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【摘要】本文介绍关于数学物理方程定解条件及其表达式问题，特别提出了定解条件的线性及其教法.
【关键词】定解条件；线性；全线性
在数学物理方程的教学中，关于定解条件及其表达式的线性性质是十分重要的，我们提出如下的教学方案.
在解决数学物理方程问题时，需要确定的未知函数称为目标函数.由实际需要所规定的目标函数的变点的变化范围称为定解区域，其中空间变点的变化范围称为空间定解区域，时空变点的变化范围称为时空定解区域.由于问题具有相应的实际背景，它要求目标函数满足若干附加条件.这些附加条件统称为定解条件（或约束条件）.
1常见的定解条件及其分类
能够用一个等式或一个不等式表示的定解条件,称为单项定解条件.现在介绍一些常见定解条件的类型及其表达方式.设V是定解区域（这里的“区域”泛指一维区间、二维区域或三维区域），V是区域V的边界，M是区域V内的变点，t为时刻，目标函数为u＝u(M,t)，则关于数学物理二阶偏微分线性方程T［u(M,t)］＝f(M,t)的单项定解条件，有以下几种常见的类型：①当然条件.u在区域V内可以连续微分两次，这个条件称为当然条件.以后总是默认满足当然条件而不写出.②边界条件.u在区域边界V的状态，称为边界条件（或边界约束条件）.常见的边界条件形式为：αun+βu)V=f.其中α，β均为实数且α2+β2≠0，n为边界V的向外法线方向，f为已知函数.这种边界条件当α=0时，称为第一类边界条件［或Direchlet（狄尼克雷）条件］；当β=0时，称为第二类边界条件［或Neumann（牛曼）条件］；当αβ≠0时，称为第三类边界条件（或Robin条件）.当上述f为零时，相应的边界条件称为齐次的，否则称为非齐次的.③初始条件.u在时刻t＝0的状态，称为初始条件（或关于时间变数的约束条件）.常见的初始条件有以下两种：au在时刻t＝0等于已知函数μ(M)，记为u|t=0=μ(M)；bu关于t的偏导数在时刻t＝0等于已知函数ψ(M)，记为ut(M,0)=ψ(M).如果上述μ(M)≡0或ψ(M)≡0，则相应的条件称为齐次的，否则称为非齐次的.如果从时空定解区域来考虑，初始条件也可以被看作边界条件的一种.④自然约束条件.例如，|u(M,t)|<+∞.⑤周期约束条件.例如，u(M,t+2π)=u(M,t).⑥与方向无关条件.例如，三维球坐标系rθφ中,uθ=0，uφ=0.除了上述几种类型的单项定解条件而外，还可能出现别的类型的单项定解条件，这里不再列举.由若干单项定解条件组成的定解条件，称为组合定解条件，简称为组合条件.组成组合条件的每个单项定解条件，均称为这个组合定解条件的项.由多种不同类型的单项定解条件共同组成的组合定解条件，也称为混合定解条件，简称为混合条件.
2定解条件的线性性质
单项的定解条件大多可以抽象地表示为形式φ(u)≤g，其中φ是运算符号，g是不依赖于u的函数.如果算符φ使得等式φ(av+bw)=aφ(v)+bφ(w)当两边有意义时总成立，则称φ是线性的.其中a，b均为常数，u，v均为函数.逐一验证可知，前面所列出的各个单个定解条件均为线性的.例如，对于周期约束条件⑤，可以将其改写为上述形式u(M,t+2π)-u(M,t)=0，其中φ(u)=u(M,t+2π)-u(M,t)，g=0.这个φ是线性的，因为对于任何常数a，b以及函数u，v，均有
各项均为线性的组合条件，称为全线性组合条件.各项均用等式表示的混合条件,可以抽象地表示为下列向量形式B(u)=G，其中B是向量算子，G是不依赖于u的向量函数.如果B是全线性组合条件的向量算子，则称B是线性的.易知，这时等式B(av+bw)=aB(v)+bB(w)当两边有意义时总成立，其中a，b均为常数，u，v均为函数.目标函数的数学物理方程连同其定解条件总称为定解问题.其中的数学物理方程称为泛定方程.定解条件为初始条件、边界条件或混合条件的定解问题，依次称为初值问题、边值问题以及混合问题.为了便于讨论，常常将二阶偏微分线性方程的定解问题统一简略写做形式T(u)=f，B(u)=G，其中T是二阶偏微分线性算子，B是向量算子，G是向量函数.如果其中向量算子B也是线性的,这时称该定解问题是全线性定解问题.
【参考文献】
［1］郭时光.关于谱半径的一个不等式及其应用.科教导刊，2010，42(2)：53-55.
［2］郭时光.关于二阶偏微分线性方程的化简.科协论坛，2010(5)：72-73.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】定解条件；线性；全线性
在数学物理方程的教学中，关于定解条件及其表达式的线性性质是十分重要的，我们提出如下的教学方案.
在解决数学物理方程问题时，需要确定的未知函数称为目标函数.由实际需要所规定的目标函数的变点的变化范围称为定解区域，其中空间变点的变化范围称为空间定解区域，时空变点的变化范围称为时空定解区域.由于问题具有相应的实际背景，它要求目标函数满足若干附加条件.这些附加条件统称为定解条件（或约束条件）.
1常见的定解条件及其分类
能够用一个等式或一个不等式表示的定解条件,称为单项定解条件.现在介绍一些常见定解条件的类型及其表达方式.设V是定解区域（这里的“区域”泛指一维区间、二维区域或三维区域），V是区域V的边界，M是区域V内的变点，t为时刻，目标函数为u＝u(M,t)，则关于数学物理二阶偏微分线性方程T［u(M,t)］＝f(M,t)的单项定解条件，有以下几种常见的类型：①当然条件.u在区域V内可以连续微分两次，这个条件称为当然条件.以后总是默认满足当然条件而不写出.②边界条件.u在区域边界V的状态，称为边界条件（或边界约束条件）.常见的边界条件形式为：αun+βu)V=f.其中α，β均为实数且α2+β2≠0，n为边界V的向外法线方向，f为已知函数.这种边界条件当α=0时，称为第一类边界条件［或Direchlet（狄尼克雷）条件］；当β=0时，称为第二类边界条件［或Neumann（牛曼）条件］；当αβ≠0时，称为第三类边界条件（或Robin条件）.当上述f为零时，相应的边界条件称为齐次的，否则称为非齐次的.③初始条件.u在时刻t＝0的状态，称为初始条件（或关于时间变数的约束条件）.常见的初始条件有以下两种：au在时刻t＝0等于已知函数μ(M)，记为u|t=0=μ(M)；bu关于t的偏导数在时刻t＝0等于已知函数ψ(M)，记为ut(M,0)=ψ(M).如果上述μ(M)≡0或ψ(M)≡0，则相应的条件称为齐次的，否则称为非齐次的.如果从时空定解区域来考虑，初始条件也可以被看作边界条件的一种.④自然约束条件.例如，|u(M,t)|<+∞.⑤周期约束条件.例如，u(M,t+2π)=u(M,t).⑥与方向无关条件.例如，三维球坐标系rθφ中,uθ=0，uφ=0.除了上述几种类型的单项定解条件而外，还可能出现别的类型的单项定解条件，这里不再列举.由若干单项定解条件组成的定解条件，称为组合定解条件，简称为组合条件.组成组合条件的每个单项定解条件，均称为这个组合定解条件的项.由多种不同类型的单项定解条件共同组成的组合定解条件，也称为混合定解条件，简称为混合条件.
2定解条件的线性性质
单项的定解条件大多可以抽象地表示为形式φ(u)≤g，其中φ是运算符号，g是不依赖于u的函数.如果算符φ使得等式φ(av+bw)=aφ(v)+bφ(w)当两边有意义时总成立，则称φ是线性的.其中a，b均为常数，u，v均为函数.逐一验证可知，前面所列出的各个单个定解条件均为线性的.例如，对于周期约束条件⑤，可以将其改写为上述形式u(M,t+2π)-u(M,t)=0，其中φ(u)=u(M,t+2π)-u(M,t)，g=0.这个φ是线性的，因为对于任何常数a，b以及函数u，v，均有
各项均为线性的组合条件，称为全线性组合条件.各项均用等式表示的混合条件,可以抽象地表示为下列向量形式B(u)=G，其中B是向量算子，G是不依赖于u的向量函数.如果B是全线性组合条件的向量算子，则称B是线性的.易知，这时等式B(av+bw)=aB(v)+bB(w)当两边有意义时总成立，其中a，b均为常数，u，v均为函数.目标函数的数学物理方程连同其定解条件总称为定解问题.其中的数学物理方程称为泛定方程.定解条件为初始条件、边界条件或混合条件的定解问题，依次称为初值问题、边值问题以及混合问题.为了便于讨论，常常将二阶偏微分线性方程的定解问题统一简略写做形式T(u)=f，B(u)=G，其中T是二阶偏微分线性算子，B是向量算子，G是向量函数.如果其中向量算子B也是线性的,这时称该定解问题是全线性定解问题.
【参考文献】
［1］郭时光.关于谱半径的一个不等式及其应用.科教导刊，2010，42(2)：53-55.
［2］郭时光.关于二阶偏微分线性方程的化简.科协论坛，2010(5)：72-73.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文