
方法二：∵AD与BC异面垂直，∴AD与BC所成的角是90°.
（2）侧棱与底面所成的角（直线与平面所成的角）为 .
略解：如图1中∠ABO为棱AB与底面BCD所成的角，∵BO= ×BE= × = ，AB= ，AO⊥BO，∴ = = ， = .
（3）两侧面所成的角或侧面与底面所成的角（面与面所成的角）为
略解： ∵BE⊥CD，AE⊥CD，
方法一：如图1中∠AEO为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在Rt△AEO中，EO= BE= AE， = ，所以 = .
方法二：如图1中∠AEB为侧面ACD与底面BCD所成的二面角的平面角，在△ABE中，AE=BE= ，AB= ， = = ，
所以 = .
评注：在正四面体中求直线所成角、二面角的时候，通常转化到斜高、斜高在底面的射影与高线或侧棱、侧棱在底面的射影与高线所组成的直角三角形中，将空间图形转化为平面图形，这样求解将会变得比较方便.
四、内切球与外接球问题
（1）内切球半径 =
略解：设一个面的面积为S，内切球球心O1，连结A O1、CO1、
DO1，则 = + + +
即 =4× S× ，因此 = .
评注：用等体积法求几何体中内切球半径是一种学生比较容易掌握的方法.
（2）外接球半径R=
略解：棱长为 的正四面体可以补出一个与它有相同外接球的正方体，正四面体的六条棱刚好是正方体六个面的六条面对线，而正方体的外接球半径等于正方体对角线长的一半，设此正方体的棱长为x，则外接球的半径R= x，由图可知 = ，所以R= .
应用举例：甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空结构为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是 .若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ）
A B C D
略解：先补出以四个氢原子为顶点的正四面体的外接正方体，它们有相同的外接球半径，由题意可知此外接球半径为 ，任意两个氢原子之间的距离 = = .
所以选C.
评注：正四面体中与外接球半径有关的问题，我们可以将正四
面体补形为正方体，这样解题可以避免复杂的作图过程.