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随着科学技术的高速发展和信息时代的到来，中学数学教育的重心从知识为主的“双基”目标拓展到以培养学生“学习能力”为主的“能力”目标和情感目标.围绕着“如何促进学生主动学习，发展创新能力”，新的课程标准要求：让学生会利用所学知识解决简单的实际问题，而初三的函数学习是比较抽象的，学生总感到难以理解.本节课要求学生会求出自变量x的取值范围，能根据实例叙述的内容列出函数关系，并确定自变量取值.一般地，展开数学活动要依靠例题，所选的例题体现出教师的认识水平，可见设计题目十分重要.所以这节课没有完全照搬书上的例题，而是根据具体情况设计了一种新的教学方案.
一、教学前期设计思路
1.创建学习活动情境
我针对教学对象、教学内容、教学目标、教学手段以及自己的教学背景进行综合考虑，精心规划和安排，创建出适合自己学生开展主体性学习的活动情境.比如引例的作用，不仅拉近了听课教师与学生的距离，创设了数学意境，而且舒缓了学生紧张的心情，便于学生从容活动，自然发挥.
2.组织学习活动
在创建的学习活动情境中，以数学知识为载体，充分调动学生的自主性、能动性和创造性，并促进学生主体性的和谐发展.它的组织形式仍是“课堂”，但“课堂”的本质发生了重大的变革，要重视学生的“最近发展区”和课程内容整合，课程内容的掌握仍是重要的，但课程内容掌握本身不再是教学的目的，而是成为构建学习主体的手段.在课堂活动中的学习情境要根据“学情”在不断地发展和变化，不能固定化和模式化.比如例题，设计了六道小题代表解析式的四种类型：整式型、分式型、二次根式型、分式和二次根式的综合型，并且引导学生根据例题来编题.通过大量的练习培养学生的直觉、感觉和解题思路，形成良好的知识结构感和归纳能力.
要注意：
(1)“课堂”是以活动为中心，由学生自主地开展尝试、探究、交流、协作等活动，并在活动中不断地学习和创新.
(2)在“课堂”活动中，教师不是旁观者，也不仅仅是组织者和指导者，同样是活动中的主体，在活动中教师要不断地学习、“完善自我”和创新.
(3)“课堂”重视交流活动，由于学生的学习背景不同，知识的来源也是多渠道的，提出问题、解决问题的角度不同，通过交流互相促进、共同提高.
二、教学设计环节
（教师讲解）引例→（学生讲解）教师编题→（学生讲解）学生编题→（师生共同研究）（小组讨论）提问→（教师归纳）小结.
教学目标：
（1）进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式.
（2）使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单整式、分式、二次根式的函数自变量的取值范围的求法.
（3）通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的，是有规律地运动变化着的.
教学重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值.
教学难点：函数概念的抽象性.
教学过程：
1.引入新课
教师：上一节课我们讲了函数的概念（一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数），生活中有很多实例反映了函数关系，比如现在我们的课堂上就有一种函数关系（全班学生用好奇的目光注视着教师）：（看屏幕）
若全班（加班主任）共54人，来听课的老师为n人，则教室里的人数为m人，写出m与n的函数关系式.
学生很快地回答道：m=54+n，m是函数，n是自变量.
教师：那么此时此地自变量n等于多少？函数m的值是多少？自变量n的取值范围是多少？
（本节课是一节校级公开课，来听课的老师较多）
学生纷纷环视四周，数出听课教师人数，听课教师也和学生相互讨论起来，共同得出n=23，进而求出m=71；但是在求n的取值范围时出现问题，许多同学只说n>0而没有想到n应该为自然数.（这就是实际问题的特点，要引导学生注意自变量取整数）
教师：可见在某些函数关系式中，自变量的取值范围有时是有限制的，今天我们就来研究一下相关知识.
2.讲授新课
教师：刚才引例中的函数，要考虑到自变量的取值必须使解析式有意义，所以n必须是正整数或0.（简单解释一下解析式就是数学式子即可）我们来看下面的例题，请分小组讨论，然后我找学生上黑板来讲解.
例 求下列函数中自变量x的取值范围.（学生分组合作，积极地展开讨论）
（1）y=2x+3；（2）y=1x-1；（3）y=1x2-x-2；
（4）y=x-2；（5）y=12x-5；（6）y=x+1x-2.
学生1讲课：在（1）中，x取任意实数，2x+3有意义.
（2）小题的1x-1是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是x-1，因此要求x-1≠0，所以x≠1.
学生2：（3）小题的1x2-x-2也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是x2-x-2，先从x2-x-2=0，得x=2，x=-1，因此要求x=2或x=-1.
学生3：我认为是x2-x-2≠0，所以x≠2且x≠-1.（大多数学生同意这种答案）
教师：像第（3）小题，有些同学犯这样的错误，将答案写成x≠2或x≠-1.在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，但在不等式中应说明x≠2与x≠-1是并且的关系，即2与-1这两个值x都不能取.
学生4：第（4）小题x-2是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于等于零.x-2的被开方数是x-2，所以x-2≥0，x≥2.
学生5：第(5)小题y=12x-5是二次根式，2x-5是被开方数，所以2x-5≥0，2x≥5，x≥52.但是y=12x-5也是分式，所以2x-5≠0，x≠52.结论为x>52.（教师点头表示赞许）
学生6：y=x+1x-2中，x≥-1且x≠2.
（师生之间互相交流对话，在融洽的气氛中学习）
注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要x≠0即可.可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么，然后再要求分式的分母不为零，求出使函数成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也类似.
教师：请同学们模仿例1编出类似但是又容易出错的题目来挑战其他组.
(学生活动再一次出现高潮)
学生分小组编题如下：
第（1）组y=1(x-8)x-2.答案：x>2且x≠8.
该组有学生反问一句：x-8改为x-1又如何？答案：x>2.
（这一问非常好，加深了大家对“且x≠8”的理解）
第（2）组m=1n2-2n+1.答案：n≠1.
（可见学生对函数和自变量可以用任意字母表示是清楚的，不一定要用y和x）
第（3）组y=x2-4x.答案：x>0.
第（4）组y=3xx-1.答案：x≠1.（学生能联想到三次根号）
第（5）组y-3=xx-3.（学生知道等号左侧不一定只能是y）
教师引导学生小结从做题中得到的规律：
（1）函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数.
（2）函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零.
（3）函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于零.
（4）函数的解析式是分式和二次根式的综合时，自变量的取值应使分母不为零，且被开方数大于等于零.
（5）函数是实际问题时，自变量的取值应使解析式有实际意义.
（编题是教师先编，学生后编，这样为学生发挥想象力搭建了平台）
教师：我们来上学时，将自行车放在校外保管站里，那大家想过收费问题吗？
例2 前所中学自行车委托阳春公司保管站管理，在某个星期一保管的自行车共有1500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.2元，一般车保管费是每辆一次0.1元.
（1）若设一般车停放的辆数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式并求出自变量x的取值范围.
（2）若估计前来停放的1500辆自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期一收入保管费总数的范围.
（第一问学生基本可以回答上来，第二问就产生很大争议，因为这是由函数求值问题转化为不等式求解集问题，这对初中学生而言是有难度的.）
解 （1）y=0.1x+0.3(1500-x)，
∴y=-0.2x+450（x是整数，0≤x≤1500）.
（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，
则1500(1-40%)≤x≤1500(1-25%).
方法一 ymax=-0.2×1500(1-40%)+450=270，
ymin=-0.2×1500(1-25%)+450=125.
收入在125元至270元之间.（但此方法有局限性，只对单调性函数适用）
方法二 1500(1-40%)≤x≤1500(1-25%)，
180≤0.2x≤225，
-180≥-0.2x≥-225（注意不等号方向的改变），
450-180≥450-0.2x≥450-225，
125≤y≤270，收入在125元至270元之间.
总结 对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.（由于时间的限制，只研究了方法一）
（三）小 结
在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围，因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值.另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析.
作业：1.见作业；2.预习.
板书设计：
函数的自变量取值范围
例1 学生编题例2
规律：小结：
评课过程：（略）.
总之，教师的教是为了最后的不教，学生的发展在很大程度上取决于主体意识的形成和主动参与能力的培养.数学教学从本质上来说是一种数学活动，通过活动让学生学习自行获取数学知识的方法，学习主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学基础能力和创造才能.因此，培养学生的主体意识和主动参与精神是课堂教学目标之一.由于将来的社会是非常注重合作与团队精神的社会，而自主合作学习恰好培养了学生的集体观念和合作意识，使他们适应于时代的要求，这节课学生的主体性活动得到充分地展示，同学之间进行了有效交往，学生之间既有竞争又有合作，保持和谐正常的同伴关系，相互促进，共同发展，有利于他们的社会化.所以应在初中数学课堂上大力推广自主合作性学习.
一、教学前期设计思路
1.创建学习活动情境
我针对教学对象、教学内容、教学目标、教学手段以及自己的教学背景进行综合考虑，精心规划和安排，创建出适合自己学生开展主体性学习的活动情境.比如引例的作用，不仅拉近了听课教师与学生的距离，创设了数学意境，而且舒缓了学生紧张的心情，便于学生从容活动，自然发挥.
2.组织学习活动
在创建的学习活动情境中，以数学知识为载体，充分调动学生的自主性、能动性和创造性，并促进学生主体性的和谐发展.它的组织形式仍是“课堂”，但“课堂”的本质发生了重大的变革，要重视学生的“最近发展区”和课程内容整合，课程内容的掌握仍是重要的，但课程内容掌握本身不再是教学的目的，而是成为构建学习主体的手段.在课堂活动中的学习情境要根据“学情”在不断地发展和变化，不能固定化和模式化.比如例题，设计了六道小题代表解析式的四种类型：整式型、分式型、二次根式型、分式和二次根式的综合型，并且引导学生根据例题来编题.通过大量的练习培养学生的直觉、感觉和解题思路，形成良好的知识结构感和归纳能力.
要注意：
(1)“课堂”是以活动为中心，由学生自主地开展尝试、探究、交流、协作等活动，并在活动中不断地学习和创新.
(2)在“课堂”活动中，教师不是旁观者，也不仅仅是组织者和指导者，同样是活动中的主体，在活动中教师要不断地学习、“完善自我”和创新.
(3)“课堂”重视交流活动，由于学生的学习背景不同，知识的来源也是多渠道的，提出问题、解决问题的角度不同，通过交流互相促进、共同提高.
二、教学设计环节
（教师讲解）引例→（学生讲解）教师编题→（学生讲解）学生编题→（师生共同研究）（小组讨论）提问→（教师归纳）小结.
教学目标：
（1）进一步理解函数的概念，能从简单的实际事例中，抽象出函数关系，列出函数解析式.
（2）使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单整式、分式、二次根式的函数自变量的取值范围的求法.
（3）通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的，是有规律地运动变化着的.
教学重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值.
教学难点：函数概念的抽象性.
教学过程：
1.引入新课
教师：上一节课我们讲了函数的概念（一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数），生活中有很多实例反映了函数关系，比如现在我们的课堂上就有一种函数关系（全班学生用好奇的目光注视着教师）：（看屏幕）
若全班（加班主任）共54人，来听课的老师为n人，则教室里的人数为m人，写出m与n的函数关系式.
学生很快地回答道：m=54+n，m是函数，n是自变量.
教师：那么此时此地自变量n等于多少？函数m的值是多少？自变量n的取值范围是多少？
（本节课是一节校级公开课，来听课的老师较多）
学生纷纷环视四周，数出听课教师人数，听课教师也和学生相互讨论起来，共同得出n=23，进而求出m=71；但是在求n的取值范围时出现问题，许多同学只说n>0而没有想到n应该为自然数.（这就是实际问题的特点，要引导学生注意自变量取整数）
教师：可见在某些函数关系式中，自变量的取值范围有时是有限制的，今天我们就来研究一下相关知识.
2.讲授新课
教师：刚才引例中的函数，要考虑到自变量的取值必须使解析式有意义，所以n必须是正整数或0.（简单解释一下解析式就是数学式子即可）我们来看下面的例题，请分小组讨论，然后我找学生上黑板来讲解.
例 求下列函数中自变量x的取值范围.（学生分组合作，积极地展开讨论）
（1）y=2x+3；（2）y=1x-1；（3）y=1x2-x-2；
（4）y=x-2；（5）y=12x-5；（6）y=x+1x-2.
学生1讲课：在（1）中，x取任意实数，2x+3有意义.
（2）小题的1x-1是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是x-1，因此要求x-1≠0，所以x≠1.
学生2：（3）小题的1x2-x-2也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是x2-x-2，先从x2-x-2=0，得x=2，x=-1，因此要求x=2或x=-1.
学生3：我认为是x2-x-2≠0，所以x≠2且x≠-1.（大多数学生同意这种答案）
教师：像第（3）小题，有些同学犯这样的错误，将答案写成x≠2或x≠-1.在解一元二次方程时，方程的两根用“或者”联接，但在不等式中应说明x≠2与x≠-1是并且的关系，即2与-1这两个值x都不能取.
学生4：第（4）小题x-2是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于等于零.x-2的被开方数是x-2，所以x-2≥0，x≥2.
学生5：第(5)小题y=12x-5是二次根式，2x-5是被开方数，所以2x-5≥0，2x≥5，x≥52.但是y=12x-5也是分式，所以2x-5≠0，x≠52.结论为x>52.（教师点头表示赞许）
学生6：y=x+1x-2中，x≥-1且x≠2.
（师生之间互相交流对话，在融洽的气氛中学习）
注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要x≠0即可.可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么，然后再要求分式的分母不为零，求出使函数成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也类似.
教师：请同学们模仿例1编出类似但是又容易出错的题目来挑战其他组.
(学生活动再一次出现高潮)
学生分小组编题如下：
第（1）组y=1(x-8)x-2.答案：x>2且x≠8.
该组有学生反问一句：x-8改为x-1又如何？答案：x>2.
（这一问非常好，加深了大家对“且x≠8”的理解）
第（2）组m=1n2-2n+1.答案：n≠1.
（可见学生对函数和自变量可以用任意字母表示是清楚的，不一定要用y和x）
第（3）组y=x2-4x.答案：x>0.
第（4）组y=3xx-1.答案：x≠1.（学生能联想到三次根号）
第（5）组y-3=xx-3.（学生知道等号左侧不一定只能是y）
教师引导学生小结从做题中得到的规律：
（1）函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数.
（2）函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零.
（3）函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于零.
（4）函数的解析式是分式和二次根式的综合时，自变量的取值应使分母不为零，且被开方数大于等于零.
（5）函数是实际问题时，自变量的取值应使解析式有实际意义.
（编题是教师先编，学生后编，这样为学生发挥想象力搭建了平台）
教师：我们来上学时，将自行车放在校外保管站里，那大家想过收费问题吗？
例2 前所中学自行车委托阳春公司保管站管理，在某个星期一保管的自行车共有1500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.2元，一般车保管费是每辆一次0.1元.
（1）若设一般车停放的辆数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式并求出自变量x的取值范围.
（2）若估计前来停放的1500辆自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期一收入保管费总数的范围.
（第一问学生基本可以回答上来，第二问就产生很大争议，因为这是由函数求值问题转化为不等式求解集问题，这对初中学生而言是有难度的.）
解 （1）y=0.1x+0.3(1500-x)，
∴y=-0.2x+450（x是整数，0≤x≤1500）.
（2）若变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，
则1500(1-40%)≤x≤1500(1-25%).
方法一 ymax=-0.2×1500(1-40%)+450=270，
ymin=-0.2×1500(1-25%)+450=125.
收入在125元至270元之间.（但此方法有局限性，只对单调性函数适用）
方法二 1500(1-40%)≤x≤1500(1-25%)，
180≤0.2x≤225，
-180≥-0.2x≥-225（注意不等号方向的改变），
450-180≥450-0.2x≥450-225，
125≤y≤270，收入在125元至270元之间.
总结 对于反映实际问题的函数关系，应使得实际问题有意义.这样，就要求联系实际，具体问题具体分析.（由于时间的限制，只研究了方法一）
（三）小 结
在研究函数关系时首先要考虑自变量的取值范围，因此，要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并能求出其相应的函数值.另外，对于反映实际问题的函数关系，要具体问题具体分析.
作业：1.见作业；2.预习.
板书设计：
函数的自变量取值范围
例1 学生编题例2
规律：小结：
评课过程：（略）.
总之，教师的教是为了最后的不教，学生的发展在很大程度上取决于主体意识的形成和主动参与能力的培养.数学教学从本质上来说是一种数学活动，通过活动让学生学习自行获取数学知识的方法，学习主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学基础能力和创造才能.因此，培养学生的主体意识和主动参与精神是课堂教学目标之一.由于将来的社会是非常注重合作与团队精神的社会，而自主合作学习恰好培养了学生的集体观念和合作意识，使他们适应于时代的要求，这节课学生的主体性活动得到充分地展示，同学之间进行了有效交往，学生之间既有竞争又有合作，保持和谐正常的同伴关系，相互促进，共同发展，有利于他们的社会化.所以应在初中数学课堂上大力推广自主合作性学习.