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古人先认识到不等关系,而后才认识到相等有关系.
在长期狩猎与分配猎物的过程中,古人自然产生了“有”和“无”之别,又逐步形成了“多”和“少”之分,后从“有”中理解到“1”和“多”的含义.有些原始部落认识到“1、2”和“多”的区别,把大于3的数看为“一群”或“一堆”.故可猜测古人知道,三只羊比两只羊多.同学们知道,对于任意两个实数a、b,它们存在着三种可能关系:a=b,a>b,a 相等关系仅仅是其中一种(呈现在数轴上是同一个点),故自然界充斥着大量的不等关系,犹如方程与方程组是研究等量关系的重要工具一样,不等式与不等式组是研究不等关系的重要工具.
1.欧几里得与不等关系.
虽然古希腊的毕达哥拉斯学派曾研究了若干自然数的性质,但其对数字之间的比较关系关注还较少.关于不等关系的确切表述和应用最早出现在欧几里得所撰《原本》之中,他采用不等关系给出了一些定义,并论证了若干命题.在第一卷采用不等关系定义了钝角和锐角.
定义11:大于直角的角称钝角,
定义12:小于直角的角称锐角,
而在第五卷,欧几里得定义了度量线段的部分和倍量,
定义1:当一个较小量能量尽一个较大量时,则称较小量为较大量的一部分,
定义2:当一个较大量能被一个较小量量尽时,则称较大量为较小量的倍量,
欧几里得在《原本》中,论证了若干不等关系,从第一卷中几个不等关系,同学们可略见一斑,
命题3:已知两条不等线段,试从较长线段上截取一条线段等于较短线段.
以较长线段某个端点为圆心,以较短线段为半径作网,利用所有圆半径相等可轻松在较长线段上截取较短线段.此命题是线段比较长短的基础.也许同学们感觉此命题无须证明,然而几何学的严密性恰恰要求证明,如欧几里得所言,直觉是不可靠的.我们需要能够证明一切,公理化理论正源于此,
命题16:在任意三角形中,若延长某边得到一外角,则外角大于任一不相邻内角,
命题17:在任意三角形中,任意两角之和小于两直角之和.
命题18:在任意三角形中,大边对大角.
命题19:在任意三角形中,大角对大边.
命题18和命题19是姊妹命题,前者应用命题16证得,后者利用反证法得到.在此基础上,欧几里得推出三角形中的重要命题20.
命题20:在任意三角形中,任意两边之和大于第三边.
其证明中还应用了公理5:整体大于部分.类似地,同学们可证:在任意三角形中,任意两边之差小于第三边.
2.阿基米德与不等关系.
比欧几里得稍晚一些的阿基米德(公元前287-前212),更是认识到了不等关系的重要性,在其著作《论球与圆柱》之中推证球体积公式时,利用了不等关系的一些结论.
直到6世纪,欧多修斯在对阿基米德的《论球与圆柱》注释之中才证明了此命题,
需要说明的是,由于当时尚未创立相关数学符号,其推证过程显得较为复杂.不过借助欧多修斯的思路,可以获得重要不等式:
3.不等号的由来.
不等关系的频频出现,自然引起了数学家的关注,他们试图采用简洁的符号来表示.现在使用的“<”“>”是英国数学家哈里奥特(1560-1621)创立并最早建议使用的.
哈里奥特是英国代数学派的奠基人,其遗著《实用分析学》于1631年出版,该书在韦达研究的基础上,主要讨论了代数方程相关理论.哈里奥特写道:
大于记号:a>b表示a量大于b量;
小于记号:a 这对符号简洁优美,突出了相反的特征,很快就得到一些学者的认可和赞许.按照以出版时间为准的国际惯例,不等号应该算是诞生于1631年,然而此时哈里奥特已经逝世10年了,故可以推测不等号至少应是在1621年前创立的.
第一个把等号和不等号联合组成新符号“≥”“《”者,应是法国数学家布格尔(1698-1758).布格尔之父是水文学家和数学家.1730年布格尔成为勒阿弗尔的水文学教授,布格尔还发明了测日计来测量太阳及其他发光体的光强.布格尔在其著作中首创不严格不等号,但他未充分认识到其重要性,直到被德国数学家哥德巴赫(1690-1764)发现.哥德巴赫于1734年1月写信给欧拉(1707-1783),并告知此事,欧拉立刻给予肯定,称赞这对符号既保持了等号和不等号双重关系,还如此简洁优美.故现在把符号“≥”“≤”的创立时间确定为1734年.至18世纪初哈里奥特所创立的严格不等号也被广泛使用起来.
同学们现在使用的不等号,是清末数学家李善兰(1811-1882)首先引进的.1852-1859年,李善兰与英国传教士伟烈亚力(1815-1887)等合译出版了《几何原本》后九卷及《代数学》《代微积拾级》等,这是西方近代科学著作传人中国的开端,其中李善兰引进了西方大量数学符号,同时还创译了许多科学名词,如“数轴”“函数”“代数”等,已沿用至今,实谓匠心独具.
不等关系在我们日常生活中经常出现,如“大与小”“长与短”“高与矮”“优与劣”“胖与瘦”等.而在数轴上,显然右边的点对应的数永远大于左边的点对应的数,只要同学们留意身边的事情.就会发现很多不等关系.
在长期狩猎与分配猎物的过程中,古人自然产生了“有”和“无”之别,又逐步形成了“多”和“少”之分,后从“有”中理解到“1”和“多”的含义.有些原始部落认识到“1、2”和“多”的区别,把大于3的数看为“一群”或“一堆”.故可猜测古人知道,三只羊比两只羊多.同学们知道,对于任意两个实数a、b,它们存在着三种可能关系:a=b,a>b,a
1.欧几里得与不等关系.
虽然古希腊的毕达哥拉斯学派曾研究了若干自然数的性质,但其对数字之间的比较关系关注还较少.关于不等关系的确切表述和应用最早出现在欧几里得所撰《原本》之中,他采用不等关系给出了一些定义,并论证了若干命题.在第一卷采用不等关系定义了钝角和锐角.
定义11:大于直角的角称钝角,
定义12:小于直角的角称锐角,
而在第五卷,欧几里得定义了度量线段的部分和倍量,
定义1:当一个较小量能量尽一个较大量时,则称较小量为较大量的一部分,
定义2:当一个较大量能被一个较小量量尽时,则称较大量为较小量的倍量,
欧几里得在《原本》中,论证了若干不等关系,从第一卷中几个不等关系,同学们可略见一斑,
命题3:已知两条不等线段,试从较长线段上截取一条线段等于较短线段.
以较长线段某个端点为圆心,以较短线段为半径作网,利用所有圆半径相等可轻松在较长线段上截取较短线段.此命题是线段比较长短的基础.也许同学们感觉此命题无须证明,然而几何学的严密性恰恰要求证明,如欧几里得所言,直觉是不可靠的.我们需要能够证明一切,公理化理论正源于此,
命题16:在任意三角形中,若延长某边得到一外角,则外角大于任一不相邻内角,
命题17:在任意三角形中,任意两角之和小于两直角之和.
命题18:在任意三角形中,大边对大角.
命题19:在任意三角形中,大角对大边.
命题18和命题19是姊妹命题,前者应用命题16证得,后者利用反证法得到.在此基础上,欧几里得推出三角形中的重要命题20.
命题20:在任意三角形中,任意两边之和大于第三边.
其证明中还应用了公理5:整体大于部分.类似地,同学们可证:在任意三角形中,任意两边之差小于第三边.
2.阿基米德与不等关系.
比欧几里得稍晚一些的阿基米德(公元前287-前212),更是认识到了不等关系的重要性,在其著作《论球与圆柱》之中推证球体积公式时,利用了不等关系的一些结论.
直到6世纪,欧多修斯在对阿基米德的《论球与圆柱》注释之中才证明了此命题,
需要说明的是,由于当时尚未创立相关数学符号,其推证过程显得较为复杂.不过借助欧多修斯的思路,可以获得重要不等式:
3.不等号的由来.
不等关系的频频出现,自然引起了数学家的关注,他们试图采用简洁的符号来表示.现在使用的“<”“>”是英国数学家哈里奥特(1560-1621)创立并最早建议使用的.
哈里奥特是英国代数学派的奠基人,其遗著《实用分析学》于1631年出版,该书在韦达研究的基础上,主要讨论了代数方程相关理论.哈里奥特写道:
大于记号:a>b表示a量大于b量;
小于记号:a 这对符号简洁优美,突出了相反的特征,很快就得到一些学者的认可和赞许.按照以出版时间为准的国际惯例,不等号应该算是诞生于1631年,然而此时哈里奥特已经逝世10年了,故可以推测不等号至少应是在1621年前创立的.
第一个把等号和不等号联合组成新符号“≥”“《”者,应是法国数学家布格尔(1698-1758).布格尔之父是水文学家和数学家.1730年布格尔成为勒阿弗尔的水文学教授,布格尔还发明了测日计来测量太阳及其他发光体的光强.布格尔在其著作中首创不严格不等号,但他未充分认识到其重要性,直到被德国数学家哥德巴赫(1690-1764)发现.哥德巴赫于1734年1月写信给欧拉(1707-1783),并告知此事,欧拉立刻给予肯定,称赞这对符号既保持了等号和不等号双重关系,还如此简洁优美.故现在把符号“≥”“≤”的创立时间确定为1734年.至18世纪初哈里奥特所创立的严格不等号也被广泛使用起来.
同学们现在使用的不等号,是清末数学家李善兰(1811-1882)首先引进的.1852-1859年,李善兰与英国传教士伟烈亚力(1815-1887)等合译出版了《几何原本》后九卷及《代数学》《代微积拾级》等,这是西方近代科学著作传人中国的开端,其中李善兰引进了西方大量数学符号,同时还创译了许多科学名词,如“数轴”“函数”“代数”等,已沿用至今,实谓匠心独具.
不等关系在我们日常生活中经常出现,如“大与小”“长与短”“高与矮”“优与劣”“胖与瘦”等.而在数轴上,显然右边的点对应的数永远大于左边的点对应的数,只要同学们留意身边的事情.就会发现很多不等关系.