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【摘 要】给出递推关系，求数列的通项公式是数列的一块重要内容。用构造法求递推数列的通项公式是必须掌握的一项技能。本文主要介绍用构造法求递推数列的通项公式的几种常见类型。
【关键词】构造法；转化；化归
给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。
等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：
第一类：构造等差数列
类型1.an+1=■类型
针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，通过求{■}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式。
例如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=■，求数列{an}的通项公式。
解析：∵an+1=■，∴■=■+1，又∵a1≠0，∴an≠0
所以数列{■}是首项为1，公差为1的等差数列。∴■=1+n-1=n，∴an=■.
∴数列{an}的通项公式为an=■.
类型2.an=pan-1+pn+k类型（其中k为常数）
这种类型可以采取等式两边同除以pn，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，进而得到数列{an}的通项公式。
第二类：构造等比数列
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，可以通过构造等比数列或等差数列求通项公式。
类型3.an+1=pan+q类型（其中p、q为常数，且p≠1,q≠0）
这类问题可用构造法化归为等比数列{an+x}，运用待定系数法求出x，通过求出等比数列{an+x}的通项公式，求出数列{an}的通项公式。这种类型的递推公式比较常见，也很重要，下面类型4、类型5的问题往往需要变形成这种类型来解决。
类型4.an+1=■类型（其中p,q为常数，且p≠0,q≠0）
此种类型需先将等式两边同时取倒数，得到■=■·■+■化归为类型3的问题来解决。
类型5.an+1=pan+f(n)型（其中p为常数，且p≠1）
当f(n)=kn+b时，可设an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展开之后与给出的递推公式相同求出A、B,化归为等比数列{an+An+B};当f(n)=qn+k时，可等式两边同除以qn，得到■=■.■+■，化归为类型3的问题来解决。
类型6.an+1=pann型（其中p为常数）
此种类型需要两边取同底对数，如取以10为底的对数，得到lgan+1=nlgan+lgp，转化为类型3来解决。
【总结】
此类问题的主要方法就是根据递推关系，分析结构特征，善于合理变形，最终的目的是构造出一个与之相关的等差数列或者等比数列的形式。这种化归的思想在这类问题中随处可见。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，它并不是孤立存在的，与我们其它的各种思想相互联系着。在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”，“教是为了不教”，数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生的身上去。
【参考文献】
[1]数学教学通讯(高考数学).2008年第3期.《高中数学中转化与化归思想的运用》
[2]中学生数学报.张永侠.《升华教材-习题 解决一类大问题》
[3]中学数学教学参考.姚爱亮.《高考中递推数列求通项例析》2010年第10期
（作者单位：浙江省衢州第三中学）
【关键词】构造法；转化；化归
给出递推关系，求数列的通项公式是历年高考的热点。在此类问题中，转化与化归的方法是最重要的数学思想之一，起着不可或缺的作用，贯穿在数列的整个学习过程中。转化是解决递推数列问题的实质所在，所以，培养学生明确的“转化”意识，深刻理解这种思想方法的内涵，并能在解题过程中灵活运用，对于学生来说至关重要，甚至是考察学生数学思维的一项重要内容。
等差数列、等比数列是数列中最基础且最重要的两类特征数列，也是高中阶段数列内容中的重点研究对象但在平时的习题中，往往碰到的不是这两类数列，所以有时需要用构造法将其转化为等差数列或等比数列，这种方法就是求数列通项公式时经常使用的构造法，体现的正是转化与化归的数学思想，将非等差和非等比数列转化为我们熟悉的等差等比数列，进而使问题得到根本解决。此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉。构造的方法很多，可根据递推公式的特征而定，现将几种常见类型的问题总结如下：
第一类：构造等差数列
类型1.an+1=■类型
针对这种递推关系中存在分式的问题，经常需两边取倒数，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，通过求{■}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式。
例如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=■，求数列{an}的通项公式。
解析：∵an+1=■，∴■=■+1，又∵a1≠0，∴an≠0
所以数列{■}是首项为1，公差为1的等差数列。∴■=1+n-1=n，∴an=■.
∴数列{an}的通项公式为an=■.
类型2.an=pan-1+pn+k类型（其中k为常数）
这种类型可以采取等式两边同除以pn，得到关系式■=■+■，构造出等差数列{■}，进而得到数列{an}的通项公式。
第二类：构造等比数列
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，可以通过构造等比数列或等差数列求通项公式。
类型3.an+1=pan+q类型（其中p、q为常数，且p≠1,q≠0）
这类问题可用构造法化归为等比数列{an+x}，运用待定系数法求出x，通过求出等比数列{an+x}的通项公式，求出数列{an}的通项公式。这种类型的递推公式比较常见，也很重要，下面类型4、类型5的问题往往需要变形成这种类型来解决。
类型4.an+1=■类型（其中p,q为常数，且p≠0,q≠0）
此种类型需先将等式两边同时取倒数，得到■=■·■+■化归为类型3的问题来解决。
类型5.an+1=pan+f(n)型（其中p为常数，且p≠1）
当f(n)=kn+b时，可设an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展开之后与给出的递推公式相同求出A、B,化归为等比数列{an+An+B};当f(n)=qn+k时，可等式两边同除以qn，得到■=■.■+■，化归为类型3的问题来解决。
类型6.an+1=pann型（其中p为常数）
此种类型需要两边取同底对数，如取以10为底的对数，得到lgan+1=nlgan+lgp，转化为类型3来解决。
【总结】
此类问题的主要方法就是根据递推关系，分析结构特征，善于合理变形，最终的目的是构造出一个与之相关的等差数列或者等比数列的形式。这种化归的思想在这类问题中随处可见。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，它并不是孤立存在的，与我们其它的各种思想相互联系着。在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”，“教是为了不教”，数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生的身上去。
【参考文献】
[1]数学教学通讯(高考数学).2008年第3期.《高中数学中转化与化归思想的运用》
[2]中学生数学报.张永侠.《升华教材-习题 解决一类大问题》
[3]中学数学教学参考.姚爱亮.《高考中递推数列求通项例析》2010年第10期
（作者单位：浙江省衢州第三中学）