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数学思想方法通常隐藏在问题之后，说不清、道不明. 但解题时缺少数学思想方法的支持，往往问题思路不容易突破. 下面结合勾股定理典型习题的求解，跟同学们一起体会解决这些问题背后的思想方法.
一、 感受转化思想
例1 一个三级台阶如图1，它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm，3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶表面爬到B点，最短线路是多少？
【分析】首先将三个台阶表面展成平面，再利用勾股定理求解.
解：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到台阶的右下角，故需把三个台阶展开成平面图形（如图2）. 把三个台阶展开成平面图形后，可知AC=5，BC=12. 在Rt△ABC中，因为 AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13. 故蚂蚁爬到B点的最短线路是13 cm.
【点评】解决几何体上的最短路线问题，需把几何图形展成平面图形，利用“两点之间线段最短”以及勾股定理来解决.
二、 积累配方策略
例2 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状.
【分析】要判断△ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2
+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题.
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，
所以（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0.
因为（a-3）2≥0，（b-4）2≥0，（c-5）2≥0，
所以a=3，b=4，c=5.
因为32+42=52，所以a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.
三、 体会数形结合
例3 在学习勾股定理时，我们学会运用图3（Ⅰ）验证它的正确性. 图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2
+4■ab，即（a+b）2=c2+4■ab，由此推出勾股定理a2+b2=c2. 这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”.
（1） 请你用图3（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2） 请你用图3（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2
=x2+2xy+y2；
（3） 请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq
=x2+（p+q）x+pq.
【分析】这是一道设计比较新颖，与图形的组合验证数学关系式有关的题目.实际上是对课本知识的一个拓展. 涉及勾股定理和整式的乘法两个方面的知识，掌握好图形面积的计算方法，不难组合成与表达式相符合的图形.
解：（1） 图3（Ⅱ）大正方形的面积可表示为c2，也可以表示为4■ab+（a-b）2，即c2 =4■ab+（a-b）2，由此可推导出c2=a2+b2；
（2） 用图3（Ⅲ）所给的四个图形拼一个边长为（x+y）的正方形即可，如图4所示；
（3） 只要一个边长为x的正方形，一个长为q、宽为p的长方形，一个长为q、宽为x的长方形和一个长为p、宽为x的长方形（如图5）；拼成一个长为（x+q），宽为（x+p）的大长方形即可（如图6，请同学们仿照我的拼法，自行验证）.
【点评】拼图验证关系式问题，是一种比较重要的题型. 更为重要的是，本题体现了数形结合思想，这也不难理解，为什么这么重要的勾股定理一定要安排到八年级才学习，这是因为只有具备了整式乘除、因式分解、等式的运算基础后，才能在数与形之间有效关联、深刻理解.
跟踪练习
1. 如图7所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9，求BC的长.
【分析】根据已知条件无法直接求出BC的长. 因此可尝试利用勾股定理的逆定理先找出图形中的直角三角形，然后再考虑利用勾股定理求出线段的长.
解：因为AD2+BD2=122+92=225，
又因为AB2=152=225，
所以AB2=AD2+BD2.
根据勾股定理的逆定理，可知△ABD是直角三角形. 故△ADC也是直角三角形.
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
CD2=AC2-AD2=132-122=25，
所以CD=5. 故BC=BD+CD=14.
2. 有一圆柱形油罐，如图8所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点正上方的B点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐底面的周长是12 m，高AB是5 m）
【分析】 解此题的关键是把侧面展开，利用两点的连线中线段最短和勾股定理作答.
解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则AA′B′B为长方形，AB=A′B′=5 m，AA′
=BB′=12 m，∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=∠B=90°，因此沿AB′建梯子，最省材料，梯子最短.
在Rt △AA′B′中，AB′=■
=■=13 （m）.
答：梯子最短需13 m.
一、 感受转化思想
例1 一个三级台阶如图1，它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm，3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物. 请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶表面爬到B点，最短线路是多少？
【分析】首先将三个台阶表面展成平面，再利用勾股定理求解.
解：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到台阶的右下角，故需把三个台阶展开成平面图形（如图2）. 把三个台阶展开成平面图形后，可知AC=5，BC=12. 在Rt△ABC中，因为 AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13. 故蚂蚁爬到B点的最短线路是13 cm.
【点评】解决几何体上的最短路线问题，需把几何图形展成平面图形，利用“两点之间线段最短”以及勾股定理来解决.
二、 积累配方策略
例2 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状.
【分析】要判断△ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2
+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题.
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，
所以（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0.
因为（a-3）2≥0，（b-4）2≥0，（c-5）2≥0，
所以a=3，b=4，c=5.
因为32+42=52，所以a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.
三、 体会数形结合
例3 在学习勾股定理时，我们学会运用图3（Ⅰ）验证它的正确性. 图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2
+4■ab，即（a+b）2=c2+4■ab，由此推出勾股定理a2+b2=c2. 这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”.
（1） 请你用图3（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2） 请你用图3（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2
=x2+2xy+y2；
（3） 请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq
=x2+（p+q）x+pq.
【分析】这是一道设计比较新颖，与图形的组合验证数学关系式有关的题目.实际上是对课本知识的一个拓展. 涉及勾股定理和整式的乘法两个方面的知识，掌握好图形面积的计算方法，不难组合成与表达式相符合的图形.
解：（1） 图3（Ⅱ）大正方形的面积可表示为c2，也可以表示为4■ab+（a-b）2，即c2 =4■ab+（a-b）2，由此可推导出c2=a2+b2；
（2） 用图3（Ⅲ）所给的四个图形拼一个边长为（x+y）的正方形即可，如图4所示；
（3） 只要一个边长为x的正方形，一个长为q、宽为p的长方形，一个长为q、宽为x的长方形和一个长为p、宽为x的长方形（如图5）；拼成一个长为（x+q），宽为（x+p）的大长方形即可（如图6，请同学们仿照我的拼法，自行验证）.
【点评】拼图验证关系式问题，是一种比较重要的题型. 更为重要的是，本题体现了数形结合思想，这也不难理解，为什么这么重要的勾股定理一定要安排到八年级才学习，这是因为只有具备了整式乘除、因式分解、等式的运算基础后，才能在数与形之间有效关联、深刻理解.
跟踪练习
1. 如图7所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9，求BC的长.
【分析】根据已知条件无法直接求出BC的长. 因此可尝试利用勾股定理的逆定理先找出图形中的直角三角形，然后再考虑利用勾股定理求出线段的长.
解：因为AD2+BD2=122+92=225，
又因为AB2=152=225，
所以AB2=AD2+BD2.
根据勾股定理的逆定理，可知△ABD是直角三角形. 故△ADC也是直角三角形.
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
CD2=AC2-AD2=132-122=25，
所以CD=5. 故BC=BD+CD=14.
2. 有一圆柱形油罐，如图8所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点正上方的B点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐底面的周长是12 m，高AB是5 m）
【分析】 解此题的关键是把侧面展开，利用两点的连线中线段最短和勾股定理作答.
解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则AA′B′B为长方形，AB=A′B′=5 m，AA′
=BB′=12 m，∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=∠B=90°，因此沿AB′建梯子，最省材料，梯子最短.
在Rt △AA′B′中，AB′=■
=■=13 （m）.
答：梯子最短需13 m.