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摘 要：概念教学是中学数学教学的一项基本内容，数学概念是解决数学问题的基础和依据。CPFS结构是由概念域、概念系、命题域、命题系组成。在数学教学中，教师应当从多角度揭示概念的意义，使学生形成完整的概念域；梳理知识体系形成概念系；加强概念的应用这三个方面完善学生的CPFS结构。
关键词：数学概念；CPFS结构；数学教学
概念教学是中学数学教学的一项基本内容。数学概念是解决数学问题的基础和依据。喻平等人提出的CPFS结构是由概念域、概念系、命题域、命题系组成，它是数学学习特有的优良认知结构，能够帮助学生建构起完备的数学知识网络体系，各知识点（概念、命题）在这个网络中处于一定位置，知识点之间具有等值抽象关系、强抽象关系、弱抽象关系或广义抽象关系。良好的CPFS结构有助于学生对数学概念的理解与应用。形成概念域和概念系是数学概念学习的一个本质特征。在数学概念教学中，教师应当从以下三个方面来完善学生的CPFS结构。
一、多角度揭示概念的意义
一个概念的一组等价定义的图式叫概念域。在数学教学中，教师应当从多种背景、不同侧面去揭示概念的内涵，帮助学生构建完整的概念域。
例1 在“集合”概念的教学设计中，可以从以下实际出发，让学生通过观察、讨论、概括理解集合的意义，从而总结出集合的概念。
例2 “函数”概念的认识。一个概念有多种定义，而这些定义又是彼此等价的，他们从不同侧面刻画了同一个概念的本质。在教学中，教师要引导学生从不同侧面去认识概念，全面把握概念的本质。
例3 “等差数列”概念
侧面1：对于数列{an}，若an+1-an=d，其中d为常数，n∈N，n≥1，则称数列{an}为等差数列。
侧面2：对于数列{an}，若an+1-an=an-an-1， n∈N，n≥2，则称数列{an}为等差数列。
侧面3：对于数列{an}，若an=a1+（n-1）d，其中d为常数，n∈N，n≥2，则称数列{an}为等差数列。
侧面4：对于数列{an}，若an=am+（n-m）d，其中d为常数，n∈N，n≥2，则称数列{an}为等差数列。
二、梳理知识体系，概括概念体系
概念域的形成是针对某个特定概念而言的，而一组概念形成的是概念系，这一组中每个概念之间都存在一些特定的数学抽象关系。概念系的形成依托于客观知识自身的结构，因此，教师要经常性地梳理知识体系，概括知识结构，有效引导学生自觉、独立地建立概念系。概念图是建立概念网络的一种有效方法，即将每一个概念在平面上用一个点对应地表示，然后用有向线段把有关系的点联结起来。用双箭头表示等价概念，单向箭头和“+”号表示强抽象关系，单向箭头和“-”号则表示弱抽象关系。
例4 “函数”的概念系是下面概念网络的图式
记A：映射；B：函数；C：函数的奇偶性；D：函数的单调性；E：一元一次函数；F：一元二次函数；G：一次函数y=kx+b；H：二次函数y=ax2+bx+c；I：直线；J：抛物线；K：二元一次方程Ax+Bx+C=0（A，B不同时为0）；L：二元一次不等式Ax+Bx+C≥0。
三、加强概念的应用
概念域和概念系的形成主要是在概念的应用中完成的。概念应用有低层次应用和高层次应用。低层次应用是知觉水平的应用，它是指学生学习一个概念后，当遇到这个概念的特例时，能够把它作为概念的具体例子加以识别。思维水平的应用是高层次应用，是指将概念用于解决问题。由于问题解决涉及的概念、命题较多，因此概念在思维水平上的应用就是一个比较复杂的过程，它需要学生选择和提取相关的概念和命题，并将其与当前问题联系起来，经过一定数量的解题训练，把这些经验内化为概念域和概念系。
例5 ① 求函数的定义域 ② 求函数的定义域
问题①中只涉及求含有偶次根式的函数的定义域，只需令x-1≥0即可，因而是概念在知觉水平上的应用。问题②中还需要用到根式的有关概念和性质，属于概念在思维水平上的应用。教师在教学中，要积极为学生应用知识创设良好的环境，使学生在应用概念的过程中理解概念之间的关系，从而形成正确的概念域和概念系。
参考文献：
喻平. 数学概念学习刍议[J]. 课程·教材·教法，1995（4）：30-32.
关键词：数学概念；CPFS结构；数学教学
概念教学是中学数学教学的一项基本内容。数学概念是解决数学问题的基础和依据。喻平等人提出的CPFS结构是由概念域、概念系、命题域、命题系组成，它是数学学习特有的优良认知结构，能够帮助学生建构起完备的数学知识网络体系，各知识点（概念、命题）在这个网络中处于一定位置，知识点之间具有等值抽象关系、强抽象关系、弱抽象关系或广义抽象关系。良好的CPFS结构有助于学生对数学概念的理解与应用。形成概念域和概念系是数学概念学习的一个本质特征。在数学概念教学中，教师应当从以下三个方面来完善学生的CPFS结构。
一、多角度揭示概念的意义
一个概念的一组等价定义的图式叫概念域。在数学教学中，教师应当从多种背景、不同侧面去揭示概念的内涵，帮助学生构建完整的概念域。
例1 在“集合”概念的教学设计中，可以从以下实际出发，让学生通过观察、讨论、概括理解集合的意义，从而总结出集合的概念。
例2 “函数”概念的认识。一个概念有多种定义，而这些定义又是彼此等价的，他们从不同侧面刻画了同一个概念的本质。在教学中，教师要引导学生从不同侧面去认识概念，全面把握概念的本质。
例3 “等差数列”概念
侧面1：对于数列{an}，若an+1-an=d，其中d为常数，n∈N，n≥1，则称数列{an}为等差数列。
侧面2：对于数列{an}，若an+1-an=an-an-1， n∈N，n≥2，则称数列{an}为等差数列。
侧面3：对于数列{an}，若an=a1+（n-1）d，其中d为常数，n∈N，n≥2，则称数列{an}为等差数列。
侧面4：对于数列{an}，若an=am+（n-m）d，其中d为常数，n∈N，n≥2，则称数列{an}为等差数列。
二、梳理知识体系，概括概念体系
概念域的形成是针对某个特定概念而言的，而一组概念形成的是概念系，这一组中每个概念之间都存在一些特定的数学抽象关系。概念系的形成依托于客观知识自身的结构，因此，教师要经常性地梳理知识体系，概括知识结构，有效引导学生自觉、独立地建立概念系。概念图是建立概念网络的一种有效方法，即将每一个概念在平面上用一个点对应地表示，然后用有向线段把有关系的点联结起来。用双箭头表示等价概念，单向箭头和“+”号表示强抽象关系，单向箭头和“-”号则表示弱抽象关系。
例4 “函数”的概念系是下面概念网络的图式
记A：映射；B：函数；C：函数的奇偶性；D：函数的单调性；E：一元一次函数；F：一元二次函数；G：一次函数y=kx+b；H：二次函数y=ax2+bx+c；I：直线；J：抛物线；K：二元一次方程Ax+Bx+C=0（A，B不同时为0）；L：二元一次不等式Ax+Bx+C≥0。
三、加强概念的应用
概念域和概念系的形成主要是在概念的应用中完成的。概念应用有低层次应用和高层次应用。低层次应用是知觉水平的应用，它是指学生学习一个概念后，当遇到这个概念的特例时，能够把它作为概念的具体例子加以识别。思维水平的应用是高层次应用，是指将概念用于解决问题。由于问题解决涉及的概念、命题较多，因此概念在思维水平上的应用就是一个比较复杂的过程，它需要学生选择和提取相关的概念和命题，并将其与当前问题联系起来，经过一定数量的解题训练，把这些经验内化为概念域和概念系。
例5 ① 求函数的定义域 ② 求函数的定义域
问题①中只涉及求含有偶次根式的函数的定义域，只需令x-1≥0即可，因而是概念在知觉水平上的应用。问题②中还需要用到根式的有关概念和性质，属于概念在思维水平上的应用。教师在教学中，要积极为学生应用知识创设良好的环境，使学生在应用概念的过程中理解概念之间的关系，从而形成正确的概念域和概念系。
参考文献：
喻平. 数学概念学习刍议[J]. 课程·教材·教法，1995（4）：30-32.