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摘要：我国在2001年开始的基础教育课程改革中引入概率知识，并且将“统计与概率”作为一个独立的课程领域，从小学开始系统地渗透和学习。然而由于教师对统计及其教学的认识不足，导致课堂实践中对“随机”与“确定”把握不准、“本质”与“表象”厘析不清、“概率”与“次数”思辨不明、“归纳”与“演绎”运用不当等现象时常出现，需要教师进一步丰富统计的专业知识，积累该领域的教学经验，深化对统计教学的认识，回归统计教学本真。
关键词：小学数学；统计与概率；存在问题；改进策略
概率是处理随机现象的一门科学。我国在2001年开始的基础教育课程改革中引入概率知识，将“统计与概率”作为一个独立的课程领域，从小学开始系统地渗透和学习，并通常用“可能性”代替数学术语“概率”。义务教育阶段统计教学的关键是使学生想到用数据，愿意“亲近”数据，能从数据中提取信息。这部分内容对学生来说充满趣味和吸引力，但教学中教师对统计与概率知识理解不透、教学内容选取不当、教学重难点把握不准等现象也时常出现，需要教师进一步加深认识，回归概率教学本真。
一、“随机”与“确定”把握不准
课堂回放：为让学生感受不确定事件的可能性，举例：学校举行歌咏大赛，经过激烈角逐，四年级的一位同学获得了冠军。教师提问：“获得冠军的学生可能是哪个班级的？”学生纷纷抢答，有的说可能是四（1）班的；有的说可能是四（2）班的；有的说我们学校四年级一共有11个班，在每个班的可能性都有；还有的说在每个班的可能性是相等的。
现象分析：教师没有将“生活化表达”与“数学概念本质”区分清楚，对随机事件与确定事件把握不准。“可能性”是针对随机事件而言的，而该情境中问题的答案是客观事实，是先于学生的猜想而客观存在的，并不具有预测性，此处的“可能”并非数学研究中的“可能性”。也就是说，歌咏大赛已经结束，冠军已经产生，这个特定的学生具体在哪个班已经确定，只是这个确定的结果我们暂时不知道而已，这并非概率中的随机事件。以此为案例进行教学，造成了学生对数学概念的错误认识。
改进策略：曹培英老师以听课过程中发现的、教师易犯的知识性错误或纰漏为原型进行加工，形成教师本体性知识调查问卷。从上海市两个区小学数学教师的答卷情况看，平均答对率为38.8%，对涉及“可能性”知识的试题，平均答对率只有34.1%。用“能为小学生释疑解惑”“能较深入地把握小学数学教学内容”的要求来衡量，现状与需要的差距较大。呼時听课中，笔者经常发现上课教师不能很好地区分“事件”与“现象”、列举“事件”不具有预测性和动态性、未能正确取舍生活性和科学性等情况时常存在。
三、“概率”与“次数”思辨不明
课堂回放：数学活动，在不透明的袋子里装有5个红球和5个黄球（两种球除了颜色不同，其余属性完全相同），组织学生操作，任意摸1个球，摸后放回。连续摸6次，根据摸球结果猜一猜袋中装了什么颜色的球？
一名学生上讲台连续摸了6次，恰巧都是黄球，学生纷纷议论：袋子里都是黄球。此时教师显得有些尴尬，也有点急了，亲自将袋子里的球再次充分地搅拌，并提醒学生要随意地去摸，让学生再摸1次，结果正好是红球。教师如释重负，急不可待地说：“袋中有红球和黄球。”没等教师说完，学生又纷纷抢着说：“袋子中黄球多，红球少。”教师又急了，无奈地说：“刚才的实验做得不太‘成功’，如果摸球次数再多一些就‘准’了。”
现象分析：不知上述案例中教师对实验“成功”界定的标准是什么？未能认识到“随机性”是随机现象的本质属性，暴露出教师学科专业知识的缺失。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小，其是客观论证，而非主观验证。大数定律告诉我们，在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，当摸球次数足够多时，摸到红球和黄球次数差不多的可能性很大，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，也就是摸到红球和黄球都以很大的概率占总数次的一半；而当摸球次数足够多时，摸到红球和黄球次数相差较大的可能性很小，但并不意味着它一定不会出现。问题的实质是活动中摸到两种球的“概率相等”，而非“次数相等”，摸球的结果是“一切皆有可能”。尤其是在开始有限次的摸球中，摸到红球比黄球次数多得多、差不多、少很多都是有可能的。连续摸6次都是黄球，虽然该事件发生的可能性不大，但不是没有可能。案例中教师遇到的尴尬看上去是教学中的偶然，但偶然中蕴含着必然。
改进策略：数据的随机主要有两层含义：一方面对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。[s哽宁中教授指出：“统计是通过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。”上述案例教学应在“袋中装的是什么颜色的球”的猜想中，凸显出摸球实验必要性。在指名学生上讲台摸球的游戏中，不论学生摸出什么颜色的球，都要引发思考“袋中一定有什么颜色的球？”“袋中只有红（黄）球吗？”摸了几次后，如果都只出现红球或黄球，教师再次发问：“袋中一定只有红（黄）球吗”；如果既出现了红球又出现了黄球，而且次数相当，则引导“下一次会摸到什么颜色的球”；如果红球与黄球出现次数相差较大，则以“一定是红（黄）球的个数多吗”引发学生思考。在摸球的动态过程中让学生充分感悟实验发生的独立性、必然性和偶然性，并用一定、可能、不可能等词语对事件发生的概率进行定性描述。
接下来在“球的颜色和个数”的猜想中，凸显出在摸球实验中收集数据并进行分析的必要性。学生分组实验，每组摸球20次，引发组内对猜想的讨论。全班再对各组摸球的数据进行汇总，分析袋中的球可能有哪些颜色，并推断出红球和黄球所占比例是多少。接着再告诉学生袋中球的总个数，引导学生估计出红球和黄球分别的个数。尤其需要指出的是应使学生认识到全班摸球实验次数总和相对于随机试验来说依然是个小数目，出现极端的情况也是可能存在的。最后，打开袋子，在实验过程的反思中感受事情总体结果的规律性和每一次结果的不确定性，体会不确定现象的不确定性和不确定中的稳定性的特点，学会用随机的思维去观察、分析生活中的事物，形成统计观念，感受数据中蕴含的信息。 四、“归纳”与“演绎”运用不当
课堂回放：通过“摸球”、“玩转盘”、“摸牌”等课堂游戏，学生在活动中体会到事件发生的可能性和游戏规则的公平性。此时，教师引导学生从分析事件的公平性逆向思考，尝试设计一个公平的游戏规则。学生情绪高涨、发言踊跃，在举出几个例子后，有学生提出：“写‘胜’和‘负’两张纸条，做成两个阄，小华、小强两人轮流抓，谁抓到‘胜’字就算谁赢。”受前一学生案例的影响，又有学生提出：“写‘胜’、‘负’、‘负’三张纸条，做成三个阄，小华、小强、小红轮流抓，谁先抓到‘胜’字就算谁赢。”
第二个学生所举案例使课堂陷入到激烈焦灼的争论当中，有学生提出“要强调抓后放回”。更多的学生则对这个游戏的公平性表示怀疑：有人认为先抓的人如果把“胜”抓走，后抓得人就肯定失败了，所以先抓的人赢的可能性大一些；又有人认为先抓的人抓到“胜”的概率只有1/3，如果抓不到“胜”字，那么第二个人赢的概率就是1/2，后抓的人赢得可能性更大一些；还有的学生隐约中感觉到这个游戏规则是公平的，但说不出其中的道理……课堂的生成教师始料未及，在应对时显得有些茫然无措。为解决“意外生成”，教师组织学生按“抓后放回”与“抓后不放回”进行分组实验，但时间所限，次数不多的实验产生的结果仍不能使学生信服，教师遂提出下节课继续进行抓阄实验。
现象分析：第二个学生所举的案例具有一定的开放性、超前性和复杂性，条件概率的认知也超出了学生的最近发展区。如果单纯采用实验、收集数据、推算概率、判断是否公平的方法，因实验的随机性和情境的复杂性，学生对游戏规则是否公平的感受是模糊的，并不清晰，也不能彻底消除心理疑虑。统计是用数据来进行推断，它的推理方式主要是归纳；概率是定义出来的，它的推理方式主要是演绎。教学中，要注意统计思想与演绎推理思想之间的互补作用，使学生认识到统计与概率和确定性数学一样，是科学的方法，能够有效地解决现实生活中的众多问题，满足学生了解世界的好奇心。
改进策略：学习任何知识都要经过大脑的思辨，否则就不可能实现对学习内容的压缩、整合、内化，进而纳入到认知结构之中。可以引导学生，将三个阄编号，写“胜”的编号为A，两个写“负”字的编号分别为B1和B2。如果小华抓到A号阄，小强抓到B1号阄，小红抓到B2号阄，则表示为（A B1 B2）。所有抓阄的结果有以下6种情况：（A B1 B2）、（A B2 B1）、（B1 A B2）、（B1 B2 A）、（B2 A B1）、（B2 B1A）。其中，（A B1 B2）、（A B2 B1）表示小華抓到“胜”字的情况，他有2种赢的可能，所以小华赢的可能性是2；同样小强和小红赢的可能性也是2。再引导学生分析，如果抓后放回，那么不论是谁在抓阄，袋中始终都有“胜”、“负”、“负”三个阄，每人抓到“胜”的可能性都有，游戏规则也是公平的。在此基础上，总结得出：在三人抓阄的过程中，要不要抓后放回并不影响游戏规则的公平性。
基于问题的分析，是有价值的；基于分析的完善，是有意义的；基于完善的发展，是不会停止的。“统计与概率”在中小学课程中出现的时间并不长，需要广大教师进一步丰富统计的专业知识，积累该领域的教学经验，深化对统计教学的认识，逐步培养学生的数据分析观念与随机意识，回归统计教学本真。
关键词：小学数学；统计与概率；存在问题；改进策略
概率是处理随机现象的一门科学。我国在2001年开始的基础教育课程改革中引入概率知识，将“统计与概率”作为一个独立的课程领域，从小学开始系统地渗透和学习，并通常用“可能性”代替数学术语“概率”。义务教育阶段统计教学的关键是使学生想到用数据，愿意“亲近”数据，能从数据中提取信息。这部分内容对学生来说充满趣味和吸引力，但教学中教师对统计与概率知识理解不透、教学内容选取不当、教学重难点把握不准等现象也时常出现，需要教师进一步加深认识，回归概率教学本真。
一、“随机”与“确定”把握不准
课堂回放：为让学生感受不确定事件的可能性，举例：学校举行歌咏大赛，经过激烈角逐，四年级的一位同学获得了冠军。教师提问：“获得冠军的学生可能是哪个班级的？”学生纷纷抢答，有的说可能是四（1）班的；有的说可能是四（2）班的；有的说我们学校四年级一共有11个班，在每个班的可能性都有；还有的说在每个班的可能性是相等的。
现象分析：教师没有将“生活化表达”与“数学概念本质”区分清楚，对随机事件与确定事件把握不准。“可能性”是针对随机事件而言的，而该情境中问题的答案是客观事实，是先于学生的猜想而客观存在的，并不具有预测性，此处的“可能”并非数学研究中的“可能性”。也就是说，歌咏大赛已经结束，冠军已经产生，这个特定的学生具体在哪个班已经确定，只是这个确定的结果我们暂时不知道而已，这并非概率中的随机事件。以此为案例进行教学，造成了学生对数学概念的错误认识。
改进策略：曹培英老师以听课过程中发现的、教师易犯的知识性错误或纰漏为原型进行加工，形成教师本体性知识调查问卷。从上海市两个区小学数学教师的答卷情况看，平均答对率为38.8%，对涉及“可能性”知识的试题，平均答对率只有34.1%。用“能为小学生释疑解惑”“能较深入地把握小学数学教学内容”的要求来衡量，现状与需要的差距较大。呼時听课中，笔者经常发现上课教师不能很好地区分“事件”与“现象”、列举“事件”不具有预测性和动态性、未能正确取舍生活性和科学性等情况时常存在。
三、“概率”与“次数”思辨不明
课堂回放：数学活动，在不透明的袋子里装有5个红球和5个黄球（两种球除了颜色不同，其余属性完全相同），组织学生操作，任意摸1个球，摸后放回。连续摸6次，根据摸球结果猜一猜袋中装了什么颜色的球？
一名学生上讲台连续摸了6次，恰巧都是黄球，学生纷纷议论：袋子里都是黄球。此时教师显得有些尴尬，也有点急了，亲自将袋子里的球再次充分地搅拌，并提醒学生要随意地去摸，让学生再摸1次，结果正好是红球。教师如释重负，急不可待地说：“袋中有红球和黄球。”没等教师说完，学生又纷纷抢着说：“袋子中黄球多，红球少。”教师又急了，无奈地说：“刚才的实验做得不太‘成功’，如果摸球次数再多一些就‘准’了。”
现象分析：不知上述案例中教师对实验“成功”界定的标准是什么？未能认识到“随机性”是随机现象的本质属性，暴露出教师学科专业知识的缺失。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小，其是客观论证，而非主观验证。大数定律告诉我们，在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，当摸球次数足够多时，摸到红球和黄球次数差不多的可能性很大，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，也就是摸到红球和黄球都以很大的概率占总数次的一半；而当摸球次数足够多时，摸到红球和黄球次数相差较大的可能性很小，但并不意味着它一定不会出现。问题的实质是活动中摸到两种球的“概率相等”，而非“次数相等”，摸球的结果是“一切皆有可能”。尤其是在开始有限次的摸球中，摸到红球比黄球次数多得多、差不多、少很多都是有可能的。连续摸6次都是黄球，虽然该事件发生的可能性不大，但不是没有可能。案例中教师遇到的尴尬看上去是教学中的偶然，但偶然中蕴含着必然。
改进策略：数据的随机主要有两层含义：一方面对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。[s哽宁中教授指出：“统计是通过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。”上述案例教学应在“袋中装的是什么颜色的球”的猜想中，凸显出摸球实验必要性。在指名学生上讲台摸球的游戏中，不论学生摸出什么颜色的球，都要引发思考“袋中一定有什么颜色的球？”“袋中只有红（黄）球吗？”摸了几次后，如果都只出现红球或黄球，教师再次发问：“袋中一定只有红（黄）球吗”；如果既出现了红球又出现了黄球，而且次数相当，则引导“下一次会摸到什么颜色的球”；如果红球与黄球出现次数相差较大，则以“一定是红（黄）球的个数多吗”引发学生思考。在摸球的动态过程中让学生充分感悟实验发生的独立性、必然性和偶然性，并用一定、可能、不可能等词语对事件发生的概率进行定性描述。
接下来在“球的颜色和个数”的猜想中，凸显出在摸球实验中收集数据并进行分析的必要性。学生分组实验，每组摸球20次，引发组内对猜想的讨论。全班再对各组摸球的数据进行汇总，分析袋中的球可能有哪些颜色，并推断出红球和黄球所占比例是多少。接着再告诉学生袋中球的总个数，引导学生估计出红球和黄球分别的个数。尤其需要指出的是应使学生认识到全班摸球实验次数总和相对于随机试验来说依然是个小数目，出现极端的情况也是可能存在的。最后，打开袋子，在实验过程的反思中感受事情总体结果的规律性和每一次结果的不确定性，体会不确定现象的不确定性和不确定中的稳定性的特点，学会用随机的思维去观察、分析生活中的事物，形成统计观念，感受数据中蕴含的信息。 四、“归纳”与“演绎”运用不当
课堂回放：通过“摸球”、“玩转盘”、“摸牌”等课堂游戏，学生在活动中体会到事件发生的可能性和游戏规则的公平性。此时，教师引导学生从分析事件的公平性逆向思考，尝试设计一个公平的游戏规则。学生情绪高涨、发言踊跃，在举出几个例子后，有学生提出：“写‘胜’和‘负’两张纸条，做成两个阄，小华、小强两人轮流抓，谁抓到‘胜’字就算谁赢。”受前一学生案例的影响，又有学生提出：“写‘胜’、‘负’、‘负’三张纸条，做成三个阄，小华、小强、小红轮流抓，谁先抓到‘胜’字就算谁赢。”
第二个学生所举案例使课堂陷入到激烈焦灼的争论当中，有学生提出“要强调抓后放回”。更多的学生则对这个游戏的公平性表示怀疑：有人认为先抓的人如果把“胜”抓走，后抓得人就肯定失败了，所以先抓的人赢的可能性大一些；又有人认为先抓的人抓到“胜”的概率只有1/3，如果抓不到“胜”字，那么第二个人赢的概率就是1/2，后抓的人赢得可能性更大一些；还有的学生隐约中感觉到这个游戏规则是公平的，但说不出其中的道理……课堂的生成教师始料未及，在应对时显得有些茫然无措。为解决“意外生成”，教师组织学生按“抓后放回”与“抓后不放回”进行分组实验，但时间所限，次数不多的实验产生的结果仍不能使学生信服，教师遂提出下节课继续进行抓阄实验。
现象分析：第二个学生所举的案例具有一定的开放性、超前性和复杂性，条件概率的认知也超出了学生的最近发展区。如果单纯采用实验、收集数据、推算概率、判断是否公平的方法，因实验的随机性和情境的复杂性，学生对游戏规则是否公平的感受是模糊的，并不清晰，也不能彻底消除心理疑虑。统计是用数据来进行推断，它的推理方式主要是归纳；概率是定义出来的，它的推理方式主要是演绎。教学中，要注意统计思想与演绎推理思想之间的互补作用，使学生认识到统计与概率和确定性数学一样，是科学的方法，能够有效地解决现实生活中的众多问题，满足学生了解世界的好奇心。
改进策略：学习任何知识都要经过大脑的思辨，否则就不可能实现对学习内容的压缩、整合、内化，进而纳入到认知结构之中。可以引导学生，将三个阄编号，写“胜”的编号为A，两个写“负”字的编号分别为B1和B2。如果小华抓到A号阄，小强抓到B1号阄，小红抓到B2号阄，则表示为（A B1 B2）。所有抓阄的结果有以下6种情况：（A B1 B2）、（A B2 B1）、（B1 A B2）、（B1 B2 A）、（B2 A B1）、（B2 B1A）。其中，（A B1 B2）、（A B2 B1）表示小華抓到“胜”字的情况，他有2种赢的可能，所以小华赢的可能性是2；同样小强和小红赢的可能性也是2。再引导学生分析，如果抓后放回，那么不论是谁在抓阄，袋中始终都有“胜”、“负”、“负”三个阄，每人抓到“胜”的可能性都有，游戏规则也是公平的。在此基础上，总结得出：在三人抓阄的过程中，要不要抓后放回并不影响游戏规则的公平性。
基于问题的分析，是有价值的；基于分析的完善，是有意义的；基于完善的发展，是不会停止的。“统计与概率”在中小学课程中出现的时间并不长，需要广大教师进一步丰富统计的专业知识，积累该领域的教学经验，深化对统计教学的认识，逐步培养学生的数据分析观念与随机意识，回归统计教学本真。