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例 已知数列[an]中，[a1=45，]
[]则[a2016]等于（ ）
A. [45] B. [35]
C. [25] D. [15]
这是一道以分段形式给出递推关系为命题背景的考查数列求值的问题，常规的数列递推式问题的求解思路是先探求其通项公式，再求值. 为了弄清数列的递推关系，我们不妨先求出此数列的前若干项，看清数列通项所呈现的规律，再去寻求数列的通项公式.
[在尝试中寻求解题方法]
解析 依题意知，当[a1=45]时，[a2=2×45-1=35.]
当[a2=35]时，[a3=2×35-1=15.]
当[a3=15]时，[a4=2×15=25.]
当[a4=25]时，[a5=2×25=45.]
所以数列[an]的周期为4，于是[a2016=a4×504=a4=25.]
答案 C
分析上面的求解过程，我们避开了数列求值题先探求数列的通项公式，再代值求解目标项的常规方法. 而是通过特值先求出数列的前若干项，再观察前若干项呈现的规律，得到这些项具有周期性，进而类比函数的周期性，得出数列[an]的周期变化规律，求出了目标项，实现了“小题巧做”的目的.
[在变式中展开命题探究]
数列是一类特殊的定义在正整数集上的函数，上面问题的求解，借助研究函数性质的方法，得出数列递推关系具有周期性，从而类比函数的周期性，从另一种思路得出了问题的答案. 顺着数列递推关系的周期性研究，我们给出如下变式.
变式1 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[an]满足[a1=m（m>0），][an+1=an-1，an>1，1an，0 （1）当[m=23]时，[a5=] ；
（2）若[a3=4]，则[m]的所有取值之积为 .
解析 （1）[m=23]时，[a1=23，][a2=1a1=32，][a3=a2-1][=12，][a4=1a3=2，][a5=a4-1=1].
（2）[a1=m（m>0），]进行以下推算：若[1 若[m>2，]则[a2=m-1∈（1，+∞）]，所以[a3=m-1-1=][m-2=4，]解得[m=6.]
若[0 若[m=1]，则[a2=1]，[a3=1]，不合题意.
若[m=2]，则[a2=2-1=1]，[a3=1]，不合题意.
综上知，所有[m]的取值为[54]，[6]，[15]，它们的乘积为[54×6×15=32].
答案 （1）[1] （2）[32]
点拨 顺着例题中数列通项的分段形式，变换一个视角，利用数列的周期性逆向探究数列的首项具有哪些性质.
变式2 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[xn]满足：[x1=1，][x2=2，][xn+1=1，n为偶数，xn-xn-1，n为奇数，][（n≥2，n∈N?），]则数列[xn]的前[2016]项和[S2016=] .
解析 依题意得，[x1=1，][x2=2，][x3=1，][x4=x3-x2=-1，][x5=1，][x6=x5-x4=2，][x7=1，][x8=x7-x6=-1，]…，因此数列[xn]是以[T=4]为周期的周期数列，且[x1+x2+x3][+x4=3.]
又[2016=504×4]，
所以[S2014=x1+x2+x3+…+x2013+x2014]
[=504×（x1+x2+x3+x4）=1512.]
答案 [1512]
点拨 例题是探究数列的通项具有周期性，那么数列的和是否依然存在对应的周期性值得探究，依此展开讨论，得出相关的周期性质.
变式3 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[am]和[an]都是周期为[T]的周期数列，设[m=pT+r][（m，p，T，r∈N?）]，数列[am]的前[m，][T，][r]项的和分别记为[Sm，][ST，][Sr；]设[n=qT+t][（n，q，T，t∈N?），]数列[an]的前[n，][T，][r]项的和分别记为[Sn，][ST，][St]则[Sm-SrSn-St=] .
解析 因为数列[am]是周期为[T]的周期数列，且[m=qT+r]，
则[Sm=（a1+a2+…+aT）+（a1+T+a2+T+…+a2T）+]
[（a1+（q-1）T+a2+（q-1）T+…+aqT）+（a1+qT+a2+qT+…+a（q+1）T）]
[=qST+Sr，]
即[Sm-Sr=pST].
同理[Sn-St=qST].
于是[Sm-SrSn-St=pSTqST=pq].
答案 [pq]
点拨 本变式从归纳的层面给出了周期数列前[n]项和的相关性质，得到了周期数列[am]的前[n，T，r]项和[Sn，Sr，St]的一个重要结论，即[Sm-SrSn-St=pq].
[]则[a2016]等于（ ）
A. [45] B. [35]
C. [25] D. [15]
这是一道以分段形式给出递推关系为命题背景的考查数列求值的问题，常规的数列递推式问题的求解思路是先探求其通项公式，再求值. 为了弄清数列的递推关系，我们不妨先求出此数列的前若干项，看清数列通项所呈现的规律，再去寻求数列的通项公式.
[在尝试中寻求解题方法]
解析 依题意知，当[a1=45]时，[a2=2×45-1=35.]
当[a2=35]时，[a3=2×35-1=15.]
当[a3=15]时，[a4=2×15=25.]
当[a4=25]时，[a5=2×25=45.]
所以数列[an]的周期为4，于是[a2016=a4×504=a4=25.]
答案 C
分析上面的求解过程，我们避开了数列求值题先探求数列的通项公式，再代值求解目标项的常规方法. 而是通过特值先求出数列的前若干项，再观察前若干项呈现的规律，得到这些项具有周期性，进而类比函数的周期性，得出数列[an]的周期变化规律，求出了目标项，实现了“小题巧做”的目的.
[在变式中展开命题探究]
数列是一类特殊的定义在正整数集上的函数，上面问题的求解，借助研究函数性质的方法，得出数列递推关系具有周期性，从而类比函数的周期性，从另一种思路得出了问题的答案. 顺着数列递推关系的周期性研究，我们给出如下变式.
变式1 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[an]满足[a1=m（m>0），][an+1=an-1，an>1，1an，0
（2）若[a3=4]，则[m]的所有取值之积为 .
解析 （1）[m=23]时，[a1=23，][a2=1a1=32，][a3=a2-1][=12，][a4=1a3=2，][a5=a4-1=1].
（2）[a1=m（m>0），]进行以下推算：若[1
若[0
若[m=2]，则[a2=2-1=1]，[a3=1]，不合题意.
综上知，所有[m]的取值为[54]，[6]，[15]，它们的乘积为[54×6×15=32].
答案 （1）[1] （2）[32]
点拨 顺着例题中数列通项的分段形式，变换一个视角，利用数列的周期性逆向探究数列的首项具有哪些性质.
变式2 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[xn]满足：[x1=1，][x2=2，][xn+1=1，n为偶数，xn-xn-1，n为奇数，][（n≥2，n∈N?），]则数列[xn]的前[2016]项和[S2016=] .
解析 依题意得，[x1=1，][x2=2，][x3=1，][x4=x3-x2=-1，][x5=1，][x6=x5-x4=2，][x7=1，][x8=x7-x6=-1，]…，因此数列[xn]是以[T=4]为周期的周期数列，且[x1+x2+x3][+x4=3.]
又[2016=504×4]，
所以[S2014=x1+x2+x3+…+x2013+x2014]
[=504×（x1+x2+x3+x4）=1512.]
答案 [1512]
点拨 例题是探究数列的通项具有周期性，那么数列的和是否依然存在对应的周期性值得探究，依此展开讨论，得出相关的周期性质.
变式3 若数列[an]满足：存在正整数[T]，对于任意的正整数[n]都有[an+T=an]成立，则称数列[an]为周期数列. 已知数列[am]和[an]都是周期为[T]的周期数列，设[m=pT+r][（m，p，T，r∈N?）]，数列[am]的前[m，][T，][r]项的和分别记为[Sm，][ST，][Sr；]设[n=qT+t][（n，q，T，t∈N?），]数列[an]的前[n，][T，][r]项的和分别记为[Sn，][ST，][St]则[Sm-SrSn-St=] .
解析 因为数列[am]是周期为[T]的周期数列，且[m=qT+r]，
则[Sm=（a1+a2+…+aT）+（a1+T+a2+T+…+a2T）+]
[（a1+（q-1）T+a2+（q-1）T+…+aqT）+（a1+qT+a2+qT+…+a（q+1）T）]
[=qST+Sr，]
即[Sm-Sr=pST].
同理[Sn-St=qST].
于是[Sm-SrSn-St=pSTqST=pq].
答案 [pq]
点拨 本变式从归纳的层面给出了周期数列前[n]项和的相关性质，得到了周期数列[am]的前[n，T，r]项和[Sn，Sr，St]的一个重要结论，即[Sm-SrSn-St=pq].