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【编者按】数学学习中，解题是必经的环节。数学解题过程是应用数学知识解决问题的过程，它能够加深学生对数学概念、原理的理解，巩固所学知识和技能，发展数学能力。中国数学教育历来重视解题教学，无论新授课，还是复习课，甚至专门的习题课，都包含解题教学。但是，一般教师对解题教学的认识和研究还不够深入，表现在教学应用中，就是以“题海战术”为主。解题教学是数学教学的一个经典话题，值得不断地深入研究。本期《专题研究》栏目呈现两篇研究解题教学的文章，一篇侧重从理论层面寻找依据，一篇侧重从实践层面展开分析，以期引起更广泛的思考与研究。
摘要：解题教学是数学教学的重要部分，教会学生学会解题是数学教学的一个重要目标。ACT-R理论对于数学解题教学具有重要的指导作用，主要表现在运用分析法判断知识的类型、陈述性知识的提取、产生式的激发三个方面。基于ACT-R理论的高中数学解题教学，应注重培养学生的审题能力、提取关键知识点的能力、选择样例的能力、构造目标层级结构的能力。
关键词：ACT-R理论高中数学解题教学
解题教学是数学教学的重要组成部分，教会学生学会解题是数学教学的一个重要目标。然而现实中，不少解题教学只在单纯地讲解题步骤和方法，而很少从学生思维的角度去思考如何分析、解决问题。于是，教师明明已经将解题过程表达得很清楚了，可学生还是不能掌握解题方法，或者很难完成解题方法的近迁移，题目稍微变形就无从下手。
事实上，学生作为学习的个体，解题时必然有自己的认知与思考。因此，从认知活动的角度出发，去研究如何开展解题教学显得尤为重要。
一、ACT-R理论
ACT-R（Adaptive Character of Thought-Rational）理论，即基于产生式系统的认知理论，它从简单的认知活动出发去解释人类复杂的学习过程，主要内容可以概括为“两类知识、两个假设、两个水平”。两类知识，即关于事实的陈述性知识和关于如何完成认知活动的程序性知识。其中，陈述性知识用来回答“是什么”的问题，程序性知识是指用于提取陈述性信息中的规则性单元，也称产生式。一个产生式规则就是一个“条件—反应”单元，即针对特定的问题解决条件采取特定的认知操作，如产生式“A—B”可以理解为：如果有条件A，那么会做出B反应。两类知识是问题解决的基础。两个假设，是描述两类知识的获得与迁移过程的，分别称为操作假设与学习假设。两个水平，则是描述问题解决效率的，即学科本身的逻辑结构水平以及例题练习的记忆强度水平。
产生式是ACT-R理论的核心概念，解决一道数学问题往往会用到若干个产生式，每一个产生式对应一个规则，一系列产生式规则的触发可以达到问题解决的最终目标。知识的程序化学习与样例学习有助于形成更多的产生式规则，而适度的练习能提高产生式的激活水平。
ACT-R理论另一个核心概念是目标层级结构。解决问题就是达到问题的最终目标，复杂问题难以一步达到目标，所以需要根据最终目标设定一系列的子目标。在学习与问题解决过程中，如果将解决一个问题视为一个目标，那么可以将其分解为一系列的子目标，而这些子目标又可以被进一步分解为一系列更小的子目标，由此建立起一个目标层级结构。问题解决往往需要有清晰的目标层级结构，通过逐级解决目标层级结构中的子目标，最终实现解题目标。
比如，图1中，G1为最终目标，而G1的实现需要G2成立，因此G2作为子目标。同样，G3是G2的子目标，G4和G5同时是G3的子目标。由此构成目标层级结构。目标层级结构的构造主要来自解题者拥有的产生式，产生式的强度主要来自信息块的激活水平，即由G1联想到G2的过程，而较高的激活水平与精致的练习及经典的范例有关。层级结构的建立能够有效地提高学生解题的速度与准确率。
二、ACT-R理论在高中数学解题教学中的应用
ACT-R理論对于数学解题教学具有重要指导作用。下面我们通过一个问题的解题过程，从学生认知的角度出发，将ACT-R理论真正应用于数学解题教学情境中。
问题1如图2，已知多面体ABC-A1B1C1，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2。
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1;
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值。
（一）运用分析法判断知识的类型
根据ACT-R理论，解题时首先应该把知识的类型作为切入口。即从认知结构出发，将知识和记忆结合起来，以便获得两种类型的知识。这一步骤可称为运用分析法进行审题。
学生看到题目，首先想到的就是题设中条件的含义：题设中透露的信息有哪些，需要解决的问题是什么，题干与问题之间存在什么关联。所以，数学解题教学的第一步就是要教会学生审题，审题用到的就是ACT-R理论提到的陈述性知识。
这道题的条件中有三个线面垂直、一个角和若干线段长，结合图形，根据等腰三角形相关的产生式，如“一个角为120°的等腰三角形—另两个角为30°”等，又可得三角形ABC的特殊属性。如此，题意就比较清楚了：过顶角为120°的等腰三角形的三个顶点作一定长度的垂线段，连接三个新端点形成一个新三角形，构成一个新的立体结构，要求证明其中的线面垂直，并计算线面角的正弦值。
（二）陈述性知识的提取
接下来，学生开始思考问题（结论），建立条件和结论之间的逻辑关联。这需要提取题设信息。当学生看到第（1）问，首先应该意识到它是对线面垂直的证明。这时候，学生联想到的就是有关线面垂直的相关知识点，即形成的信息块为直线与平面垂直的判定。这样，学生就能找到解题的切入口。当然，这样的信息块能否快速形成主要取决于日常学习中的练习，即这样的陈述性知识与学生的解题经验有关。那么，在这里，学生是如何由问题联想到线面关系的呢？ ACT-R理论认为，陈述性知识的获得主要取决于两种模式：被动的、接受式的和主动的、建构式的。也就是说，有的学生是通过记忆、背诵线面垂直关系获得的;有的学生是通过对这类题型的练习获得的，并且在练习过程中也顺带存储了解决线面关系的相关解题策略，便于回忆失败时运用。那么，在解答本题时，学生是通过哪一种模式提取信息块的呢？根据ACT-R理论，准确地提取解题策略需要一个产生式，也就是当学生看到题目时，就能够根据题设做出相应的解答。通过回忆以往知识这种被动记忆的模式占据大多数。
（三）产生式的激发
ACT-R理论认为，类比是获得产生式规则的主要途径。因此，学生对一个问题的解决，一方面可以参考样例，即解题的程序性规则;另一方面，可以根据样例的解题程序，结合题意确定适合本题的目标层级结构，进而解决问题。
1.如何选择样例。
ACT-R理论认为，样例以两种方式影响学习：一是选择（提取）哪个样例用于类比，二是样例的理解深度会影响到由类比而形成的产生式。因此，样例的选择在教学中是很重要的。要让学生在样例学习中，学会理解样例，掌握样例中的解题策略。例如，对于第（1）问来说，可选择如下样例：
问题2如图3，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
证明过程如下：
在平面α内作两条相交直线m、n，因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义，可知a⊥m，a⊥n。又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n。又因为mα，nα，m、n是两条相交直线，所以b⊥α
这个样例，体现了证明一条直线垂直一个平面的基本方法，进而形成了产生式。
2.如何构造目标层级结构。
在解题过程中，目标层级结构的构造，也就是解题的思路，应该十分清晰。本题的最终目标是证明AB1⊥平面A1B1C1，可转化成证明两组直线垂直。根据解题经验、题目中若干垂直的条件以及拥有的向量知识，刺激学生产生建立坐标系的想法——通过建立空间直角坐标系，利用向量法进行第（1）问的证明。而在向量法中，需要写出空间直角坐标系中所有点的坐标，并求出平面A1B1C1内两条相交直线的方向向量，进而求出平面A1B1C1内两条相交直线A1B1、A1C1与AB1的向量乘积。若乘积均为0，则能够说明AB1与平面A1B1C1垂直的位置关系。依此构造目标层级结构，如图4所示。
教学时，要引导学生关注目标层级结构的设定，学会分层解决问题的策略。
第（1）问的解答步骤如下：
如图5，以AC的中点O为原点，分别以射线OB、OC为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz。
由题意，可知各点坐标为：A（0，-3，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A1（0，-3，4），B1（1，0，2），C1（0，3，1）。因此AB1=1，3，2，A1B1=1，3，-2，A1C1=0，23，-3。由AB1·A1B1=0，得AB1⊥A1B1。由AB1·A1C1=0，得AB1⊥A1C1。所以，AB1⊥平面A1B1C1。
同理，第（2）问考查线面角正弦值的求法，应该求出平面ABB1的法向量和向量AC1，再利用向量法求出直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值。依此构造目标层级结构，如图6所示。
三、高中数学解题教学需要关注的几个能力
基于ACT-R理论的高中数学解题教学，应注重培养学生的以下能力：
（一）审题的能力
数学解题教学，首先应该教会学生学会审题。审题就是明确题目中的条件与问题，联想与提取相关陈述性知识。教师应教给学生具体的审题方法，如在題目上画线做标记，把条件对应地标记在图形上，把条件和所求呈两列写在纸上并联想相关知识，等等。
（二）提取关键知识点的能力
学生在明确了题意之后，根据题干条件给出的信息，由拥有的产生式，会激发出对相关知识点的回忆。例如，当学生在某题目中看到“平行四边形”条件时，由认知结构中的若干个“平行四边形—性质i”的产生式，就可能联想到许多平行四边形的性质，再结合题目其他条件或所求结论综合考量，从这些性质中选择、提取可能用得上的那条性质——这条性质可能就是解题的关键。
（三）选择样例的能力
学生在解题时，往往会依赖以往学过的相似样例，样例的解题思路与步骤也会被带到新的问题中来。这样，学生按照样例的程序化的解题步骤，就可以实现解题目标。因此，教师要注重典型例题的教学，因为它有望成为学生解决其他问题的样例。好的例题教学应该成为一个模式，便于迁移与回顾。为此，可以安排一系列精心设计的“例题串”，帮助学生通过示例演练形成样例。
（四）构造目标层级结构的能力
通过对问题的分析，将最终的问题拆分为几个子问题（子目标）的形式，只要所有子问题（子目标）得到解决，就意味着最终问题得到了解决，从而将问题的解决转化成对最基础的子问题（子目标）的解决。可见，要提高解决问题的能力尤其是解决综合复杂问题的能力，构造目标层级结构至关重要。
参考文献：
[1] 罗增儒.解题分析，应该有“第二过程”的暴露——写在《数学解题学引论》第5次印刷[J].中学数学教学参考，2008（17）.
[2] 邵光华.论数学解题教学的误区及教学策略[J].课程·教材·教法，1999（5）.
[3] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[4] 邵光华.样例学习的理论与实践[M].杭州：浙江大学出版社，2013.
摘要：解题教学是数学教学的重要部分，教会学生学会解题是数学教学的一个重要目标。ACT-R理论对于数学解题教学具有重要的指导作用，主要表现在运用分析法判断知识的类型、陈述性知识的提取、产生式的激发三个方面。基于ACT-R理论的高中数学解题教学，应注重培养学生的审题能力、提取关键知识点的能力、选择样例的能力、构造目标层级结构的能力。
关键词：ACT-R理论高中数学解题教学
解题教学是数学教学的重要组成部分，教会学生学会解题是数学教学的一个重要目标。然而现实中，不少解题教学只在单纯地讲解题步骤和方法，而很少从学生思维的角度去思考如何分析、解决问题。于是，教师明明已经将解题过程表达得很清楚了，可学生还是不能掌握解题方法，或者很难完成解题方法的近迁移，题目稍微变形就无从下手。
事实上，学生作为学习的个体，解题时必然有自己的认知与思考。因此，从认知活动的角度出发，去研究如何开展解题教学显得尤为重要。
一、ACT-R理论
ACT-R（Adaptive Character of Thought-Rational）理论，即基于产生式系统的认知理论，它从简单的认知活动出发去解释人类复杂的学习过程，主要内容可以概括为“两类知识、两个假设、两个水平”。两类知识，即关于事实的陈述性知识和关于如何完成认知活动的程序性知识。其中，陈述性知识用来回答“是什么”的问题，程序性知识是指用于提取陈述性信息中的规则性单元，也称产生式。一个产生式规则就是一个“条件—反应”单元，即针对特定的问题解决条件采取特定的认知操作，如产生式“A—B”可以理解为：如果有条件A，那么会做出B反应。两类知识是问题解决的基础。两个假设，是描述两类知识的获得与迁移过程的，分别称为操作假设与学习假设。两个水平，则是描述问题解决效率的，即学科本身的逻辑结构水平以及例题练习的记忆强度水平。
产生式是ACT-R理论的核心概念，解决一道数学问题往往会用到若干个产生式，每一个产生式对应一个规则，一系列产生式规则的触发可以达到问题解决的最终目标。知识的程序化学习与样例学习有助于形成更多的产生式规则，而适度的练习能提高产生式的激活水平。
ACT-R理论另一个核心概念是目标层级结构。解决问题就是达到问题的最终目标，复杂问题难以一步达到目标，所以需要根据最终目标设定一系列的子目标。在学习与问题解决过程中，如果将解决一个问题视为一个目标，那么可以将其分解为一系列的子目标，而这些子目标又可以被进一步分解为一系列更小的子目标，由此建立起一个目标层级结构。问题解决往往需要有清晰的目标层级结构，通过逐级解决目标层级结构中的子目标，最终实现解题目标。
比如，图1中，G1为最终目标，而G1的实现需要G2成立，因此G2作为子目标。同样，G3是G2的子目标，G4和G5同时是G3的子目标。由此构成目标层级结构。目标层级结构的构造主要来自解题者拥有的产生式，产生式的强度主要来自信息块的激活水平，即由G1联想到G2的过程，而较高的激活水平与精致的练习及经典的范例有关。层级结构的建立能够有效地提高学生解题的速度与准确率。
二、ACT-R理论在高中数学解题教学中的应用
ACT-R理論对于数学解题教学具有重要指导作用。下面我们通过一个问题的解题过程，从学生认知的角度出发，将ACT-R理论真正应用于数学解题教学情境中。
问题1如图2，已知多面体ABC-A1B1C1，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2。
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1;
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值。
（一）运用分析法判断知识的类型
根据ACT-R理论，解题时首先应该把知识的类型作为切入口。即从认知结构出发，将知识和记忆结合起来，以便获得两种类型的知识。这一步骤可称为运用分析法进行审题。
学生看到题目，首先想到的就是题设中条件的含义：题设中透露的信息有哪些，需要解决的问题是什么，题干与问题之间存在什么关联。所以，数学解题教学的第一步就是要教会学生审题，审题用到的就是ACT-R理论提到的陈述性知识。
这道题的条件中有三个线面垂直、一个角和若干线段长，结合图形，根据等腰三角形相关的产生式，如“一个角为120°的等腰三角形—另两个角为30°”等，又可得三角形ABC的特殊属性。如此，题意就比较清楚了：过顶角为120°的等腰三角形的三个顶点作一定长度的垂线段，连接三个新端点形成一个新三角形，构成一个新的立体结构，要求证明其中的线面垂直，并计算线面角的正弦值。
（二）陈述性知识的提取
接下来，学生开始思考问题（结论），建立条件和结论之间的逻辑关联。这需要提取题设信息。当学生看到第（1）问，首先应该意识到它是对线面垂直的证明。这时候，学生联想到的就是有关线面垂直的相关知识点，即形成的信息块为直线与平面垂直的判定。这样，学生就能找到解题的切入口。当然，这样的信息块能否快速形成主要取决于日常学习中的练习，即这样的陈述性知识与学生的解题经验有关。那么，在这里，学生是如何由问题联想到线面关系的呢？ ACT-R理论认为，陈述性知识的获得主要取决于两种模式：被动的、接受式的和主动的、建构式的。也就是说，有的学生是通过记忆、背诵线面垂直关系获得的;有的学生是通过对这类题型的练习获得的，并且在练习过程中也顺带存储了解决线面关系的相关解题策略，便于回忆失败时运用。那么，在解答本题时，学生是通过哪一种模式提取信息块的呢？根据ACT-R理论，准确地提取解题策略需要一个产生式，也就是当学生看到题目时，就能够根据题设做出相应的解答。通过回忆以往知识这种被动记忆的模式占据大多数。
（三）产生式的激发
ACT-R理论认为，类比是获得产生式规则的主要途径。因此，学生对一个问题的解决，一方面可以参考样例，即解题的程序性规则;另一方面，可以根据样例的解题程序，结合题意确定适合本题的目标层级结构，进而解决问题。
1.如何选择样例。
ACT-R理论认为，样例以两种方式影响学习：一是选择（提取）哪个样例用于类比，二是样例的理解深度会影响到由类比而形成的产生式。因此，样例的选择在教学中是很重要的。要让学生在样例学习中，学会理解样例，掌握样例中的解题策略。例如，对于第（1）问来说，可选择如下样例：
问题2如图3，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
证明过程如下：
在平面α内作两条相交直线m、n，因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义，可知a⊥m，a⊥n。又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n。又因为mα，nα，m、n是两条相交直线，所以b⊥α
这个样例，体现了证明一条直线垂直一个平面的基本方法，进而形成了产生式。
2.如何构造目标层级结构。
在解题过程中，目标层级结构的构造，也就是解题的思路，应该十分清晰。本题的最终目标是证明AB1⊥平面A1B1C1，可转化成证明两组直线垂直。根据解题经验、题目中若干垂直的条件以及拥有的向量知识，刺激学生产生建立坐标系的想法——通过建立空间直角坐标系，利用向量法进行第（1）问的证明。而在向量法中，需要写出空间直角坐标系中所有点的坐标，并求出平面A1B1C1内两条相交直线的方向向量，进而求出平面A1B1C1内两条相交直线A1B1、A1C1与AB1的向量乘积。若乘积均为0，则能够说明AB1与平面A1B1C1垂直的位置关系。依此构造目标层级结构，如图4所示。
教学时，要引导学生关注目标层级结构的设定，学会分层解决问题的策略。
第（1）问的解答步骤如下：
如图5，以AC的中点O为原点，分别以射线OB、OC为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz。
由题意，可知各点坐标为：A（0，-3，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A1（0，-3，4），B1（1，0，2），C1（0，3，1）。因此AB1=1，3，2，A1B1=1，3，-2，A1C1=0，23，-3。由AB1·A1B1=0，得AB1⊥A1B1。由AB1·A1C1=0，得AB1⊥A1C1。所以，AB1⊥平面A1B1C1。
同理，第（2）问考查线面角正弦值的求法，应该求出平面ABB1的法向量和向量AC1，再利用向量法求出直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值。依此构造目标层级结构，如图6所示。
三、高中数学解题教学需要关注的几个能力
基于ACT-R理论的高中数学解题教学，应注重培养学生的以下能力：
（一）审题的能力
数学解题教学，首先应该教会学生学会审题。审题就是明确题目中的条件与问题，联想与提取相关陈述性知识。教师应教给学生具体的审题方法，如在題目上画线做标记，把条件对应地标记在图形上，把条件和所求呈两列写在纸上并联想相关知识，等等。
（二）提取关键知识点的能力
学生在明确了题意之后，根据题干条件给出的信息，由拥有的产生式，会激发出对相关知识点的回忆。例如，当学生在某题目中看到“平行四边形”条件时，由认知结构中的若干个“平行四边形—性质i”的产生式，就可能联想到许多平行四边形的性质，再结合题目其他条件或所求结论综合考量，从这些性质中选择、提取可能用得上的那条性质——这条性质可能就是解题的关键。
（三）选择样例的能力
学生在解题时，往往会依赖以往学过的相似样例，样例的解题思路与步骤也会被带到新的问题中来。这样，学生按照样例的程序化的解题步骤，就可以实现解题目标。因此，教师要注重典型例题的教学，因为它有望成为学生解决其他问题的样例。好的例题教学应该成为一个模式，便于迁移与回顾。为此，可以安排一系列精心设计的“例题串”，帮助学生通过示例演练形成样例。
（四）构造目标层级结构的能力
通过对问题的分析，将最终的问题拆分为几个子问题（子目标）的形式，只要所有子问题（子目标）得到解决，就意味着最终问题得到了解决，从而将问题的解决转化成对最基础的子问题（子目标）的解决。可见，要提高解决问题的能力尤其是解决综合复杂问题的能力，构造目标层级结构至关重要。
参考文献：
[1] 罗增儒.解题分析，应该有“第二过程”的暴露——写在《数学解题学引论》第5次印刷[J].中学数学教学参考，2008（17）.
[2] 邵光华.论数学解题教学的误区及教学策略[J].课程·教材·教法，1999（5）.
[3] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[4] 邵光华.样例学习的理论与实践[M].杭州：浙江大学出版社，2013.