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带电粒子在匀强电场中偏转问题的基本模型是带电粒子在一匀强电场中做类平抛运动，其解题策略是力的角度之位移和速度关系，能量关系分析讨论。本文分类剖析的是此基础上的拓展与延伸，即电场区域的合与分、带电粒子的合与分。
一、电场的合与分
1．电场组合型
例1如图1所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l¬0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
解析：（1）带电粒子在两分离的电场中两次偏转，运动轨迹具有对称性（是两抛物线的组合，非正余弦曲线），这是本题求解的关键。粒子的初位置不确定，末速度方向确定是分析的难点。
从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，
根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向(1)
y轴方向(2)
得：（3）
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时t，水平位移为x，
则（4）
若满足，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向（5）
解之得：（6）
即AC间y坐标为（n=1，2，3，……）（7）
点评：两个匀强电场相连或者相隔组合在一起，粒子的运动是分段运动，是直线运动与类平抛运动组合或者两类平抛运动组合，其联系点是速度，特别是速度的方向，其思维方法从轨迹的特征入手，结合对称性、逆向思维解题。
2．电场拆分型
例2如图2甲所示，边长为L的正方形区域ABCD内有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，与区域边界BC相距L处竖直放置足够大的荧光屏，荧光屏与AB延长线交于O点。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子从A点沿AB方向以一定的初速度进入电场，恰好从BC边的中点P飞出，不计粒子重力。
（1）求粒子进入电场前的初速度的大小？
（2）现将电场分成AEFD和EBCF相同的两部分，
并将EBCF向右平移一段距离x（x≤L），如图乙所
示。设粒子打在荧光屏上位置与O点相距y，请求出y与x的关系？
解析：（1）粒子在电场内做类平抛运动，水平方向：L=v0t
竖直方向：
得
（2）将EBCF向右平移一段距离x，粒子在电场中的
类平抛运动分成两部分，在无电场区域做匀速直线运动，
轨迹如图3所示，
点评：匀强电场一分为二，合分的关系是解题的突破点。将无电场区域间的匀速运动忽略，就还原为类平抛运动。再利用几何知识讨论匀速运动阶段。
二、粒子的合与分
1．两粒子合分的动量问题
例3如图4所示，匀强电场方向沿轴的正方向，场强为E。在A（d，0）点有一个静止的中性微粒，由于内部作用，某一时刻突然分裂成两个质量均为的带电微粒，其中电荷量为q的微粒1沿轴负方向运动，经过一段时间到达（0，－d）点。不计重力和分裂后两微粒间的作用。试求
（1）分裂时两个微粒各自的速度；
（2）当微粒1到达（0，－d）点时，电场力对微粒1做功的瞬间功率；
（3）当微粒1到达（0，－d）点时，两微粒间的距离。
解析：（1）微粒1在y方向不受力，做匀速直线运
动；在x方向由于受恒定的电场力，做匀加速直线运动。
所以微粒1做的是类平抛运动。
设微粒1分裂时的速度为v1，微粒2的速度为v2，
则有：在y方向上有-
在x方向上有，-，
根号外的负号表示沿y轴的负方向。
中性微粒分裂成两微粒时，遵守动量守恒定律，有
方向沿y正方向。
（2）设微粒1到达（0，-d）点时的速度为v，
则电场力做功的瞬时功率为
其中由运动学
所以
（3）两微粒的运动具有对称性，如图5所示，当微粒1到达（0，-d）点时发生的位移
则微粒1到达（0，-d）点时，两微粒间的距离为
点评：粒子的合与分，体现了微观粒子的动量特征，两个粒子的运动分别讨论。
2．两粒子的追碰问题
例4如图6所示，空间存在一竖直向下的匀强电场，电场强度为E，水平虚线是它的下边界，在此空间建立一个直角坐标系Oxy，其中y轴与电场平行。一质量为m，带电量为+q的粒子甲以初速度v0从O处平行于x轴飞入，飞行一段时间后从电场边界上的P点离开电场区。已知OP与x轴夹角为，且tan=0.5，不计粒子重力。则：
（1）试求带电粒子甲运动到P所用的时间t1；
（2）若另一相同的粒子乙从OP上的M点以水平速度v0/2出发，仍能到达P点，试确定M点的位置坐标（x，y）与P点（x0，y0）坐标的关系；
（3）若甲、乙两粒子同时出发，从甲粒子到达P点开始计时，求经过时间t，甲、乙两粒子之间的距离d。
解析：（1）OP与x轴夹角为为位移与水平夹角，注意区别速度的改变角，利用速度角的正切是位移角正切的2倍，有，，解得。
（2）甲粒子做类平抛运动，有，；
同理乙粒子有，；
联立解得：，。
（3）甲、乙两粒子飞出电场后均做匀速运动，分析题意可知乙先飞出电场时间，但飞出电场时甲粒子的速度，乙粒子的速度。
甲、乙两粒子在t时间内的位移分别是，。
若经过时间t，甲粒子在乙粒子前面，两粒子之间的距离；
若经过时间t，乙粒子在甲粒子前面，两粒子之间的距离。
点评：两粒子在同一电场运动，偏转时加速度相同，比较其位移、速度、偏转位移、偏转角，以等量关系为突破口。
总之，无论电场与粒子的合与分，分析偏转的力与能是求解的根本。
责任编辑李婷婷
一、电场的合与分
1．电场组合型
例1如图1所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l¬0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。不计粒子的重力及它们间的相互作用。
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
解析：（1）带电粒子在两分离的电场中两次偏转，运动轨迹具有对称性（是两抛物线的组合，非正余弦曲线），这是本题求解的关键。粒子的初位置不确定，末速度方向确定是分析的难点。
从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，
根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向(1)
y轴方向(2)
得：（3）
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时t，水平位移为x，
则（4）
若满足，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向（5）
解之得：（6）
即AC间y坐标为（n=1，2，3，……）（7）
点评：两个匀强电场相连或者相隔组合在一起，粒子的运动是分段运动，是直线运动与类平抛运动组合或者两类平抛运动组合，其联系点是速度，特别是速度的方向，其思维方法从轨迹的特征入手，结合对称性、逆向思维解题。
2．电场拆分型
例2如图2甲所示，边长为L的正方形区域ABCD内有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，与区域边界BC相距L处竖直放置足够大的荧光屏，荧光屏与AB延长线交于O点。现有一质量为m，电荷量为+q的粒子从A点沿AB方向以一定的初速度进入电场，恰好从BC边的中点P飞出，不计粒子重力。
（1）求粒子进入电场前的初速度的大小？
（2）现将电场分成AEFD和EBCF相同的两部分，
并将EBCF向右平移一段距离x（x≤L），如图乙所
示。设粒子打在荧光屏上位置与O点相距y，请求出y与x的关系？
解析：（1）粒子在电场内做类平抛运动，水平方向：L=v0t
竖直方向：
得
（2）将EBCF向右平移一段距离x，粒子在电场中的
类平抛运动分成两部分，在无电场区域做匀速直线运动，
轨迹如图3所示，
点评：匀强电场一分为二，合分的关系是解题的突破点。将无电场区域间的匀速运动忽略，就还原为类平抛运动。再利用几何知识讨论匀速运动阶段。
二、粒子的合与分
1．两粒子合分的动量问题
例3如图4所示，匀强电场方向沿轴的正方向，场强为E。在A（d，0）点有一个静止的中性微粒，由于内部作用，某一时刻突然分裂成两个质量均为的带电微粒，其中电荷量为q的微粒1沿轴负方向运动，经过一段时间到达（0，－d）点。不计重力和分裂后两微粒间的作用。试求
（1）分裂时两个微粒各自的速度；
（2）当微粒1到达（0，－d）点时，电场力对微粒1做功的瞬间功率；
（3）当微粒1到达（0，－d）点时，两微粒间的距离。
解析：（1）微粒1在y方向不受力，做匀速直线运
动；在x方向由于受恒定的电场力，做匀加速直线运动。
所以微粒1做的是类平抛运动。
设微粒1分裂时的速度为v1，微粒2的速度为v2，
则有：在y方向上有-
在x方向上有，-，
根号外的负号表示沿y轴的负方向。
中性微粒分裂成两微粒时，遵守动量守恒定律，有
方向沿y正方向。
（2）设微粒1到达（0，-d）点时的速度为v，
则电场力做功的瞬时功率为
其中由运动学
所以
（3）两微粒的运动具有对称性，如图5所示，当微粒1到达（0，-d）点时发生的位移
则微粒1到达（0，-d）点时，两微粒间的距离为
点评：粒子的合与分，体现了微观粒子的动量特征，两个粒子的运动分别讨论。
2．两粒子的追碰问题
例4如图6所示，空间存在一竖直向下的匀强电场，电场强度为E，水平虚线是它的下边界，在此空间建立一个直角坐标系Oxy，其中y轴与电场平行。一质量为m，带电量为+q的粒子甲以初速度v0从O处平行于x轴飞入，飞行一段时间后从电场边界上的P点离开电场区。已知OP与x轴夹角为，且tan=0.5，不计粒子重力。则：
（1）试求带电粒子甲运动到P所用的时间t1；
（2）若另一相同的粒子乙从OP上的M点以水平速度v0/2出发，仍能到达P点，试确定M点的位置坐标（x，y）与P点（x0，y0）坐标的关系；
（3）若甲、乙两粒子同时出发，从甲粒子到达P点开始计时，求经过时间t，甲、乙两粒子之间的距离d。
解析：（1）OP与x轴夹角为为位移与水平夹角，注意区别速度的改变角，利用速度角的正切是位移角正切的2倍，有，，解得。
（2）甲粒子做类平抛运动，有，；
同理乙粒子有，；
联立解得：，。
（3）甲、乙两粒子飞出电场后均做匀速运动，分析题意可知乙先飞出电场时间，但飞出电场时甲粒子的速度，乙粒子的速度。
甲、乙两粒子在t时间内的位移分别是，。
若经过时间t，甲粒子在乙粒子前面，两粒子之间的距离；
若经过时间t，乙粒子在甲粒子前面，两粒子之间的距离。
点评：两粒子在同一电场运动，偏转时加速度相同，比较其位移、速度、偏转位移、偏转角，以等量关系为突破口。
总之，无论电场与粒子的合与分，分析偏转的力与能是求解的根本。
责任编辑李婷婷