数学思想是解决数学问题的有力武器，数学思想的不断强化，逐步固定为一种数学观念，从而提高学生的数学素养，为学生将来观察问题、分析问题、解决问题提供数学的思维，即用数学. 作为小学生，还不懂得什么叫做数学思想，但是，小学中高年级的学生，在解决数学问题的时候，偶尔也会不自觉地运用着各种数学思想. 如何让数学思想在小学生中形成雏形，这是摆在各位数学老师面前的课题. 俗话说：“根深则叶茂. ”只有枝繁叶茂，方能春华秋实.
　　小学生抽象思维能力弱，形象思维能力较强. 因此，利用识图教育来培养小学生的数学思想是一个良好的契机. 下面从具体问题入手，谈谈问题中蕴含的数学思想.
　　问题一 如图１，已知线段ＡE上有Ｂ，Ｃ，Ｄ三点，问：图中共有几条线段？
　　分析 该题中蕴含着组合思想，即图中线段的总条数等于在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五点中任取两点的组合数C. 给小学生讲解时，不可能谈组合思想，更不可能谈组合数计算. 我们可以根据直观图形，从Ａ点开始依次向右数线段，Ａ点有４条，Ｂ点有３条，Ｃ点有２条，Ｄ点有１条，Ｅ点有０条，再求和：４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＋ ０ ＝ １０（条）. 这样计数，从中体现了加法原理. 再换一种算法，从Ａ点开始向左、右两个方向数线段，这样每个点都与其他４点构成４条线段，共有５个点，即得４ × ５ ＝ ２０，但必须注意到这种算法每１条线段被数成了２条，所以图中线段的总条数只有２０的一半，即２０ ÷ ２ ＝ １０（条）. 这种算法同时也体现了乘法原理.
　　类似的问题还可以深化，例如：
　　问题二 如图２，问：图中共有多少个角？
　　问题三 如图３，问：图中共有多少个长方形？
　　问题四 如图４，问：图中共有多少个三角形？
　　问题五 如图５，问：图中共有多少个角（小于平角的角）？
　　这种形式上的改编，不但可以让类比思想在小学生头脑中生根，更可以让小学生感受到数学之美.
　　问题六 如图６，一只蚂蚁沿长方形格的边线从Ａ点爬行至Ｈ点，问：最短的线路有几条？
　　分析 该题蕴含着运筹思想，同时体现出加法原理. 蚂蚁从Ａ点分别爬行至Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ点的最短路线都是１条，因此从Ａ→Ｐ的最短路线是Ａ→Ｂ→Ｐ和Ａ→Ｄ→Ｐ，即１ ＋ １ ＝ ２（条）. 于是从Ａ→Ｆ最短路线是Ａ→Ｅ→Ｆ和Ａ→Ｐ→Ｆ，即１ ＋ ２ ＝ ３（条）. 同理，Ａ→Ｇ的最短路线也有３条. 因此从Ａ→Ｈ的最短路线分别是Ａ→Ｇ→Ｈ和Ａ→Ｆ→Ｈ，故为 ３ ＋ ３ ＝ ６（条）. 所以，从Ａ→Ｈ的最短路线有６条.
　　问题七 如图７，问：图中共有多少个平行四边形？
　　分析 该题体现的是乘法原理，ＡＨ边上有３个点，根据问题三，有１０“层”平行四边形，在ＡＤ边上有２个点，同样结合问题三，每“层”的平行四边形个数为３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６. 于是平行四边形的总个数为６ × １０ ＝ ６０（个）.
　　如果将问题六、七综合起来，可得：
　　问题八 如图８，一只蚂蚁沿长方形格边线和ＢＣ线段从Ａ点爬行至Ｄ点，问：最短的路线有几条？
　　这样的拓宽引申，问题中既蕴含了加法原理又蕴含了乘法原理. 由问题六可知，从Ａ→Ｂ最短路线有６条，Ｂ→Ｃ最短路线有１条，因此从Ａ→Ｃ最短路线有６ × １ ＝ ６（条），而Ｃ→Ｄ的最短路线有６条（同问题六），所以，Ａ→Ｄ最短路线为６ × ６＝ ３６（条）. 这样的逐步加深，同时也有利于学生弄清加法原理和乘法原理的区别.
　　问题九 如图９，问：图中共有多少个三角形？
　　将以上出现的数学思想方法融合起來，解决问题九便是一件容易的事，否则，很难正确解答. 首先，解决图１０中的三角形个数. 运用分类思想，按照三角形“大小”分类，△ABC级仅１个，△ABE级６个，△ABP级３个，△ADP级６个，共１６个. 其次，运用类比思想，图９中△DEF里的三角形个数与图１０一样多，也是１６个. 再次，从图１０到图９增加了三条线段ＤＥ，ＥＦ，ＦＤ，每增加一条线段，带来没有计数过的三角形５个，如线DE段，带来的三角形是△BDE中的３个及△DEA和△DEC，故又增加３ × ５ ＝ １５（个）. 于是得到图９中三角形个数为１６ ＋ １６ ＋ １５ ＝ ４７（个）.
　　加法原理又名分类计数原理，乘法原理又名分步计数原理，一字之差，揭示出加法与乘法的本质. 分类思想，类比思想都是常见的数学思想，利用图形直观及早在小学生中渗透，对学生数学修养的提高有一定的益处.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文