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【摘要】小学数学复习课以巩固整理、查漏补缺和发展提高为主要目标。除了使学生在复习中巩固、掌握基本知识与技能外，教师还可以从HPM视角出发，让学生参与到创造性活动中去，进一步积累数学活动经验，提高数学探究力，从而使复习课教学达到“无边界学习”的理想状态。
【关键词】复习课；探究力；HPM视角；“无边界学习”
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）52-0036-03
【作者简介】严兵，江苏省句容市实验小学（江苏句容，212400）副校长，一级教师。
数学探究力，是指学生在求索、质疑、检验的过程中形成和发展起来，并用于解决数学问题的个性心理特征。新课标提出数学教学活动“应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础……教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径”。作为一种积极的思维方式，数学反映了人们积极进取的意志、缜密的逻辑推理以及对完美境界的追求。作为文化的一部分，数学最根本的特征是它体现了一种探索精神。在被大多数教師忽视的复习课中，更要着力激活学生的思维，提高学生的数学探究力。
一、从“快递”到“自取”：引导学生学会探究
快捷、高效是物流业追求的服务标准，若应用于教育则弊端重重。很多教师为追求学生考高分，复习课以应试为中心，忽视了学生的创造与生成。
笔者一直致力于改变“快递式”复习的现状，倡导教师不做“分拣员”（代替学生整理知识体系），不当“送件员”（在学生面前匆匆丢下知识包裹）。教师应唤醒学生“自取式”复习的意识：创设情境让学生在活动中自主探索、整理、发现；灵活运用观察、对比、综合、分析来沟通知识之间的联系；重视在课堂上的有效指导，帮助学生主动经历数学知识的发生、发展与形成过程，帮助他们理解和掌握数学思想和方法；引导学生提出问题、深入思考、反复研究，并在收集、组织、创造、操作、交流的过程中，提高他们的观察、想象、思维和应用等能力……教师在开发复习课程时可以从HPM视角出发，在复习课中营造浓厚的探究氛围，使学生主动构建知识体系，从“学会知识”到“学会探究”，以期达到理想的复习状态。
二、HPM视角：关注儿童身上的数学生长史
德国生物学家海克尔认为：“儿童精神的发展不过是系统发生进化的一个简短复制。”法国数学家庞加莱说：“动物学家认为，动物胚胎的发育还在短暂的期间内，经过其祖先演化过程的一切地质年代而重演其历史，看来思维的发展亦复如此。教育工作者的任务，就是要使儿童思想的发展踏过前人的足迹，迅速地走过某些阶段。”在数学教学中，重演法则意味着学生学习数学在某种程度上将重演古人数学思考和探索的过程。1972年，在第二届国际数学教育大会上成立了数学史与数学教育之间的关系（History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）国际研究小组。
HPM视角下的小学数学教学既不能照搬高校的研究成果，也不是将数学家的故事、历史名题等简单地融入课堂。可以说，儿童学习数学的过程对应着历史上漫长的数学发展初期，每个儿童的数学学习过程又是一部丰富的、个性化的数学生长史。因此，HPM视角下的小学数学教学要注重两点：一是关注“快闪式”重演的过程。越初始的数学历时越漫长，如负数的产生就经过了数千年的时间，要在简短的时间内重演如此漫长的过程，就要为儿童创设HPM视角下全新的问题情境，引领儿童在现实情境下“快闪式”重演古人思考与探索的过程。二是定位在儿童视角。研究HPM视角下的小学数学教学，教师必须把目光聚焦在儿童身上，用儿童的眼光发现问题，从儿童的实践与思考中挖掘他们身上的数学生长过程，让他们在愉悦的探究中发展自己的数学生长史，在反思自己成长的过程中加深对数学的理解，从而提升数学探究力。
三、HPM视角下复习课的实践反思
在以往的研究中，笔者提出了小学数学“无边界学习”的理念：倡导生活与经验、游戏与学习、预设与生成的无边界，倡导师生关系、课程资源、学科以及目标评价的无边界。小学数学复习课是“无边界学习”的重要领域，教师要引导学生追问数学的发展历程，追溯数学的内涵、逻辑思维方式的衍化和发展过程。师生应站在现代数学的成果上，从源头厘清数学的发展规律、认清它的逻辑思维方式，使学生更好地理解数学。教师可以从HPM视角对复习内容进行创新设计，在提升学生探究力的同时提高其数学素养。
1.探究中促进理解。
复习苏教版五下《分数的意义》，在让学生说涂色部分用什么分数表示时，笔者故意给学生一组没有平均分的图形，促使他们先去平均分，再数一数总份数和涂色部分所占的份数，使他们深刻地理解“平均分”的必要性、单位“1”的含义以及“分数分数，先分后数”的意义。
教学中，教师让学生拿一根长80cm的线去测量课桌面的宽（40cm）与长（60cm），学生主动探索，用对折一次后的绳子去量宽，用对折两次后的绳子去量长，得出宽与长分别是绳长的■和■。学生在探索中懂得了分数与分数单位产生于度量的需要，从HPM视角体验到了“量起源于量”的含义。
学生在理解分数意义时出现障碍是数学发展过程中所经历困难的“再现”。在HPM视角下，教师可以选择与学生生活实践相关的内容进行渗透，以现实情境展示数学发展史，让他们主动探索结论，去经历历史上数学家曾经历的测量、计量等过程，这样能更好地在学生脑海中建立知识点之间、数学与生活之间的联系，使他们更深刻地理解分数的意义。
2.探究中聚焦问题。
学生从一年级就开始学习用直线上的点来表示数，但一直没有形成完整的认识，在“数与代数”总复习时，学生心中仍有许多疑问：如何用直线上的点表示出所学过的每个数？直线上的点有无数个，是不是每个点都与某个数相对应？是不是一个点对应一个唯一的数？……教师激起学生的探究兴趣后，引导他们提出数学问题并交流讨论，使学生在脑中产生并逐步丰富数轴这一数学模型，同时复习了数的分类与意义。 复习课教师结合学生逐步丰满的数轴学习史，提升了学生的几何直观能力，渗透了数形结合思想，使其对数的认识更加丰富完整。课堂上师生关系无边界，教师作为引导者、合作者，激励学生提出问题、交流讨论，使其获得了许多新的发现。
3.探究中引发猜想。
学过苏教版五上《钉子板上的多边形》后，一些学生很快便忘记了结论。复习时，教师可以先根据表格，引导学生大胆猜测多边形的面积与什么有关。学生各抒己见：有的说与多边形边上的钉子数有关，有的说与多边形内部的钉子数有关，还有学生猜想和两者都有关系……猜想激发了学生的探究热情，他们开始主动交流见解：有的图形面积大，经过的钉子数却不多；并不是内部的钉子数越多面积就越大；有三个图形边上的钉子数相同，但面积不同；有两个图形内部钉子数与边上钉子数一样，面积也一样……教师继续引导：如何才能研究出多边形的面积与钉子数的关系？学生纷纷表示需要分类研究。
对学生而言，能否发现规律其实并不重要，得出结论更不是终极追求，让他们经历提出猜想、探索发现、验证反思的完整的探究过程才是真正有意義、有价值的。数学正是在猜想、出错中发展的，猜想对学生提高探究力、理解数学内容和思想方法有极大的帮助，可见，教师抓住适当的、有价值的数学问题是多么重要的事情。美籍匈牙利数学家波利亚认为：“教师不但要教学生运用演绎思维证明问题，而且要教学生猜测问题，既要教正规的演绎推理，又要教非正规的合情推理。”在HPM视角下，复习课要培养学生的探究能力，可以选取合适的内容，采用让学生自己发现的方法来教学，引导学生利用教师提供的材料提出研究题目，像数学家那样，亲自去发现所要学习的结论，认识数学的本源与特质。此时，教师向学生呈现的不仅是明确的数学知识，更多的是知识的创造过程，师生之间创造出一种无边界的、双向的探索与研究的氛围。
4.探究中强调实践。
为了激发学生的学习热情和主动探究精神，鼓励学生与同伴合作并交流自己的想法，在总复习时，笔者带领学生进行“黄金比”知识的探索。课上，学生通过发现、感悟、尝试、创造等一系列活动，对黄金分割有了丰富的、多元的了解，通过探索自主设计出了黄金矩形，又从花瓣数中发现了斐波那契数列。课快结束时，笔者拿出一段枝叶，说：“同学们，你们把自己想象成太阳，从茎的顶端向下看，会发现第一层和第二层的两片叶子之间的角度大约是137.5°，第二层和第三层，第三层和第四层……每两层叶子之间都是这个角度，这是什么原因呢？课后去破译这个密码吧。”正如黑格尔所说：“数学是上帝描述自然的符号。”把数学上升到哲学的高度，不仅给学生带来了探究热情，还留下了无尽的遐想。
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，教师应引导学生主动开展观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。每学期安排数次动手操作能力复习与考核，如测量学校操场面积、设计旅游计划、测量大树高度、画出大蒜生长高度随时间变化的统计图等，这些动手操作作业需要学生在数学思维的积极参与下，在特定的环境中进行探索、研究活动，让学生在实验与操作过程中和数学家一样，更深刻地去探究数学。
5.探究中重视创造。
复习“正比例图像”时，笔者以“乌鸦喝水”的故事为例，引导学生描述函数图像、读懂函数图像。在故事中，假设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，如图1所示的函数图像，哪个最符合故事情景？
（图1）
引导学生探究后，他们发表见解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，排除C；乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，排除A；乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，排除B。学生对D的解释是：刚开始水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明在沉思的这段时间内水位没有变化。乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升，乌鸦放石子越来越熟练，加上瓶口较细，上升加快。水面快满的时候，乌鸦开始喝水，一直到喝不到为止，乌鸦喝水后的水位应高于一开始的水位……学生甚至能改编故事，画出不同的动态图，如有位学生画出图2，他的解释是：乌鸦迫不及待地要喝水，水位每上升一点就喝一点，水不够喝时就往瓶中丢小石子，如此循环直到喝不到为止。
这就是儿童的数学探究过程，也是儿童数学生长史的展现。儿童的数学生长过程与数学家不同，儿童就是儿童，教师要抓住儿童的特点来促进其生长，既要创设新奇刺激、亲切有趣的情境，又要让他们感受到图像中蕴含的信息，从熟悉的现实情境中理解问题并完成抽象、创造过程。
数学知识的习得都会经历观察、实验、交流、分析、综合、推理、总结等过程，教师应注重诱发学生探究学习的内在动力，引导学生学会思考、积极探索。在开发复习课程时，教师可以从HPM视角出发，着力创设有吸引力、真实、切合儿童实际需要又符合知识产生、发展规律和顺序的探究性学习情境。在HPM视角下，学生进行探究性学习时，教师应对某一概念或体系形成的关键点进行引导，让学生经历关键的探究活动，经历思维原过程，同时进行适当的指导，不断丰富学生的学习内容，增加学生对数学的兴趣，使他们在探索交流的过程中获得知识。这对培养学生不畏困难、勇往直前的探索精神有着不可忽视的作用，可使数学复习课的“无边界学习”更加生动且富有感染力。
【参考文献】
[1]杜永宁.基于数学文化的小学数学课堂教学策略[J].科学咨询，2010（11）
[2]王万先，谭世康.略谈数学史与创新精神的培养[J].科教导刊，2010（27）.
[3]汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报，2006（1）.
注：本文获2015年江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖，有删改。
【关键词】复习课；探究力；HPM视角；“无边界学习”
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）52-0036-03
【作者简介】严兵，江苏省句容市实验小学（江苏句容，212400）副校长，一级教师。
数学探究力，是指学生在求索、质疑、检验的过程中形成和发展起来，并用于解决数学问题的个性心理特征。新课标提出数学教学活动“应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础……教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径”。作为一种积极的思维方式，数学反映了人们积极进取的意志、缜密的逻辑推理以及对完美境界的追求。作为文化的一部分，数学最根本的特征是它体现了一种探索精神。在被大多数教師忽视的复习课中，更要着力激活学生的思维，提高学生的数学探究力。
一、从“快递”到“自取”：引导学生学会探究
快捷、高效是物流业追求的服务标准，若应用于教育则弊端重重。很多教师为追求学生考高分，复习课以应试为中心，忽视了学生的创造与生成。
笔者一直致力于改变“快递式”复习的现状，倡导教师不做“分拣员”（代替学生整理知识体系），不当“送件员”（在学生面前匆匆丢下知识包裹）。教师应唤醒学生“自取式”复习的意识：创设情境让学生在活动中自主探索、整理、发现；灵活运用观察、对比、综合、分析来沟通知识之间的联系；重视在课堂上的有效指导，帮助学生主动经历数学知识的发生、发展与形成过程，帮助他们理解和掌握数学思想和方法；引导学生提出问题、深入思考、反复研究，并在收集、组织、创造、操作、交流的过程中，提高他们的观察、想象、思维和应用等能力……教师在开发复习课程时可以从HPM视角出发，在复习课中营造浓厚的探究氛围，使学生主动构建知识体系，从“学会知识”到“学会探究”，以期达到理想的复习状态。
二、HPM视角：关注儿童身上的数学生长史
德国生物学家海克尔认为：“儿童精神的发展不过是系统发生进化的一个简短复制。”法国数学家庞加莱说：“动物学家认为，动物胚胎的发育还在短暂的期间内，经过其祖先演化过程的一切地质年代而重演其历史，看来思维的发展亦复如此。教育工作者的任务，就是要使儿童思想的发展踏过前人的足迹，迅速地走过某些阶段。”在数学教学中，重演法则意味着学生学习数学在某种程度上将重演古人数学思考和探索的过程。1972年，在第二届国际数学教育大会上成立了数学史与数学教育之间的关系（History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）国际研究小组。
HPM视角下的小学数学教学既不能照搬高校的研究成果，也不是将数学家的故事、历史名题等简单地融入课堂。可以说，儿童学习数学的过程对应着历史上漫长的数学发展初期，每个儿童的数学学习过程又是一部丰富的、个性化的数学生长史。因此，HPM视角下的小学数学教学要注重两点：一是关注“快闪式”重演的过程。越初始的数学历时越漫长，如负数的产生就经过了数千年的时间，要在简短的时间内重演如此漫长的过程，就要为儿童创设HPM视角下全新的问题情境，引领儿童在现实情境下“快闪式”重演古人思考与探索的过程。二是定位在儿童视角。研究HPM视角下的小学数学教学，教师必须把目光聚焦在儿童身上，用儿童的眼光发现问题，从儿童的实践与思考中挖掘他们身上的数学生长过程，让他们在愉悦的探究中发展自己的数学生长史，在反思自己成长的过程中加深对数学的理解，从而提升数学探究力。
三、HPM视角下复习课的实践反思
在以往的研究中，笔者提出了小学数学“无边界学习”的理念：倡导生活与经验、游戏与学习、预设与生成的无边界，倡导师生关系、课程资源、学科以及目标评价的无边界。小学数学复习课是“无边界学习”的重要领域，教师要引导学生追问数学的发展历程，追溯数学的内涵、逻辑思维方式的衍化和发展过程。师生应站在现代数学的成果上，从源头厘清数学的发展规律、认清它的逻辑思维方式，使学生更好地理解数学。教师可以从HPM视角对复习内容进行创新设计，在提升学生探究力的同时提高其数学素养。
1.探究中促进理解。
复习苏教版五下《分数的意义》，在让学生说涂色部分用什么分数表示时，笔者故意给学生一组没有平均分的图形，促使他们先去平均分，再数一数总份数和涂色部分所占的份数，使他们深刻地理解“平均分”的必要性、单位“1”的含义以及“分数分数，先分后数”的意义。
教学中，教师让学生拿一根长80cm的线去测量课桌面的宽（40cm）与长（60cm），学生主动探索，用对折一次后的绳子去量宽，用对折两次后的绳子去量长，得出宽与长分别是绳长的■和■。学生在探索中懂得了分数与分数单位产生于度量的需要，从HPM视角体验到了“量起源于量”的含义。
学生在理解分数意义时出现障碍是数学发展过程中所经历困难的“再现”。在HPM视角下，教师可以选择与学生生活实践相关的内容进行渗透，以现实情境展示数学发展史，让他们主动探索结论，去经历历史上数学家曾经历的测量、计量等过程，这样能更好地在学生脑海中建立知识点之间、数学与生活之间的联系，使他们更深刻地理解分数的意义。
2.探究中聚焦问题。
学生从一年级就开始学习用直线上的点来表示数，但一直没有形成完整的认识，在“数与代数”总复习时，学生心中仍有许多疑问：如何用直线上的点表示出所学过的每个数？直线上的点有无数个，是不是每个点都与某个数相对应？是不是一个点对应一个唯一的数？……教师激起学生的探究兴趣后，引导他们提出数学问题并交流讨论，使学生在脑中产生并逐步丰富数轴这一数学模型，同时复习了数的分类与意义。 复习课教师结合学生逐步丰满的数轴学习史，提升了学生的几何直观能力，渗透了数形结合思想，使其对数的认识更加丰富完整。课堂上师生关系无边界，教师作为引导者、合作者，激励学生提出问题、交流讨论，使其获得了许多新的发现。
3.探究中引发猜想。
学过苏教版五上《钉子板上的多边形》后，一些学生很快便忘记了结论。复习时，教师可以先根据表格，引导学生大胆猜测多边形的面积与什么有关。学生各抒己见：有的说与多边形边上的钉子数有关，有的说与多边形内部的钉子数有关，还有学生猜想和两者都有关系……猜想激发了学生的探究热情，他们开始主动交流见解：有的图形面积大，经过的钉子数却不多；并不是内部的钉子数越多面积就越大；有三个图形边上的钉子数相同，但面积不同；有两个图形内部钉子数与边上钉子数一样，面积也一样……教师继续引导：如何才能研究出多边形的面积与钉子数的关系？学生纷纷表示需要分类研究。
对学生而言，能否发现规律其实并不重要，得出结论更不是终极追求，让他们经历提出猜想、探索发现、验证反思的完整的探究过程才是真正有意義、有价值的。数学正是在猜想、出错中发展的，猜想对学生提高探究力、理解数学内容和思想方法有极大的帮助，可见，教师抓住适当的、有价值的数学问题是多么重要的事情。美籍匈牙利数学家波利亚认为：“教师不但要教学生运用演绎思维证明问题，而且要教学生猜测问题，既要教正规的演绎推理，又要教非正规的合情推理。”在HPM视角下，复习课要培养学生的探究能力，可以选取合适的内容，采用让学生自己发现的方法来教学，引导学生利用教师提供的材料提出研究题目，像数学家那样，亲自去发现所要学习的结论，认识数学的本源与特质。此时，教师向学生呈现的不仅是明确的数学知识，更多的是知识的创造过程，师生之间创造出一种无边界的、双向的探索与研究的氛围。
4.探究中强调实践。
为了激发学生的学习热情和主动探究精神，鼓励学生与同伴合作并交流自己的想法，在总复习时，笔者带领学生进行“黄金比”知识的探索。课上，学生通过发现、感悟、尝试、创造等一系列活动，对黄金分割有了丰富的、多元的了解，通过探索自主设计出了黄金矩形，又从花瓣数中发现了斐波那契数列。课快结束时，笔者拿出一段枝叶，说：“同学们，你们把自己想象成太阳，从茎的顶端向下看，会发现第一层和第二层的两片叶子之间的角度大约是137.5°，第二层和第三层，第三层和第四层……每两层叶子之间都是这个角度，这是什么原因呢？课后去破译这个密码吧。”正如黑格尔所说：“数学是上帝描述自然的符号。”把数学上升到哲学的高度，不仅给学生带来了探究热情，还留下了无尽的遐想。
动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，教师应引导学生主动开展观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。每学期安排数次动手操作能力复习与考核，如测量学校操场面积、设计旅游计划、测量大树高度、画出大蒜生长高度随时间变化的统计图等，这些动手操作作业需要学生在数学思维的积极参与下，在特定的环境中进行探索、研究活动，让学生在实验与操作过程中和数学家一样，更深刻地去探究数学。
5.探究中重视创造。
复习“正比例图像”时，笔者以“乌鸦喝水”的故事为例，引导学生描述函数图像、读懂函数图像。在故事中，假设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，如图1所示的函数图像，哪个最符合故事情景？
（图1）
引导学生探究后，他们发表见解：乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，排除C；乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，排除A；乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，排除B。学生对D的解释是：刚开始水位较低，乌鸦沉思一会后才想出办法，说明在沉思的这段时间内水位没有变化。乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升，乌鸦放石子越来越熟练，加上瓶口较细，上升加快。水面快满的时候，乌鸦开始喝水，一直到喝不到为止，乌鸦喝水后的水位应高于一开始的水位……学生甚至能改编故事，画出不同的动态图，如有位学生画出图2，他的解释是：乌鸦迫不及待地要喝水，水位每上升一点就喝一点，水不够喝时就往瓶中丢小石子，如此循环直到喝不到为止。
这就是儿童的数学探究过程，也是儿童数学生长史的展现。儿童的数学生长过程与数学家不同，儿童就是儿童，教师要抓住儿童的特点来促进其生长，既要创设新奇刺激、亲切有趣的情境，又要让他们感受到图像中蕴含的信息，从熟悉的现实情境中理解问题并完成抽象、创造过程。
数学知识的习得都会经历观察、实验、交流、分析、综合、推理、总结等过程，教师应注重诱发学生探究学习的内在动力，引导学生学会思考、积极探索。在开发复习课程时，教师可以从HPM视角出发，着力创设有吸引力、真实、切合儿童实际需要又符合知识产生、发展规律和顺序的探究性学习情境。在HPM视角下，学生进行探究性学习时，教师应对某一概念或体系形成的关键点进行引导，让学生经历关键的探究活动，经历思维原过程，同时进行适当的指导，不断丰富学生的学习内容，增加学生对数学的兴趣，使他们在探索交流的过程中获得知识。这对培养学生不畏困难、勇往直前的探索精神有着不可忽视的作用，可使数学复习课的“无边界学习”更加生动且富有感染力。
【参考文献】
[1]杜永宁.基于数学文化的小学数学课堂教学策略[J].科学咨询，2010（11）
[2]王万先，谭世康.略谈数学史与创新精神的培养[J].科教导刊，2010（27）.
[3]汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报，2006（1）.
注：本文获2015年江苏省“教海探航”征文竞赛一等奖，有删改。