摘 要：二次函数是初中数学的重要内容，也往往是学生觉得难度最大的知识。二次函数知识点多，综合能力要求高，是中考中的重点考查对象，即使在高中数学中，二次函数仍有重要地位，因此学好二次函数是很有必要的。现将二次函数的典型题型列出，希望能帮助同学们更好的学习二次函数。
　　关键词：初中 二次函数 典型题 解题技巧
　　一、由二次函数的定义求字母的值或取值范围
　　例1、已知函数y=（a2-2a-3）x2+（a2-9）x-3（其中a为常数）（1）当a满足什么条件时，此函数是二次函数？（2）当a满足什么条件时，此函数为一次函数？
　　解析：（1）函数为二次函数，则其二次项系数不为0，即a2-2a-3≠0 ，解得： a≠-1且a≠3
　　（2）函数为一次函数，则其二次项系数为0，且一次项系数不为0，即 ，解得 ，故a=-1
　　二、二次函数性质的应用
　　例2、若二次函数y=ax2+bx-4的图像开口向下，与x轴的交点为（-4，0），（2，0），点A（-3，y1）、点B（2，y2） 均在此抛物线线上，则y1与y2的大小关系是（ ）
　　A、y1y2 D、不确定
　　解析：因抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），则对称轴为，故点A（-3，y1）的对称点为（1，y1），又抛物线开口向下，故当x>-1时，y随x的增大而减小，因1<2，则y1>y2，选C。
　　三、由二次函数的图像确定系数的符号和关系
　　例3、如图二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，给出以下几个结论，（1）a>0（2）c>0（3）b<0
　　（4）b2-4abc<0（5）a+b+c=0 （6） a-b+c<0
　　其中正确的有______.
　　解析：（1）函数图像的开口方向由a的正负号决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，本图抛物线开口向上，故a>0；（2）函数图像与y轴的交点为（0，c），若交点在y轴的正半轴，则c>0，若交点在y轴的负半轴，则c<0，本图交点在负半轴，故c<0；（3）函数图像的对称轴为x=，若对称轴在y轴的左侧，则<0，若对称轴在y轴的右侧，则>0，本图中对称轴在y轴的右侧，又有a>0，故b<0；（4）函数图像与x轴的交点个数与b2-4ac的正负号直接相关，当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点，当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点，当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点，本图中抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0；（5）图像经过（1，0），故a+b+c=0（6）由图像可知，当x=-1时，函数值y为正，故a-b+c>0，正确的有：（1）（3）（5）
　　四、二次函数的平移问题
　　二次函数的开口方向和大小都由a决定，故函数y=ax2与y=a（x-h）2+k形状相同，只是位置不同，可通过平移得到。当h>0时，向右平移|h|个单位，当h<0时，向左平移|h|个单位；当k>0时，向上平移|k|个单位，当k<0时，向下平移|k|个单位。h是左右平移，k是上下平移，简单说“左加右减，上加下减”。
　　例4、若将抛物线y=-2x2-4x+1先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，经过两次平移后抛物线的顶点坐标为______.
　　解析：现将抛物线由一般式改写为顶点式y=-2x2-4x+1=-2（x+1）2+3，先向右平移2个单位，得到y=-2（x-1）2，再向上平移3个单位得到y=-2（x-1）2+6，故物线的顶点坐标为（1，6）。本题还可直接观察顶点的平移，原顶点为（-1，3），向右平移2个单位，得到（1，3），再向上平移3个单位，得到（1，6）。
　　五、二次函数与一次函数图像的综合判断
　　例5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+2m和y=-mx2+x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
　　解析：当m>0，一次函数过一、三象限，又2m>0，向上移，过一、二、三象限，-m<0，二次函数开口向下，又2>0，故抛物线与y轴交在正半轴，对称轴为；当m<0，一次函数过二、四象限，又2m<0，向下移，过二、三、四象限，-m>0，二次函数开口向上，又2>0，故抛物线与y轴交在正半轴，对称轴为，故选D。
　　六、灵活求解二次函数的解析式
　　二次函数有三种形式：（1）若已知一般三个点的坐标，可用一般式（2）若已知顶点为（h，k），可用顶点式 （3）若已知抛物线与x轴有两个交点，分别为（x1，0），（x2，0），可用交点式。求解二次函数的解析式时，要灵活使用二次函数的三种形式。
　　例6、根据条件求二次函数的解析式
　　（1）抛物线过（-1，-4）、（1，0）和（2，3）三点
　　解析：设二次函数为，
　　故二次函数为：
　　（2）拋物线的顶点坐标为（-1，2），且与y轴交点的纵坐标为4
　　解析：设抛物线为y=a（x+1）2+2，又因与y轴交点的纵坐标为4，即过点（0，4），则有a+2=4，解得：a=2。故二次函数为：y=2（x+1）2+2
　　（3）抛物线过（-1，0），（3，0），（1，-2）三点；
　　解析：设抛物线为y=a（x+1）（x-3），由因抛物线过点（1，-2），则有（1+1）×（1-3）a=-2，解得：a=。故二次函数为y=（x+1）（x-3）
　　七、求二次函数的最值问题
　　例7、（1）当-2≤x≤2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值；（2）当1≤x≤2时，求函数y=-x2-x+1 的最大值和最小值。解析：作出函数的对称轴和在所给范围内的草图，观察函数的图像，最高点的纵坐标为函数的最大值，最低点的纵坐标为函数的最小值。（1）观察图一，可知：当x=1时，y有最小值-4，当x=-2时，y有最小值5；（2）观察图二，可知：当x=1时， y有最小值-1，当x=2时，有最大值-5。
　　八、二次函数与一元二次方程、不等式的关系
　　例8、 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图三，观察图像，回答下列问题：（1）求方程ax2+bx+c=0的解；（2）求不等式ax2+bx+c>0的解集；（3）求y随x的增大而增大的自变量x的取值范围；解析：（1）求方程的解就是求抛物线与x轴交点的横坐标，故解为x1=1，x2=3；（2）求不等式的解集就是求抛物线在x轴上方点的横坐标，故解集为1　　九、用二次函数解决最大利润问题
　　例9、某水果每箱的进价为30元，但物价局规定每箱的售价不得超过48元。经调查发现，若已每箱以40元的价格销售，平均每天能卖出80箱，价格每提高1元，平均每天少卖2箱。（1）求日平均销售量y与售价x之间的函数关系式； （2）求日销售利润W与售价x之间的函数关系式；（3）当售价为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
　　解析：（1）当售价为x元，说明进价提高了（x-40）元，则每天少卖2（x-40）箱，故日销售量y=80-2（x-30）=-2x+140，其中40≤x≤48；（2）日销售利润=日销售量（售价-进价），故W=y（x-30）=（-2x+140）（x-30）=-2x2+200x-4200，其中40≤x≤48；（3）W=-2x2+200x-4200=-2（x-50）2+800，抛物线开口向下，当x<50时，W随x的增大而增大，又40≤x≤48，故当x=48时，W取得最大值，W最大=-2（48-50）2+800=792，故当售价为48时，利润最大为792元。
　　在学习二次函数的过程中要对比一次函数的研究方法，同时要注意数形结合，联系图像。在理解的基础上，掌握一些典型题型和基本技巧，这样才能更好的综合运用。