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摘 要:本文主要针对函数值域的问题分几种情况进行论述,强化教师在教学中应注重对学生各种思维能力的培养,以及培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力,从而更进一步地培养学生的创新意识。
关键字:函数值域 分析 解答 引伸
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00116-02
函数是高中数学的一个重要组成部分,它主要研究集合中自变量x与变量y之间的对应关系,旨在培养学生的逻辑思维能力和探究能力、创新能力,从而促进学生思维的发展,进而培养学生良好的思维品质和对问题的理解。该部分知识不仅在历年的高考题中占有一定的比重,而且又因它变化多端,始终贯穿整个高中课程,故而是学习其它数学知识的基础。
因此,学生们在学习过程中,大都存在这样那样的问题,要解决此类矛盾,必须透过现象看本质,只有真正了解其内涵,知其意,才能有效地提高学生对这部分知识的理解。而函数值域问题又是该部分知识必不可少的一个重要组成部分,学生在学习过程中,必须打破传统的学习方法,及时调整思维角度,从其它角度来重新审视它,寻找有力的突破口,化繁为简,化难为易地对该类问题进行求解。下面就此类问题举例进行探讨:
一 利用常用函数的定义、性质及公式巧求函数的值域
1.1求函数y=值域。
分析1:该问题是一个比较简单的求值域问题,且分子和分母所含未知数x的次数相等,要求其值域,可从函数本身入手,对函数进行变形、化简,使其分子或分母中其一不含x,通过观察直接求出其值域。
解:由y=得y===+
=+
∵≠0 ∴y≠
故函数y=的值域为(-∞,)∪(,+∞).
注:对于形如y=的函数,(a,b,c,d为常数且a≠0)的值域可用部分分式法将其变形为y=+,求得值域为{y|y≠},也可用求反函数的定义域方法求得其值域为y≠
分析2:对于1.1中的函数y=,也可充分利用函数与反函数的关系,即:原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域,从而达到求原函数值域的问题。
解:由y=得3yx-4y=2x 即x(3y-2)=4y,
∴x=,由3y-2≠0,得y≠.
1.2求函数y=的值域。
分析1:这类函数如利用1.1的求法是很难求解的,此时,不妨把y看作常量,对方程进行求解,从而达到求解目的。
解:∵x2+2x+2=(x+1)2+1≠0∴原函数等价于y(x2+2x+2)=x+1即 yx2+(2y-1)x+2y=0①则方程①在实数内必有解。
当y=0时,x=-1,符合题意;当y≠0时,△=(2y-1)2-4y(2y-1)=4y2-1≥0,故-≤y≤且y≠0
综上,所求函数值域为[-,]
注:在求解函数中分子与分母中所含未知量的指数不同时,可用这种方法求解函数的值域。但是在解方程时,要明确方程在实数范围内一定有解,继而在由判别式求出其值域。
分析2:对于1.2中的例子,也可利用不等式综合法中的均值不等式进行求解,但利用该种方法求解函数的值域时,要对相关的因式进行讨论,在此,我们不妨来看看此种方法的求解过程。
解:把y=化简为y==
令u=(x+1)+
讨论:
(1)当x+1=0 时,即x=-1时,y=0 。
(2)当x+1≠0 时,即x≠-1时,有:
①.当x+1>0,即x>-1 时,u≥2=2,当且仅当x+1=时,即x=0时取等号。
②.当x+1<0,即x<-1时,u=-[-(x+1)+]≤2 ,当且仅当x=-2时取得等号,从而u的范围为(-∞,-2]∪[2,+∞)进而y∈[-,0)∪(0,]。
综上,所求函数的值域为[-,]。
二 利用已知条件巧求函数的值域
2.1已知x,y均大于零,且2x+y=1,求+的取值范围。
分析:这相当于求复合函数值域的问题,看似简单,但在求解时有一定的难度,有时无从下手。解决此类问题,不妨令u=+,然后从已知条件入手,把问题中的1转化为2x+y,再进一步把u=+ 改写为:u=+=3+(+),再利用算术平均数不小于几何平均数(且等号能成立),即可求得u的取值范围。
解: u=+=+=3+(+).
∵ x,y均不大于零,∴+≥2
∴ +≥3+2,当且仅当+时等号成立,于是+∈[3+2,+∞).
三 利用三角换元法巧求函数的值域
3.1已知实数x,y满足x2-3xy+y2=2,求x2+y2 的取值范围。
分析:先令u2=x2+y2,则该方程表示以原点为圆心的圆,则u>0,然后再巧用三角换元求函数u的值域,即可使问题简单化、直观化。
解:令u2=x2+y2,u≥0,则可设x=ucosθ,y=usinθ将其代入x2-3xy+y2=2中,得u2-3u2sinθcosθ=2,
∴=,因此, 0<=≤=
故u2≥x2+y2≥,即x2+y2的取值范围是[,+∞)。
四 正确运用函数的图象巧求函数的值域
4.1求函数y=的值域。
分析:∵直线的斜率公式是:k=,
∴把y=改写为y=,
然后巧用直线斜率公式,问题即可迎刃而解。
解:y==y= ,
其几何意义为:(cosc,sinx)与(-2,0)两点的直线的斜率,借助图象,求函数y=的值域,即求单位圆上一点与(-2,0)点的连线的斜率的取值范围,易得-≤y≤。
函数值域的求解方法很多,教师在教授这一部分知识时不可能面面俱到,所以教师在教学时一定要关注学生对知识点的掌握及其连贯性,从而培养学生的逻辑思维能力、想象能力和发散思维能力。由表及里、由浅入深地提高学生对问题的认识和理解能力,并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力,全面提高学生的创新能力和综合素质能力,使学生得到全面发展。
作者简介:马勋果,大学本科毕业,自毕业后一直在威宁民族师范学校(现改为:贵州省毕节第三实验高级中学)第一线任教,在教学中积累了很多教育教学经验。现任职称为中专讲师,主要研讨教育教学方法和教育改革在教学中的实施情况,差生的转化等。
关键字:函数值域 分析 解答 引伸
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)03-00116-02
函数是高中数学的一个重要组成部分,它主要研究集合中自变量x与变量y之间的对应关系,旨在培养学生的逻辑思维能力和探究能力、创新能力,从而促进学生思维的发展,进而培养学生良好的思维品质和对问题的理解。该部分知识不仅在历年的高考题中占有一定的比重,而且又因它变化多端,始终贯穿整个高中课程,故而是学习其它数学知识的基础。
因此,学生们在学习过程中,大都存在这样那样的问题,要解决此类矛盾,必须透过现象看本质,只有真正了解其内涵,知其意,才能有效地提高学生对这部分知识的理解。而函数值域问题又是该部分知识必不可少的一个重要组成部分,学生在学习过程中,必须打破传统的学习方法,及时调整思维角度,从其它角度来重新审视它,寻找有力的突破口,化繁为简,化难为易地对该类问题进行求解。下面就此类问题举例进行探讨:
一 利用常用函数的定义、性质及公式巧求函数的值域
1.1求函数y=值域。
分析1:该问题是一个比较简单的求值域问题,且分子和分母所含未知数x的次数相等,要求其值域,可从函数本身入手,对函数进行变形、化简,使其分子或分母中其一不含x,通过观察直接求出其值域。
解:由y=得y===+
=+
∵≠0 ∴y≠
故函数y=的值域为(-∞,)∪(,+∞).
注:对于形如y=的函数,(a,b,c,d为常数且a≠0)的值域可用部分分式法将其变形为y=+,求得值域为{y|y≠},也可用求反函数的定义域方法求得其值域为y≠
分析2:对于1.1中的函数y=,也可充分利用函数与反函数的关系,即:原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域,从而达到求原函数值域的问题。
解:由y=得3yx-4y=2x 即x(3y-2)=4y,
∴x=,由3y-2≠0,得y≠.
1.2求函数y=的值域。
分析1:这类函数如利用1.1的求法是很难求解的,此时,不妨把y看作常量,对方程进行求解,从而达到求解目的。
解:∵x2+2x+2=(x+1)2+1≠0∴原函数等价于y(x2+2x+2)=x+1即 yx2+(2y-1)x+2y=0①则方程①在实数内必有解。
当y=0时,x=-1,符合题意;当y≠0时,△=(2y-1)2-4y(2y-1)=4y2-1≥0,故-≤y≤且y≠0
综上,所求函数值域为[-,]
注:在求解函数中分子与分母中所含未知量的指数不同时,可用这种方法求解函数的值域。但是在解方程时,要明确方程在实数范围内一定有解,继而在由判别式求出其值域。
分析2:对于1.2中的例子,也可利用不等式综合法中的均值不等式进行求解,但利用该种方法求解函数的值域时,要对相关的因式进行讨论,在此,我们不妨来看看此种方法的求解过程。
解:把y=化简为y==
令u=(x+1)+
讨论:
(1)当x+1=0 时,即x=-1时,y=0 。
(2)当x+1≠0 时,即x≠-1时,有:
①.当x+1>0,即x>-1 时,u≥2=2,当且仅当x+1=时,即x=0时取等号。
②.当x+1<0,即x<-1时,u=-[-(x+1)+]≤2 ,当且仅当x=-2时取得等号,从而u的范围为(-∞,-2]∪[2,+∞)进而y∈[-,0)∪(0,]。
综上,所求函数的值域为[-,]。
二 利用已知条件巧求函数的值域
2.1已知x,y均大于零,且2x+y=1,求+的取值范围。
分析:这相当于求复合函数值域的问题,看似简单,但在求解时有一定的难度,有时无从下手。解决此类问题,不妨令u=+,然后从已知条件入手,把问题中的1转化为2x+y,再进一步把u=+ 改写为:u=+=3+(+),再利用算术平均数不小于几何平均数(且等号能成立),即可求得u的取值范围。
解: u=+=+=3+(+).
∵ x,y均不大于零,∴+≥2
∴ +≥3+2,当且仅当+时等号成立,于是+∈[3+2,+∞).
三 利用三角换元法巧求函数的值域
3.1已知实数x,y满足x2-3xy+y2=2,求x2+y2 的取值范围。
分析:先令u2=x2+y2,则该方程表示以原点为圆心的圆,则u>0,然后再巧用三角换元求函数u的值域,即可使问题简单化、直观化。
解:令u2=x2+y2,u≥0,则可设x=ucosθ,y=usinθ将其代入x2-3xy+y2=2中,得u2-3u2sinθcosθ=2,
∴=,因此, 0<=≤=
故u2≥x2+y2≥,即x2+y2的取值范围是[,+∞)。
四 正确运用函数的图象巧求函数的值域
4.1求函数y=的值域。
分析:∵直线的斜率公式是:k=,
∴把y=改写为y=,
然后巧用直线斜率公式,问题即可迎刃而解。
解:y==y= ,
其几何意义为:(cosc,sinx)与(-2,0)两点的直线的斜率,借助图象,求函数y=的值域,即求单位圆上一点与(-2,0)点的连线的斜率的取值范围,易得-≤y≤。
函数值域的求解方法很多,教师在教授这一部分知识时不可能面面俱到,所以教师在教学时一定要关注学生对知识点的掌握及其连贯性,从而培养学生的逻辑思维能力、想象能力和发散思维能力。由表及里、由浅入深地提高学生对问题的认识和理解能力,并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力,全面提高学生的创新能力和综合素质能力,使学生得到全面发展。
作者简介:马勋果,大学本科毕业,自毕业后一直在威宁民族师范学校(现改为:贵州省毕节第三实验高级中学)第一线任教,在教学中积累了很多教育教学经验。现任职称为中专讲师,主要研讨教育教学方法和教育改革在教学中的实施情况,差生的转化等。