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【背景描述】
《公因数和最大公因数》是苏教版国标本五下第三单元《公倍数和公因数》的一个内容。引导学生通过观察、操作、比较、分析、抽象和概括活动，探索并理解公因数、最大公因数的含义，掌握求两个数的最大公因数的方法是本课需要达到的教学目标。这部分内容的结构与《公倍数与最小公倍数》基本相同。如何让学生完成知识的自主建构，使学生从事富有意义的活动，并在活动过程中体会自己的力量，是我在教学本课时思考的问题。
一、在想象中体会自己的力量
【情境呈现】
课始，教师说：我们已经学习了《公倍数和最小公倍数》，今天我们学习《公因数和最公因数》，想一想：横线上填什么？
“填小”，一部分学生答道；“填大”，另一部分学生大声地说。
“说说你的理由？”
生1：“前面我们学习了公倍数和最小公倍数，所以这里也应该是最小公因数。”
生2：“公倍数是最小公倍数，所以我想公因数应该是最大公因数。”
生3：“书上就是最大公因数，所以这里应该填最大。”
“呵呵，书上是最大公因数，看样子，横线上就应该填‘大’了。”我随即在横线上写上“大”字。
“为什么是‘大’而不是‘小呢’？”我笑着问学生。学生进入了积极思考状态。
【简析】
数学教学活动不仅是获取知识的过程，更是学习主体积极参与的过程。我们的教学应力求让学生体会自己在学习中的力量。本环节的教学，为学生提供了自由想象的空间，催生了学生的想象。这种想象基于学生的经验，以学生的原有经验为支撑。在想象的同时，激活了学生的思维，学生的探究欲望得到有效激发，学生经历了问题的发现、提出过程。“书上写的是最大公因数”，当学生说出这一理由后，我们是不是不需要再追问：“为什么是最大公因数了？”答案是否定的，因为知识必须融入学生自己的理解才有生命力。假如本环节的教学，教师直接揭示课题《公因数和最大公因数》，然后就展开什么是公因数的教学，那将会产生怎样的结果？我想，学生必将失去自己发现问题的机会，学生学习、探究的兴趣将会被削弱。
二、在猜测中感悟自己的力量
【情境呈现】
师：“我们已经学习了《公倍数和最小公倍数》，谁来猜一猜，本节课我们要解决哪些问题？”
学生独立思考了一段时间后，我让学生进行交流，根据学生的交流，进行了适当的板书。
1.什么是公因数与最大公因数？
2.怎样找两个数的公因数和最大公因数？
3.为什么要找最大公因数而不找最小公因数？
4.公因数与因数有什么不同？
5.公因数与最大公因数的学习有什么作用？
“对于上面的内容，你有什么想法？”我问道。
生1：“我觉得公因数就是几个数公有的因数，公因数中最大的一个就是最大公因数。”
生2：“我觉得找两个数的最大公因数只要先分别找出这几个数的因数，再找出他们的公因数。”
生3：“我觉得，这种找公因数和最大公因数的方法是对的，只不过我想这种方法有点麻烦，先找出最小数的因数，再找它们的公因数和最大公因数可能简单一些。”
我问：“为什么先找最小数的因数呢？你怎么不先找大的数的因数，再找它们的公因数呢？”
“老师，找公倍数我们一般先找大数的倍数，再找它们的公倍数，比较简单，我想找公因数可能正好相反吧，所以先找小的数的因数啰。”说完，他得意地坐下了。同学生们的脸上都露出了笑容，是赞同还是欣赏？我想大概都有。
生4：“我猜公因数和因数的不同，应该是因数只对于一个数而言，而公因数应该针对两个或两个以上的数而言。”
生5：“不用猜，这一定是公因数与因数的不同，因为公倍数与倍数的不同就是这样的啊。”
生6：“我想学习公因数与最大公因数可能帮助我们解决生活中的一些实际问题吧，这就是学习这些知识的作用吧。”
“同学们，你们对刚才的问题进行了很好猜测，你们都有自己的想法，那你们的猜测是否正确呢？请同学们自己自学课本。”
【简析】
“猜测”是学生在原有经验的基础上，进行合情推理的过程。它必须依赖于宽松、民主的教学氛围。只有在这样的氛围中才能激发学生的求知欲望，才能有效地实现观点的交流与融合。《公倍数与最小公倍数》的学习为学生的猜测提供了线索，也使学生的猜测有了经验的依托。这样的教学基于学生的经验，使学生觉得亲近。在这样的学习活动中，学生真正感受到自己作为一个独立的个体在发现新知过程中的力量。在本环节的教学中，教师给学生提供了猜测的机会，学生根据自己的已有经验展开有根据的猜测，学生思维活跃，灵感迸发。通过学习共同体的相互作用，学生的观点逐渐深入，观点不断修正。在这样的学习活动中，学生因为自己的观点得到大家的赞同而欣喜，学生因为同伴的精彩发言而由衷地佩服，学生因为自己的独到发现而满足。这种学习过程给学生所带来的人生体验是单纯重视知识的教学无法比拟的。假如本环节的教学，教师先让学生找8和12的因数，再找出它们的公有的因数，在此基础上让学生说出什么是公因数、最大公因数。就知识的教学来说，学生是比较容易理解的，但是这样的教学，学生个体思维的独特性就不能得到良好的体现。学生在这样的学习过程中就不能领悟到自身的力量，学生就失去了将所学知识运用新情境中的一次机会，课堂中学生也就少了那样一份因为自己的发现而带来的快乐体验。
知识从本质上来说，应该具有生成的力量，这也是发展的最基本的含义。课堂教学中学生的发展，需要教师提供机会让学生在活动中体会自己的力量。有时，在教学中，我们所创造的机会在不经意间就会促进学生全面发展。
《公因数和最大公因数》是苏教版国标本五下第三单元《公倍数和公因数》的一个内容。引导学生通过观察、操作、比较、分析、抽象和概括活动，探索并理解公因数、最大公因数的含义，掌握求两个数的最大公因数的方法是本课需要达到的教学目标。这部分内容的结构与《公倍数与最小公倍数》基本相同。如何让学生完成知识的自主建构，使学生从事富有意义的活动，并在活动过程中体会自己的力量，是我在教学本课时思考的问题。
一、在想象中体会自己的力量
【情境呈现】
课始，教师说：我们已经学习了《公倍数和最小公倍数》，今天我们学习《公因数和最公因数》，想一想：横线上填什么？
“填小”，一部分学生答道；“填大”，另一部分学生大声地说。
“说说你的理由？”
生1：“前面我们学习了公倍数和最小公倍数，所以这里也应该是最小公因数。”
生2：“公倍数是最小公倍数，所以我想公因数应该是最大公因数。”
生3：“书上就是最大公因数，所以这里应该填最大。”
“呵呵，书上是最大公因数，看样子，横线上就应该填‘大’了。”我随即在横线上写上“大”字。
“为什么是‘大’而不是‘小呢’？”我笑着问学生。学生进入了积极思考状态。
【简析】
数学教学活动不仅是获取知识的过程，更是学习主体积极参与的过程。我们的教学应力求让学生体会自己在学习中的力量。本环节的教学，为学生提供了自由想象的空间，催生了学生的想象。这种想象基于学生的经验，以学生的原有经验为支撑。在想象的同时，激活了学生的思维，学生的探究欲望得到有效激发，学生经历了问题的发现、提出过程。“书上写的是最大公因数”，当学生说出这一理由后，我们是不是不需要再追问：“为什么是最大公因数了？”答案是否定的，因为知识必须融入学生自己的理解才有生命力。假如本环节的教学，教师直接揭示课题《公因数和最大公因数》，然后就展开什么是公因数的教学，那将会产生怎样的结果？我想，学生必将失去自己发现问题的机会，学生学习、探究的兴趣将会被削弱。
二、在猜测中感悟自己的力量
【情境呈现】
师：“我们已经学习了《公倍数和最小公倍数》，谁来猜一猜，本节课我们要解决哪些问题？”
学生独立思考了一段时间后，我让学生进行交流，根据学生的交流，进行了适当的板书。
1.什么是公因数与最大公因数？
2.怎样找两个数的公因数和最大公因数？
3.为什么要找最大公因数而不找最小公因数？
4.公因数与因数有什么不同？
5.公因数与最大公因数的学习有什么作用？
“对于上面的内容，你有什么想法？”我问道。
生1：“我觉得公因数就是几个数公有的因数，公因数中最大的一个就是最大公因数。”
生2：“我觉得找两个数的最大公因数只要先分别找出这几个数的因数，再找出他们的公因数。”
生3：“我觉得，这种找公因数和最大公因数的方法是对的，只不过我想这种方法有点麻烦，先找出最小数的因数，再找它们的公因数和最大公因数可能简单一些。”
我问：“为什么先找最小数的因数呢？你怎么不先找大的数的因数，再找它们的公因数呢？”
“老师，找公倍数我们一般先找大数的倍数，再找它们的公倍数，比较简单，我想找公因数可能正好相反吧，所以先找小的数的因数啰。”说完，他得意地坐下了。同学生们的脸上都露出了笑容，是赞同还是欣赏？我想大概都有。
生4：“我猜公因数和因数的不同，应该是因数只对于一个数而言，而公因数应该针对两个或两个以上的数而言。”
生5：“不用猜，这一定是公因数与因数的不同，因为公倍数与倍数的不同就是这样的啊。”
生6：“我想学习公因数与最大公因数可能帮助我们解决生活中的一些实际问题吧，这就是学习这些知识的作用吧。”
“同学们，你们对刚才的问题进行了很好猜测，你们都有自己的想法，那你们的猜测是否正确呢？请同学们自己自学课本。”
【简析】
“猜测”是学生在原有经验的基础上，进行合情推理的过程。它必须依赖于宽松、民主的教学氛围。只有在这样的氛围中才能激发学生的求知欲望，才能有效地实现观点的交流与融合。《公倍数与最小公倍数》的学习为学生的猜测提供了线索，也使学生的猜测有了经验的依托。这样的教学基于学生的经验，使学生觉得亲近。在这样的学习活动中，学生真正感受到自己作为一个独立的个体在发现新知过程中的力量。在本环节的教学中，教师给学生提供了猜测的机会，学生根据自己的已有经验展开有根据的猜测，学生思维活跃，灵感迸发。通过学习共同体的相互作用，学生的观点逐渐深入，观点不断修正。在这样的学习活动中，学生因为自己的观点得到大家的赞同而欣喜，学生因为同伴的精彩发言而由衷地佩服，学生因为自己的独到发现而满足。这种学习过程给学生所带来的人生体验是单纯重视知识的教学无法比拟的。假如本环节的教学，教师先让学生找8和12的因数，再找出它们的公有的因数，在此基础上让学生说出什么是公因数、最大公因数。就知识的教学来说，学生是比较容易理解的，但是这样的教学，学生个体思维的独特性就不能得到良好的体现。学生在这样的学习过程中就不能领悟到自身的力量，学生就失去了将所学知识运用新情境中的一次机会，课堂中学生也就少了那样一份因为自己的发现而带来的快乐体验。
知识从本质上来说，应该具有生成的力量，这也是发展的最基本的含义。课堂教学中学生的发展，需要教师提供机会让学生在活动中体会自己的力量。有时，在教学中，我们所创造的机会在不经意间就会促进学生全面发展。