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解圆锥曲线综合问题需要较强的代数运算能力，蕴含着数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想，在运算、推理过程中要注意保持思维的逻辑性，确保结果正确完整。
【例1】已知抛物线C1的方程为y=ax2（a>0），圆C2的方程为x2+（y+1）2=5，直线l1：y=2x+m（m<0）是C1、C2的公切线.F是C1的焦点.
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点的C1的切线l交y轴于点B，设FM=FA+FB，证明：点M在一条定直线上.
错解y=ax2（a>0）的焦点F为a4，0.
错因分析本题易错点，在于将抛物线的方程误认为是标准方程，因为焦点位置和坐标发生错误，本题的焦点在y轴上应该是点F0，32。
正确解法（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，-1），半径r=5，由题设，圆心到直线l1：y=2x+m（m<0）的距离d=|1+m|22+（-1）2=r=5，
解得m=-6，m=4（舍去）.
设l1：y=2x+m（m<0）与抛物线相切于点A0（x0，y0），又y′=2ax，得k=2ax0=2x0=1a，y0=ax20=a1a2=1a，代入直线方程得1a=2a-6，∴a=16.
（2）由（1）知抛物线C1方程为y=16x2，即x2=6y，焦点F0，32.设Ax1，16x21，由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=13x1（x-x1）+16x21.令x=0，得切线l与y轴交点B的坐标为0，-16x21，所以FA=x1，16x21-32，FB=0，-16x21-32，
∴FM=FA+FB=（x1，-3），
因为F0，32是定点，
所以点Mx1，-32在定直线y=-32上.
防错机制在运算、推理过程要注意保持思维的逻辑性，确保结果正确完整。
利用空间向量解决立体几何问题要结合直线的方向向量及平面的法向量，用向量来证立体几何的垂直关系比较简单，要恰当建立坐标系、坐标要写正确。
【例2】如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P在棱CC1上，且∠A1PB=π2.
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角AA1BP的大小.
错解以DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴.
错因分析建立空间直角坐标系：第一，应为右手法则，第二，要恰当地建立坐标系，力求运算简单。
正确解法
（1）如图，以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，2），设P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，因为∠A1PB=π2，所以A1P·BP=0，即（-1，1，λ-2）·（-1，0，λ）=0，得λ=1，此时P（0，1，1），即有PC=1；
（2）易得平面AA1B的一个法向量为m=DA=（1，0，0），设平面A1BP的一个法向量为n=（x，y，z），则n·A1P=0，
n·BP=0，即-x+y-z=0，
-x+z=0，不妨取x=1，则y=0，z=-1，即n=（1，0，-1），所以cos〈m，n〉=m·n|m||n|=11×2=22，所以，钝二面角AA1BP的大小为3π4.
防错机制一要熟悉空间坐标系的建立，二是常见距离、角的运算公式要记住。
牛刀小试
1. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.
2. 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是.
3. 已知抛物线L的方程为x2=2py（p>0），直线y=x截抛物线L所得弦|AB|=42.
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C 处有相同的切线.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
4. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF ∥ AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上.
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角DAPC的余弦值为63，求PF的长度.
（作者：朱健忠启东市汇龙中学）
【例1】已知抛物线C1的方程为y=ax2（a>0），圆C2的方程为x2+（y+1）2=5，直线l1：y=2x+m（m<0）是C1、C2的公切线.F是C1的焦点.
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点的C1的切线l交y轴于点B，设FM=FA+FB，证明：点M在一条定直线上.
错解y=ax2（a>0）的焦点F为a4，0.
错因分析本题易错点，在于将抛物线的方程误认为是标准方程，因为焦点位置和坐标发生错误，本题的焦点在y轴上应该是点F0，32。
正确解法（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，-1），半径r=5，由题设，圆心到直线l1：y=2x+m（m<0）的距离d=|1+m|22+（-1）2=r=5，
解得m=-6，m=4（舍去）.
设l1：y=2x+m（m<0）与抛物线相切于点A0（x0，y0），又y′=2ax，得k=2ax0=2x0=1a，y0=ax20=a1a2=1a，代入直线方程得1a=2a-6，∴a=16.
（2）由（1）知抛物线C1方程为y=16x2，即x2=6y，焦点F0，32.设Ax1，16x21，由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=13x1（x-x1）+16x21.令x=0，得切线l与y轴交点B的坐标为0，-16x21，所以FA=x1，16x21-32，FB=0，-16x21-32，
∴FM=FA+FB=（x1，-3），
因为F0，32是定点，
所以点Mx1，-32在定直线y=-32上.
防错机制在运算、推理过程要注意保持思维的逻辑性，确保结果正确完整。
利用空间向量解决立体几何问题要结合直线的方向向量及平面的法向量，用向量来证立体几何的垂直关系比较简单，要恰当建立坐标系、坐标要写正确。
【例2】如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P在棱CC1上，且∠A1PB=π2.
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角AA1BP的大小.
错解以DC为x轴，DA为y轴，DD1为z轴.
错因分析建立空间直角坐标系：第一，应为右手法则，第二，要恰当地建立坐标系，力求运算简单。
正确解法
（1）如图，以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，2），设P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，因为∠A1PB=π2，所以A1P·BP=0，即（-1，1，λ-2）·（-1，0，λ）=0，得λ=1，此时P（0，1，1），即有PC=1；
（2）易得平面AA1B的一个法向量为m=DA=（1，0，0），设平面A1BP的一个法向量为n=（x，y，z），则n·A1P=0，
n·BP=0，即-x+y-z=0，
-x+z=0，不妨取x=1，则y=0，z=-1，即n=（1，0，-1），所以cos〈m，n〉=m·n|m||n|=11×2=22，所以，钝二面角AA1BP的大小为3π4.
防错机制一要熟悉空间坐标系的建立，二是常见距离、角的运算公式要记住。
牛刀小试
1. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.
2. 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是.
3. 已知抛物线L的方程为x2=2py（p>0），直线y=x截抛物线L所得弦|AB|=42.
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C 处有相同的切线.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
4. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF ∥ AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上.
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角DAPC的余弦值为63，求PF的长度.
（作者：朱健忠启东市汇龙中学）