【摘 要】 近些年，高考中的概率统计试题越来越加强对数学阅读能力的考查，我们如何帮助学生了解和提升数学阅读能力呢？ 这是每个一线教师关心的问题，笔者以2019年高考数学理科全国Ⅰ卷概率统计解答题为例，研究了数学阅读（能力）的内涵以及提升数学阅读能力的途径，在这个过程中有了一些粗浅的认识，希望这些想法能够帮助学生从容应对高考中的概率统计试题.
　　【关键词】 数学阅读;数学阅读能力;概率统计
　　
　　2017年、2018年、2019年全国Ⅰ卷理科数学中，概率统计解答题分别位于19、20、21题的位置，尤其是2019年，它取代了导数试题而成为压轴题.2018年，教育部考试中心任子朝、陈昂、赵轩联合在《数学通报》发表署名文章《加强数学阅读能力的考查 展现逻辑思维功底》，文章指出：“近年概率与统计试题得分不高的原因可以归结为试题联系实际并不是以考生熟悉的形式呈现，运算量比较大，但最重要的原因是学生读不懂试题，不能理解题意，所以没有解题基础，因此从本题看数学阅读能力是解决问题的关键[1].”
　　试题中的数学阅读就是要求考生能够根据数学问题仔细地理解题意，明白题目的要求，进而准确地制定出解决问题的方案.在这个过程中，我们需要借助已经掌握的基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”[2]）来理解和运用数学语言，由于数学语言与社会科学语言不同，它主要包含三种语言（文字语言、符号语言和图表语言），其中符号语言带来的抽象性决定了数学阅读不同于语文、英语等其他阅读[3].数学阅读能力主要包括：准确理解原文，较快的阅读速度，发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[4]（简称“四能”[2]）.下面我们就以2019年全国Ⅰ卷理科数学压轴题为例，谈一谈数学阅读的主要步骤以及提高数学阅读能力的途径.
　　1 试题再现
　　（2019全国卷Ⅰ理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
　　（1）求X的分布列;
　　（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1 bpi cpi 1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假设α=0.5，β=0.8.
　　（ⅰ）证明：{pi 1-pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列;
　　（ⅱ）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
　　2 试题解析（主要步骤）
　　2.1 粗读
　　就是大致的把本题浏览一遍，在浏览的过程中坚持不添字、不漏字[5]，通过感知题中的数学语言，认识和了解到本题是一道概率与数列相结合的试题，重点记住试题的要求：“求一轮试验中甲药的得分X的分布列？”;“证明{pi 1-pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列并求p4？”
　　2.2 圈读
　　对于问题（1），我们可以去研究试验“约定”的内容，必要时可以圈圈画画，“约定”内容的意思是“在一轮试验中，如果使用甲没有治愈白鼠，而使用乙药治愈了白鼠，那么X=-1;如果使用甲乙两种药都治愈或都未治愈白鼠，那么X=0;如果使用甲治愈了白鼠，而使用乙没有治愈白鼠，则X=1.”因此X=-1，0，1，
　　P（X=-1）=（1-α）β，P（X=0）=αβ （1-α）（1-β），P（X=-1）=α（1-β），则X的分布列如下：
　　对于问题（2）中的第（ⅰ）问，我们可以直接利用“p0=0，p8=1，pi=api-1 bpi cpi 1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）.假設α=0.5，β=0.8”去推导.由于问题是“证明{pi 1-pi
　　}（i=0，1，2，…，7）为等比数列并求p4？”我们只需要快速准确地计算出a，b，c的值并代入“pi=api-1 bpi cpi 1”即可，并不用去理解“pi=api-1 bpi cpi 1”是怎么得到的，（这个式子是利用全概率公式推导出来的，大家可以试一试.）我们只需要会用就可以.此时，由（1）知，a=P（X=-1）=（1-0.5）×0.8=0.4，b=P（X=0）=0.5×0.8 （1-0.5）（1-0.8）=0.5，c=P（X=1）=0.5×（1-0.8）=0.1.
　　所以pi=0.4pi-1 0.5pi 0.1pi 1，即pi 1=5pi-4pi-1，所以pi 1-pi=4（pi-pi-1），显然p1-p0=p1≠0（若p1-p0=p1=0，则pi 1=pi，进而p8=p7=…=p1=0与p8=1矛盾）.所以数列{pi 1-pi}（i=0，1，2，…，7）是以p1为首项，公比为4的等比数列.
　　（ⅱ）由（ⅰ）知pi 1-pi=p1×4i，所以p1-p0=p1×40，p2-p1=p1×41，…，p8-p7=p1×47，利用迭加法知：p8-p0=p1×（40 41 … 47）=48-13p1=1，则p1=348-1. 　　p4=p4-p0=p1×（40 41 42 43）=348-1×1-441-4=144 1=1257≈0.0039.我们如何根据p4≈0.0039去解释这个方案的合理性呢？虽然离成功只有一步之遥，但这一步是何等的艰辛啊！
　　2.3 精读
　　其实就是对重要条件边读边分析[5].为了弄清楚这个方案是否合理，我们可以先来理解α和β，当α=0.5，β=0.8时，说明乙的治愈率明显高于甲的治愈率，所以总的来说，乙比甲更有效.为了理解p4的含义，我们可以先来理解p0：“甲药的累计得分为0时，最终认为甲药比乙药更有效的概率”，采用“特殊与一般的思想”理解p0：
　　从这样一个特殊的量表，甲得0分说明：在通过做若干次试验后，用甲的白鼠比用乙的白鼠治好的总数少4只.依据题目的规定立刻停止试验，并认为乙比甲更有效，用数学的语言表达为 “甲比乙更有效”的概率为0，所以p0=0.同理可以理解p8的含义.通过构建量表的过程，不难发现：当甲取4分时，乙也取4分，根据题目条件，甲乙胜败不确定，但是两种药最后一定要分出胜败，肯定也就产生胜败的概率，此时就出现了问题二中的一个重要命题：p4 表示“甲累计得4分时，最终认为甲比乙更有效”的概率，核心词是“最终”，也就是让我们根据甲取4分时，“推测”甲取胜的概率p4 .（我们能深刻地理解p4的含义其实用到了统计与概率的思想方法中“非确定性”的思维方式，3.2会重点给予解释.）
　　根据上面精读的过程，我们进行解释：当α=0.5，β=0.8 时，甲累计得4分时（此时乙累计也得4分），即甲乙两药得分相同的情况下，最后推测出甲比乙更有效的概率约为0.0039.换句话说，当甲的治愈率明显低于乙的治愈率时，这两种药物在相同的前提下开始进行试验，根据试验制定的规则最后认为甲更加有效果的概率是十分低的，也就是判断两种药物有效性出现的错误的概率非常低.因此从这个角度来看，这种试验方案是合理的.
　　3 提高数学阅读能力的途径
　　3.1 掌握概率统计的基本概念
　　为了准确的理解概率统计试题中的数学语言，学生必须掌握概率统计中的基本概念.我们可以从以下三个方面对概念进行梳理和整合[6].
　　3.1.1 随机事件的一般研究过程：
　　3.1.2 随机变量的一般研究过程：
　　
　　3.1.3 统计的一般研究过程：
　　
　　掌握以上基本概念为我们把实际问题转化为数学问题提供了关键依据，例如在2018年高考全国Ⅰ卷理数第20题中，通过“先从这箱产品中任取20件作检验”和“设每件产品为不合格品的概率都为p（0