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学习逻辑联结词，重点要掌握使用联结词“且”“或”“非”的命题的含义和用法. 本文中，我们通过典型例题，加深同学们对逻辑联结词与复合命题的理解，提高运用逻辑联结词在解决判断与推理、转化数学问题中的逻辑思维能力.
用逻辑联结词表述新命题
例1 已知下列两个命题：[p]：三角形的三条中线相等；[q]：三角形的三条中线相交于一点. 试表述下列新命题：（1）[p∧q]；（2）[p∨q]；（3）[?p].
分析 问题（1）（2）（3）分别对应用“且”“或”“非”组成新命题.
解 （1）[p∧q]：三角形的三条中线相等且交于一点；
（2）[p∨q]：三角形的三条中线相等或相交于一点；
（3）[?p]： 三角形的三条中线不全相等.
点评 逻辑联结词“且”“或”“非”分别用符号“[∧]”“[∨]”“[?]”表示. 一般地，用逻辑联结词“且”把命题[p]和[q]联结起来，就得到一个新命题，记作[p∧q]，读作“[p]且[q]”. 同理，[p∨q]，读作“[p]或[q]”. 对一个命题[p]全盘否定，就得到一个新命题，记作[?p]，读作“非[p]”.
区分命题的否定与否命题
例2 写出命题“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否定.
分析 一个命题的否定，只否定结论.
解 命题“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否定为“若x2+y2≠0，则x，y都为零”.
点评 否命题既要否定条件又要否定结论，与命题的否定不能混淆. 无论是写否命题还是命题的否定，都要注意常用词语的否定形式.
判断复合命题的真假
例3 判断下列命题的真假：
（1）-1是偶数也是奇数；
（2）[2]属于有理数集[Q]或实数集[R]；
（3）“若[a]，[b]都是正数，则[a+b≥2ab]”的否定.
分析 先分析命题的结构，再判断其真假.
解 （1）这个命题是“[p∧q]”的形式，其中，[p]：-1是偶数，[q]：-1是奇数.
因为[p]假，[q]真，所以“[p∧q]”为假.
故原命题为假命题.
（2）这个命题是“[p∨q]”的形式，其中，[p]：[2∈Q]，[q]：[2∈R].
因为[p]假，[q]真，所以“[p∨q]”为真.
故原命题为真命题.
（3）命题的否定：若[a]，[b]都是正数，则[a+b<2ab].假命题.
点评 判断含逻辑联结词的命题真假的依据是：[p∨q]有真则真；[p∧q]有假则假；[?p]与[p]的真假相反.
运用逻辑联结词分析对象间的关系
例4 试画出方程[x-1?lg（x2+y2-1）=0]所表示的曲线的图形.
分析 运用逻辑联结词，将原方程进行等价转化.
解 记[p]：[x-1]有意义；[q]：[lg（x2+y2-1）]有意义；[r]：[x-1=0]；[s]：[x2+y2-1=1].
原方程对应于[（p∧q）∧（r∨s）]，因为原方程隐含条件为[p∧q]，问题转化为：在此隐含条件下，求方程[r]与[s]的解集的并集.
化简得，[p∧q]：[x≥1（y≠0）]. 问题对应于在[p∧q]对应的平面区域内画[r]与[s]所表示的曲线，如图所示.
点评 这里，从分析对象的关系着手，分析对象间是怎样的关联关系，逻辑联结词的运用起了关键作用.
运用复合命题的真假来推理判断
例5 甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中有一人获奖. 有人走访了四位同学，甲说：“我获奖”；乙说：“甲、丙未获奖”；丙说：“甲或乙获奖”；丁说：“乙获奖”. 若四位同学的话恰有两句是对的，则获奖的同学是 .
分析 设判断正确用“[a]”表示，判断不正确用“[r]”表示，依次将四位同学的话列表，借助命题真假来判断.
由上表知，只有第一列成立，即甲、丙讲真话，乙、丁讲假话，从而推知甲获奖.
答案 甲
点评 这里先提出假设，再进行推理，看有没有矛盾，有矛盾则假设错误，运用了反证法的思维. 如：上表的第三列，即先假设乙获奖，据此来判断出甲、乙、丙、丁四位同学说的分别为假、真、真、真，有三个真，与题设只有两个说的是真话相矛盾，所以乙获奖不可能. 上面的列表法，穷举了所有可能的情形，体现出一种严谨的数学思维.
利用“若命题的否定为假，则原命题为真”来证明
例6 设函数[f（x）=2x2+mx+n]，求证：[f（1），f（2），][f（3）]中至少有一个不小于1.
分析 由于欲证结论的情况繁杂，不妨从其反面入手，故用反证法证明.
证明 假设原命题不成立，
即[f（1），f（2），f（3）]都小于1.
即[f（1）<1， f（2）<1， f（3）<1，]则[-1<2+m+n<1， ①-1<8+2m+n<1， ② -1<18+3m+n<1. ③ ]
①+③得，[-11<2m+n<-9]与②矛盾，所以假设不成立.
故[f（1），f（2），f（3）]中至少有一个不小于1.
点评 （1）较适宜用反证法的常见情况：①“至少……”或“至多……”的形式为结论的命题；②涉及“惟一性”“存在性”的问题；③以否定形式为结论的命题；④从结论的反面易入手研究的问题. （2）正确地作出“若[p]，则[q]”的否定：“若[p]，则非[q]”是正确运用反证法的前提. （3）反证法的逻辑根据为：要证明命题“若[p]，则[q]”为真，改证：“若[p]，则非[q]”为假. 因此，反证法的核心是从非[q]出发去导出矛盾.
根据含逻辑联结词命题的真假求参数的取值范围
例7 命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根. 若“p或q”为真命题，求m的取值范围.
分析 由命题[q]和[p]的真假列出相应的不等式（组）来求解.
解 若“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题.
当p为真命题时，则m<-2. ①
当q为真命题时，则Δ=16（m+2）2-16<0.
即-3 “p或q”为真命题，对应求①与②的并集.
故实数m的取值范围是（-∞，-1）.
點评 命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词与集合运算具有一致性，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”.
用逻辑联结词表述新命题
例1 已知下列两个命题：[p]：三角形的三条中线相等；[q]：三角形的三条中线相交于一点. 试表述下列新命题：（1）[p∧q]；（2）[p∨q]；（3）[?p].
分析 问题（1）（2）（3）分别对应用“且”“或”“非”组成新命题.
解 （1）[p∧q]：三角形的三条中线相等且交于一点；
（2）[p∨q]：三角形的三条中线相等或相交于一点；
（3）[?p]： 三角形的三条中线不全相等.
点评 逻辑联结词“且”“或”“非”分别用符号“[∧]”“[∨]”“[?]”表示. 一般地，用逻辑联结词“且”把命题[p]和[q]联结起来，就得到一个新命题，记作[p∧q]，读作“[p]且[q]”. 同理，[p∨q]，读作“[p]或[q]”. 对一个命题[p]全盘否定，就得到一个新命题，记作[?p]，读作“非[p]”.
区分命题的否定与否命题
例2 写出命题“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否定.
分析 一个命题的否定，只否定结论.
解 命题“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否定为“若x2+y2≠0，则x，y都为零”.
点评 否命题既要否定条件又要否定结论，与命题的否定不能混淆. 无论是写否命题还是命题的否定，都要注意常用词语的否定形式.
判断复合命题的真假
例3 判断下列命题的真假：
（1）-1是偶数也是奇数；
（2）[2]属于有理数集[Q]或实数集[R]；
（3）“若[a]，[b]都是正数，则[a+b≥2ab]”的否定.
分析 先分析命题的结构，再判断其真假.
解 （1）这个命题是“[p∧q]”的形式，其中，[p]：-1是偶数，[q]：-1是奇数.
因为[p]假，[q]真，所以“[p∧q]”为假.
故原命题为假命题.
（2）这个命题是“[p∨q]”的形式，其中，[p]：[2∈Q]，[q]：[2∈R].
因为[p]假，[q]真，所以“[p∨q]”为真.
故原命题为真命题.
（3）命题的否定：若[a]，[b]都是正数，则[a+b<2ab].假命题.
点评 判断含逻辑联结词的命题真假的依据是：[p∨q]有真则真；[p∧q]有假则假；[?p]与[p]的真假相反.
运用逻辑联结词分析对象间的关系
例4 试画出方程[x-1?lg（x2+y2-1）=0]所表示的曲线的图形.
分析 运用逻辑联结词，将原方程进行等价转化.
解 记[p]：[x-1]有意义；[q]：[lg（x2+y2-1）]有意义；[r]：[x-1=0]；[s]：[x2+y2-1=1].
原方程对应于[（p∧q）∧（r∨s）]，因为原方程隐含条件为[p∧q]，问题转化为：在此隐含条件下，求方程[r]与[s]的解集的并集.
化简得，[p∧q]：[x≥1（y≠0）]. 问题对应于在[p∧q]对应的平面区域内画[r]与[s]所表示的曲线，如图所示.
点评 这里，从分析对象的关系着手，分析对象间是怎样的关联关系，逻辑联结词的运用起了关键作用.
运用复合命题的真假来推理判断
例5 甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中有一人获奖. 有人走访了四位同学，甲说：“我获奖”；乙说：“甲、丙未获奖”；丙说：“甲或乙获奖”；丁说：“乙获奖”. 若四位同学的话恰有两句是对的，则获奖的同学是 .
分析 设判断正确用“[a]”表示，判断不正确用“[r]”表示，依次将四位同学的话列表，借助命题真假来判断.
由上表知，只有第一列成立，即甲、丙讲真话，乙、丁讲假话，从而推知甲获奖.
答案 甲
点评 这里先提出假设，再进行推理，看有没有矛盾，有矛盾则假设错误，运用了反证法的思维. 如：上表的第三列，即先假设乙获奖，据此来判断出甲、乙、丙、丁四位同学说的分别为假、真、真、真，有三个真，与题设只有两个说的是真话相矛盾，所以乙获奖不可能. 上面的列表法，穷举了所有可能的情形，体现出一种严谨的数学思维.
利用“若命题的否定为假，则原命题为真”来证明
例6 设函数[f（x）=2x2+mx+n]，求证：[f（1），f（2），][f（3）]中至少有一个不小于1.
分析 由于欲证结论的情况繁杂，不妨从其反面入手，故用反证法证明.
证明 假设原命题不成立，
即[f（1），f（2），f（3）]都小于1.
即[f（1）<1， f（2）<1， f（3）<1，]则[-1<2+m+n<1， ①-1<8+2m+n<1， ② -1<18+3m+n<1. ③ ]
①+③得，[-11<2m+n<-9]与②矛盾，所以假设不成立.
故[f（1），f（2），f（3）]中至少有一个不小于1.
点评 （1）较适宜用反证法的常见情况：①“至少……”或“至多……”的形式为结论的命题；②涉及“惟一性”“存在性”的问题；③以否定形式为结论的命题；④从结论的反面易入手研究的问题. （2）正确地作出“若[p]，则[q]”的否定：“若[p]，则非[q]”是正确运用反证法的前提. （3）反证法的逻辑根据为：要证明命题“若[p]，则[q]”为真，改证：“若[p]，则非[q]”为假. 因此，反证法的核心是从非[q]出发去导出矛盾.
根据含逻辑联结词命题的真假求参数的取值范围
例7 命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根. 若“p或q”为真命题，求m的取值范围.
分析 由命题[q]和[p]的真假列出相应的不等式（组）来求解.
解 若“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题.
当p为真命题时，则m<-2. ①
当q为真命题时，则Δ=16（m+2）2-16<0.
即-3
故实数m的取值范围是（-∞，-1）.
點评 命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词与集合运算具有一致性，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”.