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摘 要：《普通高中数学课程标准》在必修内容中减少了排列组合知识，因而在古典概型问题的解决过程中主要是通过列举的方法确定基本事件个数，常用列表和树状图，而对于一些古典概型问题采用坐标来处理将更方便、简洁。
关键词：坐标 古典概型 列举
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-1875(2009)05-119-02
《普通高中数学课程标准》中对古典概型的要求为：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．而对于古典概型的计算对于学生来说难点就在于计算随机事件所含的基本事件数，一般采用列表法或树状图法．笔者通过教学实践，对列表法进行了一些改造，收到了意想不到的效果．
问题一：
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
（苏教版 数学 必修3 P95 例3）
我们一般可以通过列表分析（如表1）：
将横行看作是第一次抛掷，竖列看作是第二次抛掷，从表中可以直接得了共有36种不同结果，两数之和是3的倍数的结果有12种，所以得出两数之和是3的倍数的概率为。
现将表作适当的改造，将表中的各组数看作是点的坐标，我们就可以用点来表示，从而就可以用坐标系来表示整个表（如图1）
先后抛掷2次骰子，所包含基本事件就是由所表示的点，每一个点就表示一个基本事件，两数之和为3的倍数即直线所经过的点。
因而，我们可以这样来解决：设第一次抛掷骰子，向上的点数为x，第二次抛掷骰子，向上的点数为y，由x，y只能取1,2,3,4,5,6可得1≤x≤61≤y≤6x,y∈Z，即一个正方形区域内的整点个数即所有的基本事件个数，而两次之和为3的倍数就是直线x+y=3k(k∈(1,2,3,4))所经过的点，共有12个点，即两次之和为3的倍数的基本事件有12个。
由此，我们可以用同样的方法解决以下变式：
求：
（1）第一次抛掷的点数不小于第二次抛掷的点数的概率；
（2）第二次抛掷的点数是第一次抛掷的点数的3倍的概率；
（3）两次抛掷的点数是相邻的整数概率。
变式（1）可以表示成区域内的点，有21个点即21个基本事件，所以第一次抛掷的点数不小于第二次抛掷的点数的概率为；变式（2）可以表示直线y=3x上的点，有2个点即两个基本事件，所以第二次抛掷的点数是第一次抛掷的点数的3倍的概率为；变式（3）可表示成为直线x-y=1和y-x=1上的点，有10个点即10个基本事件，所以两次抛掷的点数是相邻的整数的概率为，如图。
采用坐标系中的点可以直观地数出基本事件个数，比列表简单，并且可以结合平面解析几何知识灵活解决一些实际的问题。
对于摸球问题也可以用此方法解决：
问题二：
一只口袋同装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
分析：将4只白球的编号为1，2，3，4，2只黑球为5，6，一次摸出两只球，由于找到（1，2）和（2，1）是一样的，所以我们取（2，1），而且不可能出现两个球编号一样，所以我们可以得到如下图形，所以我们可以看出有15点即有15个基本事件，找出两只球都是白球即横纵坐标都在{1.2.3.4}范围之内，即可以用在区域A内的点来表示，有6个点以即6个基本事件，所以摸出的两只球都是白球的概率是。则区域B表示横坐标在{5,6}范围内，纵坐标在{1.2.3.4}范围内表示摸到一只白球和一只，有8个点即8个基本事件，其概率为；区域C表示横纵坐标都在{5,6}范围之内，表示摸到的两只球都是黑球，有1个点即1个基本事件，其概率为。
变式：
有两只口袋，其中一只同装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，另一只同装有大小相同的5只球，其中2只白球，3只黑球，分别从两只口袋中各摸出一只球．求摸出的两只球都是黑球的概率是多少？
将第一只口袋中的4只白球的编号为1，2，3，4，2只黑球为5，6，另一口袋中的2只白球的编号为1，2，2只黑球为3，4，5，将从第一只口袋中的摸出的球的编号代表横坐标，从第二只口袋中的摸出的球的编号代表纵坐标，建立直角坐标系如图。从中可以看出从两只口袋中各摸出一只球的30个基本事件，摸出的两个球都是黑球有6个基本事件（由区域C内的点表示），所以摸出的两只球都是黑球的概率为。
对于可以用实数对进行表示的古典概型的问题都可以运用直角坐标系中的点来进行解决，同时很好地解决了列举中的不重不漏，而且当总体的数很多我们也可以很方便地进行解决。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].人民教育出版社，2004.5
[2]单墫,李善良,陈永高,王巧林.普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）[M].江苏教育出版社，2006.10
关键词：坐标 古典概型 列举
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-1875(2009)05-119-02
《普通高中数学课程标准》中对古典概型的要求为：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．而对于古典概型的计算对于学生来说难点就在于计算随机事件所含的基本事件数，一般采用列表法或树状图法．笔者通过教学实践，对列表法进行了一些改造，收到了意想不到的效果．
问题一：
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
（苏教版 数学 必修3 P95 例3）
我们一般可以通过列表分析（如表1）：
将横行看作是第一次抛掷，竖列看作是第二次抛掷，从表中可以直接得了共有36种不同结果，两数之和是3的倍数的结果有12种，所以得出两数之和是3的倍数的概率为。
现将表作适当的改造，将表中的各组数看作是点的坐标，我们就可以用点来表示，从而就可以用坐标系来表示整个表（如图1）
先后抛掷2次骰子，所包含基本事件就是由所表示的点，每一个点就表示一个基本事件，两数之和为3的倍数即直线所经过的点。
因而，我们可以这样来解决：设第一次抛掷骰子，向上的点数为x，第二次抛掷骰子，向上的点数为y，由x，y只能取1,2,3,4,5,6可得1≤x≤61≤y≤6x,y∈Z，即一个正方形区域内的整点个数即所有的基本事件个数，而两次之和为3的倍数就是直线x+y=3k(k∈(1,2,3,4))所经过的点，共有12个点，即两次之和为3的倍数的基本事件有12个。
由此，我们可以用同样的方法解决以下变式：
求：
（1）第一次抛掷的点数不小于第二次抛掷的点数的概率；
（2）第二次抛掷的点数是第一次抛掷的点数的3倍的概率；
（3）两次抛掷的点数是相邻的整数概率。
变式（1）可以表示成区域内的点，有21个点即21个基本事件，所以第一次抛掷的点数不小于第二次抛掷的点数的概率为；变式（2）可以表示直线y=3x上的点，有2个点即两个基本事件，所以第二次抛掷的点数是第一次抛掷的点数的3倍的概率为；变式（3）可表示成为直线x-y=1和y-x=1上的点，有10个点即10个基本事件，所以两次抛掷的点数是相邻的整数的概率为，如图。
采用坐标系中的点可以直观地数出基本事件个数，比列表简单，并且可以结合平面解析几何知识灵活解决一些实际的问题。
对于摸球问题也可以用此方法解决：
问题二：
一只口袋同装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？
分析：将4只白球的编号为1，2，3，4，2只黑球为5，6，一次摸出两只球，由于找到（1，2）和（2，1）是一样的，所以我们取（2，1），而且不可能出现两个球编号一样，所以我们可以得到如下图形，所以我们可以看出有15点即有15个基本事件，找出两只球都是白球即横纵坐标都在{1.2.3.4}范围之内，即可以用在区域A内的点来表示，有6个点以即6个基本事件，所以摸出的两只球都是白球的概率是。则区域B表示横坐标在{5,6}范围内，纵坐标在{1.2.3.4}范围内表示摸到一只白球和一只，有8个点即8个基本事件，其概率为；区域C表示横纵坐标都在{5,6}范围之内，表示摸到的两只球都是黑球，有1个点即1个基本事件，其概率为。
变式：
有两只口袋，其中一只同装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，另一只同装有大小相同的5只球，其中2只白球，3只黑球，分别从两只口袋中各摸出一只球．求摸出的两只球都是黑球的概率是多少？
将第一只口袋中的4只白球的编号为1，2，3，4，2只黑球为5，6，另一口袋中的2只白球的编号为1，2，2只黑球为3，4，5，将从第一只口袋中的摸出的球的编号代表横坐标，从第二只口袋中的摸出的球的编号代表纵坐标，建立直角坐标系如图。从中可以看出从两只口袋中各摸出一只球的30个基本事件，摸出的两个球都是黑球有6个基本事件（由区域C内的点表示），所以摸出的两只球都是黑球的概率为。
对于可以用实数对进行表示的古典概型的问题都可以运用直角坐标系中的点来进行解决，同时很好地解决了列举中的不重不漏，而且当总体的数很多我们也可以很方便地进行解决。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].人民教育出版社，2004.5
[2]单墫,李善良,陈永高,王巧林.普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）[M].江苏教育出版社，2006.10