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摘要： 数学解题的过程，是将我们面临的数学问题的结构与我们已经获得了的结构相比较，调整合同的过程。其中调整是至关重要的一步，本文试图从调整问题的结构以适应固有的知识结构与调整固有的结构以适应问题的结构——双向调整来达到目的。
关键词： 不等式 数式结构 双向调整
必修5（苏教版）在利用不等式的知识点进行的课程资源开发中，只给定了一个基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0），教育学生的目标是培养学生对具体的数式进行变形证明不等式，确定有关函数的最大值与最小值问题及其处理实际应用中的最优化问题。实际教学中，在应用这个基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0）时，不少问题的设计与直接应用基本不等式有一定的跨度，教材的设计意图是利用这个中间地段来培养学生通过观察、分析、综合等构造具体数学知识点结构的能力。
然而，在学生的实际学习中，这种中间地段的接轨是学生学习的难点，造成了学生对这段材料把握上的困难。解决这一难题有两种方法，一是对基本不等式变形——构成运用基本知识点的数式结构，为学生搭建一座从基本不等式到学生解决具体数学本身的问题，或者是数学应用问题的桥梁；二是对于具体问题培养学生的具体解决问题的方法，这两者都是具体的、我们已经掌握了的知识结构与我们面临的待解决的有关问题的数式结构，利用它们的“相似性”，进行调整和构造的过程。
1.基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0）的几个变式及其条件的变化
变式一：a+b≥2 （a≥0，b≥0）；
变式二：a +b ≥2ab；（a，b∈R）；
变式三： +a≥2（a＞0）；
变式四： + ≥2（a，b同号）。
这几个基本不等式的变式，可以作为学生解决数学问题的跳板或桥梁，学生在解决有关的问题时，降低了思维的强度，降低了构造知识点的垂范模式的难度，给了学生运用具体知识解题的多重选择模式。
2.具体问题解题时应力求作好调整
在教学过程中，利用基本不等式解决具体问题时，是否引导学生对基本不等式及其变式的结构和条件的有效把握是解决问题的繁与简、乃至问题的可解与否的决定性的因素。利用问题的可能结构和基本不等式的现实的固定结构的相似性，从而变动、调整所面临的问题来适应基本不等式的现实固定结构，是解决有关问题的关键所在。事实上，这是一种双向调整，一方面，基本不等式的变式是为了适应问题的需要已经作了一次调整，使基本不等式适应问题的能力更强；另一方面，在教学中，力求培养学生针对具体问题的数式结构的有效把握，在此基础上，改造或调整待解决问题的数式结构，用以适应基本不等式及其变式。教学时在这方面应予以高度重视。下面举几个教学中的例子。
例1.［苏教2007版，必修5（下同）P94，题8］求函数y=2-3x- （x＞0）的最大值。
分析：y=2-3x- =2-（3x+ ），然后3x+ 可以应用变式一来解决，但是，这样对有关基础比较差的学生可能造成表达的困难。我们可以如此考虑，将函数式的两边都乘以（或都除以）-1，作此调整，问题便易于表达了。
解：因为-y=3x+ -2≥2 -2，所以y≤2-4 ，
当且仅当3x= （x＞0），即x= 时取“=”，所以y =2-4 。
例2.（P94，题13）已知正数x、y满足x+2y=1，求 + 的最小值。
分析：求和的最小值，由基本不等式知，其积应当为定值，方能利用基本不等式，我们经过怎样的调整才能使其积为定值呢？换句话说，条件“x+2y=1”怎样用？利用“1乘以任何数还等于任何数”来试探着调整，也就是充分利用“1”的条件，进行“1”的代换。
解：因为正数x、y，x+2y=1，所以 + =（ + ）•1=（ + ）•（x+2y）=1+ + +2= + +3≥3+2 =3+2 ，
当且仅当 = 且x+2y=1，即x= -1，y= 时取“=”，
所以（ + ） =3+2 。
点评：此解法的巧妙之处就在于充分利用了已知条件x+2y=1进行了“1”的巧妙变换，使式子 + 变形为符合基本不等式的现实固定结构，从而利用了基本不等式的知识和方法使问题得到了解决。
例3.设0＜x＜1，a与b同号，证明 + ≥（a+b） 。
分析：本题的实际理解是求 + 的最小值为（a+b） ，而两项和 + 存在最小值时，若 、 之积为定值就能利用基本不等式及其变式的结构了，而这种定值在原题所给的条件中不能直接得到。于是，必须对其结构式作出调整，怎样调整？你注意到了“x+（1-x）=1”了吗？本例相对于例2来说，例2是直白的条件，而这里是一种隐含的条件，在进行结构的调整中，更显困难了。
证明：因为0＜x＜1，知x＞0，1-x＞0，知 ＞0， ＞0，
所以 + =（ + ）•1=（ + ）•［x+（1-x）］=a + •a + •b +b = •a + •b +a +b ≥2 +a +b =2ab+a +b =（a+b） 。
当且仅当 •a = •b ，即x= （a、b同号）时取“=”，所以原不等式成立。
例4.设x＞0，求y= 的最大值。
分析：由x＞0，知y＞0。我们想利用基本不等式来确定y的最大值，如何进行调整方能构造出基本不等式的相关结构，你能考虑到y的倒数 吗？
解：因为x＞0，知y＞0，所以由y= ，
得： = =x+ +1≥2+1=3。
当且仅当x= ，即x=1时取“=”，所以0＜y≤ ，
所以y = 。
利用基本不等式既定的知识点的结构，对面临的问题的结构进行观察、比较、甄别，从而创造出已有知识点结构是利用知识解决问题的关键，构造结构的过程就是不断对已有知识点的结构与我们所面临的待解决的问题的结构双方不断调整，进而相同合的过程。在数学教学中，引导学生把握好调整的过程是解决问题的关键。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 不等式 数式结构 双向调整
必修5（苏教版）在利用不等式的知识点进行的课程资源开发中，只给定了一个基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0），教育学生的目标是培养学生对具体的数式进行变形证明不等式，确定有关函数的最大值与最小值问题及其处理实际应用中的最优化问题。实际教学中，在应用这个基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0）时，不少问题的设计与直接应用基本不等式有一定的跨度，教材的设计意图是利用这个中间地段来培养学生通过观察、分析、综合等构造具体数学知识点结构的能力。
然而，在学生的实际学习中，这种中间地段的接轨是学生学习的难点，造成了学生对这段材料把握上的困难。解决这一难题有两种方法，一是对基本不等式变形——构成运用基本知识点的数式结构，为学生搭建一座从基本不等式到学生解决具体数学本身的问题，或者是数学应用问题的桥梁；二是对于具体问题培养学生的具体解决问题的方法，这两者都是具体的、我们已经掌握了的知识结构与我们面临的待解决的有关问题的数式结构，利用它们的“相似性”，进行调整和构造的过程。
1.基本不等式 ≤ （a≥0，b≥0）的几个变式及其条件的变化
变式一：a+b≥2 （a≥0，b≥0）；
变式二：a +b ≥2ab；（a，b∈R）；
变式三： +a≥2（a＞0）；
变式四： + ≥2（a，b同号）。
这几个基本不等式的变式，可以作为学生解决数学问题的跳板或桥梁，学生在解决有关的问题时，降低了思维的强度，降低了构造知识点的垂范模式的难度，给了学生运用具体知识解题的多重选择模式。
2.具体问题解题时应力求作好调整
在教学过程中，利用基本不等式解决具体问题时，是否引导学生对基本不等式及其变式的结构和条件的有效把握是解决问题的繁与简、乃至问题的可解与否的决定性的因素。利用问题的可能结构和基本不等式的现实的固定结构的相似性，从而变动、调整所面临的问题来适应基本不等式的现实固定结构，是解决有关问题的关键所在。事实上，这是一种双向调整，一方面，基本不等式的变式是为了适应问题的需要已经作了一次调整，使基本不等式适应问题的能力更强；另一方面，在教学中，力求培养学生针对具体问题的数式结构的有效把握，在此基础上，改造或调整待解决问题的数式结构，用以适应基本不等式及其变式。教学时在这方面应予以高度重视。下面举几个教学中的例子。
例1.［苏教2007版，必修5（下同）P94，题8］求函数y=2-3x- （x＞0）的最大值。
分析：y=2-3x- =2-（3x+ ），然后3x+ 可以应用变式一来解决，但是，这样对有关基础比较差的学生可能造成表达的困难。我们可以如此考虑，将函数式的两边都乘以（或都除以）-1，作此调整，问题便易于表达了。
解：因为-y=3x+ -2≥2 -2，所以y≤2-4 ，
当且仅当3x= （x＞0），即x= 时取“=”，所以y =2-4 。
例2.（P94，题13）已知正数x、y满足x+2y=1，求 + 的最小值。
分析：求和的最小值，由基本不等式知，其积应当为定值，方能利用基本不等式，我们经过怎样的调整才能使其积为定值呢？换句话说，条件“x+2y=1”怎样用？利用“1乘以任何数还等于任何数”来试探着调整，也就是充分利用“1”的条件，进行“1”的代换。
解：因为正数x、y，x+2y=1，所以 + =（ + ）•1=（ + ）•（x+2y）=1+ + +2= + +3≥3+2 =3+2 ，
当且仅当 = 且x+2y=1，即x= -1，y= 时取“=”，
所以（ + ） =3+2 。
点评：此解法的巧妙之处就在于充分利用了已知条件x+2y=1进行了“1”的巧妙变换，使式子 + 变形为符合基本不等式的现实固定结构，从而利用了基本不等式的知识和方法使问题得到了解决。
例3.设0＜x＜1，a与b同号，证明 + ≥（a+b） 。
分析：本题的实际理解是求 + 的最小值为（a+b） ，而两项和 + 存在最小值时，若 、 之积为定值就能利用基本不等式及其变式的结构了，而这种定值在原题所给的条件中不能直接得到。于是，必须对其结构式作出调整，怎样调整？你注意到了“x+（1-x）=1”了吗？本例相对于例2来说，例2是直白的条件，而这里是一种隐含的条件，在进行结构的调整中，更显困难了。
证明：因为0＜x＜1，知x＞0，1-x＞0，知 ＞0， ＞0，
所以 + =（ + ）•1=（ + ）•［x+（1-x）］=a + •a + •b +b = •a + •b +a +b ≥2 +a +b =2ab+a +b =（a+b） 。
当且仅当 •a = •b ，即x= （a、b同号）时取“=”，所以原不等式成立。
例4.设x＞0，求y= 的最大值。
分析：由x＞0，知y＞0。我们想利用基本不等式来确定y的最大值，如何进行调整方能构造出基本不等式的相关结构，你能考虑到y的倒数 吗？
解：因为x＞0，知y＞0，所以由y= ，
得： = =x+ +1≥2+1=3。
当且仅当x= ，即x=1时取“=”，所以0＜y≤ ，
所以y = 。
利用基本不等式既定的知识点的结构，对面临的问题的结构进行观察、比较、甄别，从而创造出已有知识点结构是利用知识解决问题的关键，构造结构的过程就是不断对已有知识点的结构与我们所面临的待解决的问题的结构双方不断调整，进而相同合的过程。在数学教学中，引导学生把握好调整的过程是解决问题的关键。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”