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近年来,在注重素质教育的我国教育背景下,如何进行教学才能培养和提高学生解决数学问题的能力成为数学教学界争论的一个热点。本文试图结合自己的教学实践经验,从五大方面来论述和论证了“培养和提高学生解决数学问题的能力”的一些成功做法。
一、打好学生的数学基础是首要条件
打好学生的数学基础,是培养和提高学生解决数学问题的能力的前提条件。因为如果一个人没有必要的数学基础,那么他(她)就很难成功地解决数学问题。比如,有些人不懂得长方体的体积公式或求最大值的方法,就很难解决下面的[数学问题1]。
[数学问题1] 建造一个容积为 8 ,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120 元和80元,求水池的最低总造价及其相应的建造图形。
解:设水池的长为a , 宽为b ,依题意得 2ab = 8 ,
∴ ab = 4 。
∴ 总造价 y = 120ab + 2(a+b)·2·80
= 120ab + 320(a+b)
≥ 480 +320×2×2 =1760。
∵ 当且仅当 a=b=2时,上式“=”成立。
所以,当 a=b=2时,即池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低总造价为1760元。
答:池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低总造价为1760元。
又如,有些人不懂得函数的知识或求最大值的方法,就很难解决下面的[数学问题2]。
[数学问题2] (05年全国高考题)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图1)。问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
图1
解:设容器的高为x cm, 容器的体积为V cm3,则
V = (90 – 2x)(48 –2x)x , ( 0< x <24 )
∴ V=4x3-276x2 +4320x,V` =12x2-552x+4320 ,
令 V` = 0 , 即12x2-552x+4320 = 0
解之,得x1=10,x2=36(舍去)
又∵ 当 0 < x < 10时, V` > 0,当10 < x < 24时,V` < 0
所以,当x =10时,V有极大值,极大值等于V(10)=19600(cm3)。
又∵ V(0)= 0,V(24)= 0
所以当x =10时,V有最大值,最大值等于19600 cm3。
答:容器的高为10cm时,容器的容积最大;最大的容积是19600 cm3。
综上所述,打好数学基础,是解决数学问题的必要条件,是培养和提高学生解决数学问题能力的必要前提条件。
二、培养和提高学生的数学运算能力
具有必要的数学运算能力,是解决相关数学问题的重要条件。比如,要解答下面的[数学问题3],就必须具有“解不等式及求集合的交、并集运算”等运算能力。
[数学问题3] (05年,天津高考题)设函数f(x)In■,则函数g(x)=f(■)+f(■)的定义域是___。
解:由■>0 解得-1>x>1
∴ g(x)的定义域为x|-1<■<1,且-1<■<1=x|-2 又如,要解决下面的[数学问题4],就必须熟练掌握有关的三角恒等变换运算。
[数学问题4] 求函数y=sin(x+■)+■sinx的最小正周期、最大值和最小值。
解:y=sin(x+■)+■sinx=■sinx+cosx=2sin(x+■)
所以,所求的最小正周期为2π,最大值为2,最小值为-2
由以上的论证可知,没有一定的数学运算能力,是不能解决相关的数学问题的。因此,在数学教学过程中必须努力培养和提高学生的数学运算能力,切实使学生掌握解决数学问题所需的必要运算技能。
三、培养和提高学生的推理与论证能力
推理与论证能力是解决某些数学问题重要而必要的能力。因此,在教学过程中必须努力培养和提高学生的推理与论证能力,切实使学生掌握这些数学能力,为学生能够独立解决这类数学问题提供重要而必要的条件。
例如,要解决下面的[数学问题5]和[数学问题6],就必须具有用二面角的平面角的定义、异面直线所成的角的定义、直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理等进行推理与论证的能力。
[数学问题5] 如图2,已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA=4,AB=2,SA⊥底面ABCD,E是SC上的一点。
(1)求证:平面SAC⊥平面EBD。
(2)求二面角A-BD-S的大小。
(3)求直线BA与SC所成的角的大小。
(4)求点A到平面SBD的距离。
图2 图3
(1) 证明:∵SA⊥底面ABCD,BD底面ABCD∴ BD⊥SA
又∵ ABCD是正方形, ∴ BD⊥CA,
又∵ SA∩CA=A, ∴ BD⊥平面SAC
又∵ BD平面EBD,∴平面SAC⊥平面EBD.
(2) 解:设AC∩BD=O,连结SO.
∵ ABCD是正方形,∴ AO⊥BD
又∵ SA⊥平面ABCD,∴AO是斜线SO在底面AC上的射影
由三垂线定理,得 SO⊥BD
∴ ∠SOA是二面角的平面角(即∠SOA等于所求的二面角)。
在Rt△SAO中, 容易求得AO=■,SO=3■
∴ sin∠AOS=■=■=■■?圯∠AOS=arcsin■■这就是所求二面角的大小.
(3)解:∵ABCD是正方形,∴ DC∥AB
∴ ∠DCS是异面直线BA与SC所成的角(即∠DCS等于所求的角)。
在△DCS中, 容易求得SC=2■,SD=2■,CD=2,由余弦定理得cos∠DCS=■=■=■?圯∠DCS=arccos■
这就是所求异面直线BA与SC所成的角的大小.
(4)解:由(2)知,SO⊥BD ,SO=3■
∴ S△SBD=■BD·SO=■×2■×3■=6
设点A到平面SBD的距离为h,由SA⊥底面ABCD,得
∴ ■S△SBD·h=■S△ABD·SA ∴6h=■×2×2×4?圯h=■答:点A到平面SBD的距离为■
[数学问题6] 如图3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=18cm, P、Q分别为棱AB、AD的中点,E、F分别为棱BC、CD的中点。(1)求证:平面A1PQ∥平面D1B1F 。 (2)求几何体A1B1D1-ABEFD的体积。
(1)证明:连结PF、BD
∵ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中
BB1∥DD1 ,且BB1=DD1,
∴BD∥B1D1
又 ∵ 在△ABD中,P、Q分别是AB、DA的中点
∴BD∥PQ
四、培养和提高学生的数学思想方法
中学里,解决数学问题的基本数学思想方法有:(1)定义法;(2)分类讨论法;(3)解析法;(4)换元法;(5)配方法;(6)待定系数法;(7)向量法;(8)公式法;(9)定理法;(10)导数法;(11)数形结合;(12)筛选回代法;(13)函数与方程的思想方法;(14)函数与不等式;(15)参数法;(16)交集、并集与补集;(17)逆向思维法;(18)枚举法;(19)建模法;(20)等积法;(21)割补法;(22)周期性法;(23)分析法;(24)综合法;(25)反证法;(26)同一法;(27)重组法;(28)构造法;(29)多元未知数法;(30)等价转换法(或化简),(31)数学归纳法,等等。例如,本文中的[数学问题1]就可用多元未知数法与不等式法;[数学问题2]就可用公式法、函数法与导数法;[数学问题3]就可用定义法、等价性化简、交集法与并集法等;[数学问题4]就可用化简法及定义法等;[数学问题5]就可用定义法、定理法、公式法、等积法、割补法、分析法与综合法等。因此,在数学教学中,加强数学思想方法的教学,对培养和提高学生解决数学问题的能力是十分有帮助的,是十分重要和非常必要的。
五、要注意培养和提高学生的数学综合运用能力
这里所讲的综合运用能力,是指学生能够充分综合地运用所学的数学基础、运算能力、推理与论证能力、空间想象能力和数学思想方法等进行的一系列的数学思维活动,从而解决相关的数学问题的能力。例如,对于本文中的[数学问题1]或[数学问题2]就要求学生在理解长方体等几何知识的基础上,能综合地运用设多元未知数与不等式法相结合或列函数式与求导相结合的方法来解决问题。又如,对于本文中的[数学问题5]就要求学生在理解有关的几何知识的基础上,能综合地运用分析法与综合法、定义法、定理法、公式法、等积法、割补法等方法来解决问题。所以,培养和提高学生的数学综合运用能力,是学生能够独立解决有关的数学问题的必要条件。因此,数学教师必须高度重视,认真抓紧抓好。
综上所述,以上五个方面,从各自的特点来看,每一方面都是解决与之相关的数学问题的必要条件。但只要将它们综合来运用,就可以解决很多数学问题了。因此,在高中数学教学过程中,我们必须辛勤耕耘,长期不懈地抓好这五个方面的教学,从而培养和提高学生解决数学问题的能力。
参考文献:
[1]斯塔科(美)著,刘晓陵 曾守锤译.创造能力教与学[M].华东师范大学出版社,2003(5).
[2]胡东芳.教育新思维:东西方教育对话录[M].广西师范大学出版社,2003(9).
[3]钟启泉等.普通高中新课程方案导读[M].华东师范大学出版社,2003(9).
[4]广东省教育厅教研室.高中新课程数学教学设计与案例[M].广东高等教育出版社,2009(3).
(作者单位:广东省佛山市南海艺术高中)
一、打好学生的数学基础是首要条件
打好学生的数学基础,是培养和提高学生解决数学问题的能力的前提条件。因为如果一个人没有必要的数学基础,那么他(她)就很难成功地解决数学问题。比如,有些人不懂得长方体的体积公式或求最大值的方法,就很难解决下面的[数学问题1]。
[数学问题1] 建造一个容积为 8 ,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120 元和80元,求水池的最低总造价及其相应的建造图形。
解:设水池的长为a , 宽为b ,依题意得 2ab = 8 ,
∴ ab = 4 。
∴ 总造价 y = 120ab + 2(a+b)·2·80
= 120ab + 320(a+b)
≥ 480 +320×2×2 =1760。
∵ 当且仅当 a=b=2时,上式“=”成立。
所以,当 a=b=2时,即池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低总造价为1760元。
答:池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低总造价为1760元。
又如,有些人不懂得函数的知识或求最大值的方法,就很难解决下面的[数学问题2]。
[数学问题2] (05年全国高考题)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图1)。问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
图1
解:设容器的高为x cm, 容器的体积为V cm3,则
V = (90 – 2x)(48 –2x)x , ( 0< x <24 )
∴ V=4x3-276x2 +4320x,V` =12x2-552x+4320 ,
令 V` = 0 , 即12x2-552x+4320 = 0
解之,得x1=10,x2=36(舍去)
又∵ 当 0 < x < 10时, V` > 0,当10 < x < 24时,V` < 0
所以,当x =10时,V有极大值,极大值等于V(10)=19600(cm3)。
又∵ V(0)= 0,V(24)= 0
所以当x =10时,V有最大值,最大值等于19600 cm3。
答:容器的高为10cm时,容器的容积最大;最大的容积是19600 cm3。
综上所述,打好数学基础,是解决数学问题的必要条件,是培养和提高学生解决数学问题能力的必要前提条件。
二、培养和提高学生的数学运算能力
具有必要的数学运算能力,是解决相关数学问题的重要条件。比如,要解答下面的[数学问题3],就必须具有“解不等式及求集合的交、并集运算”等运算能力。
[数学问题3] (05年,天津高考题)设函数f(x)In■,则函数g(x)=f(■)+f(■)的定义域是___。
解:由■>0 解得-1>x>1
∴ g(x)的定义域为x|-1<■<1,且-1<■<1=x|-2
[数学问题4] 求函数y=sin(x+■)+■sinx的最小正周期、最大值和最小值。
解:y=sin(x+■)+■sinx=■sinx+cosx=2sin(x+■)
所以,所求的最小正周期为2π,最大值为2,最小值为-2
由以上的论证可知,没有一定的数学运算能力,是不能解决相关的数学问题的。因此,在数学教学过程中必须努力培养和提高学生的数学运算能力,切实使学生掌握解决数学问题所需的必要运算技能。
三、培养和提高学生的推理与论证能力
推理与论证能力是解决某些数学问题重要而必要的能力。因此,在教学过程中必须努力培养和提高学生的推理与论证能力,切实使学生掌握这些数学能力,为学生能够独立解决这类数学问题提供重要而必要的条件。
例如,要解决下面的[数学问题5]和[数学问题6],就必须具有用二面角的平面角的定义、异面直线所成的角的定义、直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理等进行推理与论证的能力。
[数学问题5] 如图2,已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA=4,AB=2,SA⊥底面ABCD,E是SC上的一点。
(1)求证:平面SAC⊥平面EBD。
(2)求二面角A-BD-S的大小。
(3)求直线BA与SC所成的角的大小。
(4)求点A到平面SBD的距离。
图2 图3
(1) 证明:∵SA⊥底面ABCD,BD底面ABCD∴ BD⊥SA
又∵ ABCD是正方形, ∴ BD⊥CA,
又∵ SA∩CA=A, ∴ BD⊥平面SAC
又∵ BD平面EBD,∴平面SAC⊥平面EBD.
(2) 解:设AC∩BD=O,连结SO.
∵ ABCD是正方形,∴ AO⊥BD
又∵ SA⊥平面ABCD,∴AO是斜线SO在底面AC上的射影
由三垂线定理,得 SO⊥BD
∴ ∠SOA是二面角的平面角(即∠SOA等于所求的二面角)。
在Rt△SAO中, 容易求得AO=■,SO=3■
∴ sin∠AOS=■=■=■■?圯∠AOS=arcsin■■这就是所求二面角的大小.
(3)解:∵ABCD是正方形,∴ DC∥AB
∴ ∠DCS是异面直线BA与SC所成的角(即∠DCS等于所求的角)。
在△DCS中, 容易求得SC=2■,SD=2■,CD=2,由余弦定理得cos∠DCS=■=■=■?圯∠DCS=arccos■
这就是所求异面直线BA与SC所成的角的大小.
(4)解:由(2)知,SO⊥BD ,SO=3■
∴ S△SBD=■BD·SO=■×2■×3■=6
设点A到平面SBD的距离为h,由SA⊥底面ABCD,得
∴ ■S△SBD·h=■S△ABD·SA ∴6h=■×2×2×4?圯h=■答:点A到平面SBD的距离为■
[数学问题6] 如图3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=18cm, P、Q分别为棱AB、AD的中点,E、F分别为棱BC、CD的中点。(1)求证:平面A1PQ∥平面D1B1F 。 (2)求几何体A1B1D1-ABEFD的体积。
(1)证明:连结PF、BD
∵ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中
BB1∥DD1 ,且BB1=DD1,
∴BD∥B1D1
又 ∵ 在△ABD中,P、Q分别是AB、DA的中点
∴BD∥PQ
四、培养和提高学生的数学思想方法
中学里,解决数学问题的基本数学思想方法有:(1)定义法;(2)分类讨论法;(3)解析法;(4)换元法;(5)配方法;(6)待定系数法;(7)向量法;(8)公式法;(9)定理法;(10)导数法;(11)数形结合;(12)筛选回代法;(13)函数与方程的思想方法;(14)函数与不等式;(15)参数法;(16)交集、并集与补集;(17)逆向思维法;(18)枚举法;(19)建模法;(20)等积法;(21)割补法;(22)周期性法;(23)分析法;(24)综合法;(25)反证法;(26)同一法;(27)重组法;(28)构造法;(29)多元未知数法;(30)等价转换法(或化简),(31)数学归纳法,等等。例如,本文中的[数学问题1]就可用多元未知数法与不等式法;[数学问题2]就可用公式法、函数法与导数法;[数学问题3]就可用定义法、等价性化简、交集法与并集法等;[数学问题4]就可用化简法及定义法等;[数学问题5]就可用定义法、定理法、公式法、等积法、割补法、分析法与综合法等。因此,在数学教学中,加强数学思想方法的教学,对培养和提高学生解决数学问题的能力是十分有帮助的,是十分重要和非常必要的。
五、要注意培养和提高学生的数学综合运用能力
这里所讲的综合运用能力,是指学生能够充分综合地运用所学的数学基础、运算能力、推理与论证能力、空间想象能力和数学思想方法等进行的一系列的数学思维活动,从而解决相关的数学问题的能力。例如,对于本文中的[数学问题1]或[数学问题2]就要求学生在理解长方体等几何知识的基础上,能综合地运用设多元未知数与不等式法相结合或列函数式与求导相结合的方法来解决问题。又如,对于本文中的[数学问题5]就要求学生在理解有关的几何知识的基础上,能综合地运用分析法与综合法、定义法、定理法、公式法、等积法、割补法等方法来解决问题。所以,培养和提高学生的数学综合运用能力,是学生能够独立解决有关的数学问题的必要条件。因此,数学教师必须高度重视,认真抓紧抓好。
综上所述,以上五个方面,从各自的特点来看,每一方面都是解决与之相关的数学问题的必要条件。但只要将它们综合来运用,就可以解决很多数学问题了。因此,在高中数学教学过程中,我们必须辛勤耕耘,长期不懈地抓好这五个方面的教学,从而培养和提高学生解决数学问题的能力。
参考文献:
[1]斯塔科(美)著,刘晓陵 曾守锤译.创造能力教与学[M].华东师范大学出版社,2003(5).
[2]胡东芳.教育新思维:东西方教育对话录[M].广西师范大学出版社,2003(9).
[3]钟启泉等.普通高中新课程方案导读[M].华东师范大学出版社,2003(9).
[4]广东省教育厅教研室.高中新课程数学教学设计与案例[M].广东高等教育出版社,2009(3).
(作者单位:广东省佛山市南海艺术高中)