摘要：常微分方程是数学专业的必修课之一，是高等代数、数学分析和解析几何的应用和发展。在一阶微分方程的求解过程中有多种求解方法，本文通过求解几个典型的例题来说明其解法和教学方法，教会学生几种一阶微分方程的解题方法。
　　关键词：一阶微分方程；变量分离；齐次方程；常数变易；全微分方程
　　常微分方程从生产实践与科学技术中产生，有着深刻而生动的实际背景，是数学科学联系实际的一个应用，也是现代科学技术中分析有力的工具。如今在自动化技术、自动控制等科学中，常微分方程已成为了必要的工具。常微分方程是微分学与积分学的实际应用，它的求解离不开导数积分，是高等数学的一个重要组成部分。在常微分方程中，一阶常微分方程的种类繁多，因此求解的方法也很多，对于不同的一阶常微分方程，我们在方法进行求解。下面就我在教学工作中的一点体会，把一阶常微分方程的求解分为四类，通过四个基本例题的求解来谈一谈一阶常微分方程的求解方法。
　　1.变量分离方程
　　上式中的 ， 是关于 ， 的连续函数，叫做变量分离方程.
　　如果 ，则把含有 的函数与微分移到一边，含有 的函数和微分全部移到另一边，再对等式两边同时积分可以得到方程的解。假如 ，如果存在 使的 ，那么 还是方程的解。
　　例1 求解方程 .
　　解：当 的时候，用 除以方程的两端，则原方程化为
　　，
　　可以看出上式是一个变量分离方程，对两边同时积分可以得到该方程的通解为
　　即 为任意的常数
　　此外，当 的时候，不能用 来除，但是 是方程的两个特解，不过在通解公式中允许常数 ， 两个特解就包含在通解之中了。另外，若不规定 是自变量， 是未知函数，则 也是方程的两个特解，它们也包含在通解之中。
　　2. 型的齐次微分方程
　　这里的 是 的连续函数.对于任意的连续函数 ，方程都可通过变换 ，即 ，将其化为可分离变量方程，对 微分，有：
　　，
　　代入原方程可以得到： ，
　　也就是说： ， 当 时，进行分离变量，积分后得通解。
　　3.线性微分方程
　　我们称 为一阶非齐次线性微分方程，而 ， 均要求为考虑区间上关于 的连续函数.我们已经知道：
　　当 时，该方程为可分离变量的微分方程，其通解为：
　　当 时，现在将中的常数 变易为 的待定函数 ，把 代入非齐次方程，得到 ，方程的通解为
　　这种解法，我们称之为常数变易法。
　　例2求解方程
　　解 首先将该方程化为标准方程
　　对应的齐次线性微分方程为：
　　该对应的齐次微分方程的通解为
　　现令
　　代入方程得：
　　故原方程得通解为：
　　4.恰当微分方程
　　如果方程 的左端恰好是函数 的全微分，即 ，则该方程为恰当微分方程。
　　当方程满足 时，该方程为全微分方程，该方程可以直接通过凑微分的方法直接求解，当然也可以通过积分的方法求得 或者 。最后得方程的通解为： 或者
　　一阶常微分方程的解法就是把微分方程的求解問题转化成为积分问题，对于给定的常微分方程，不仅要准确判定它属于哪种类型，还要注重对做题技巧的把握，对各种一阶常微分方程的解题方法进行总结归纳。
　　参考文献：
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