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教师创设“有结构”的材料，有层次地提供给学生去探究，引导学生交流、争论……这些是新课程理念所倡导的，在数学教学中也是可借鉴的。应用这个教学模式的前提就是要教师设计、选择与新授知识相联系的“有结构”的材料。
科学的理论支撑
美国兰本达教授曾倡导在自然教学中采用“探究——研讨”的新型教学方法。这种教学方法的教学过程，主要由“探究”和“研讨”两个环节组成。在探究环节，教师主要选择与新授概念相联系的“有结构”的材料（即各部分联系紧密，通过其相互作用能揭示一系列有关现象的材料），按层次提供给学生，让学生去支配，以便探索出这些材料所能揭示的，也是教师希望儿童认识的事物的性质与规律，从而获得对事物的感性认识和初步的理解认识。在研讨环节，教师侧重于引导学生将已获得的认识用自己的语言表达出来，通过学生之间的互相交流、启发、补充、争论，使他们对纷繁复杂的事物之间的关系有所理解，使已有的感性认识上升为理性认识，从而形成一定水平的科学概念。
针对教学重点设计材料
如教学“3的倍数的特征”，由于学生受到“2、5的倍数的特征”认识的影响，学生产生了根据一个数的个位上的数来判断的消极思维定势，而3的倍数的特征是要通过各个数位上的数字和来判断。学生很难通过一些“数”的探索发现3的倍数的特征，以往的教学常常是教师硬塞给学生的，因而学生也掌握不好。怎样把“各个数位上的数字和”凸显出来，并让学生自主探究出这个特征呢？笔者设计了一个计数器的数位表，并画在纸上，每同桌的两人发一个，让学生每人准备10个纽扣，做计数器的计数珠子用。探究时，让一名学生用“珠子”在计数器上任意摆数，另一名学生计算（可以用计算器算）并判断这个数是不是3的倍数。并按照以下的几个层次组织学生来探究：
①用2个珠子任意摆一个数，判断是不是3的倍数。探究、交流发现：用2个珠子摆的数都不是3的倍数。
②用3个珠子任意摆一个数，判断是不是3的倍数。探究、交流发现：用3个珠子摆的数都是3的倍数。
③用4个珠子任意摆一个数，判断是不是3的倍数。探究、交流发现：用4个珠子摆的数都不是3的倍数。
④猜想：3的倍数与什么有关？（交流、争辩）
⑤继续探究，验证自己的猜想。
⑥概括总结：3的倍数有什么特征？
用来摆数的珠子，就是这个数各个数位上的数字和，抓住“和”这个重点设计“有结构”的材料，有层次地组织学生在“数字和”这个核心上探究，自主发现3的倍数的特征，学生的体验是充分的、有效的，留给学生的记忆是深刻的、难忘的。此后，每当笔者提到3的倍数的特征时，他们都能脱口而出。
针对教学难点设计材料
“解决问题的策略（画图）”这节课，要学生学会用画直观示意图的方法整理相关信息，并借助所画的示意图分析实际问题的数量关系，确定解决问题的正确思路。感受用画示意图的方法整理信息对于解决问题的价值，体会到画图整理信息是解决问题的一种常用策略。教学的难点是画图，正确画出示意图，是正确解答的保证。为此，笔者为这节课设计的“有结构”的材料。
①出示：钉子板，每一格表示1米。在钉子板上用两根橡皮筋围好一个2×4的长方形。如果要把这个长方形改围成一个面积12平方米的长方形。你们准备怎么做？（只能拉动其中的一根橡皮筋）
为学生提供一个钉子板，在钉子板上围好了一个2×4的长方形，要求学生拉动其中的一根橡皮筋，让学生动手去操作，使学生直观的、动态的感知长方形长或宽增加的情形，为画图做好铺垫。
②教学例题时，把例题进行变动，教材中的图已经全部画好了，学生不可能利用教材来画了，笔者为学生提供了“半成品的格子图”。
例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？
所谓“半成品的格子图”就是在方格纸上画出了长8米的长方形。本题虽然是例题图，本应该是教师重点讲解、指导学生如何画图的，因为有格子，学生画图时有了参照，加之前面的复习铺垫，可以放手让学生自己去探索画图。实际教学时教师没有讲怎么画图，也没有示范画图，学生却画出图来了，这正是“有结构”的材料所起的作用。
③出示：“试一试”的鱼池示意图。
原题：小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？
“试一试”的教学和例题相比，画图时没有格子图了，只有“5米”的一个提示，让学生根据提示画图并解答。教师没有指导画图和解题思路的点拨，画好图后就直接让学生解答。“画图”本身就是整理理解题目的过程，图能正确画出来，题意肯定理解了。也正因为没有干扰学生的思路，教学中出现了3种不同的解题思路：一是用鱼池现在的长乘宽；二是用鱼池原来的面积减去减少的面积；三是用倍比的思路解题的。这些是笔者在课前没有料到的，为此，笔者深深地感受到：给学生一个“有结构”的材料、一个思维的空间、一点点鼓励，他们思维的翅膀会展得更开，飞得更远。
④这是“想想做做”第1题长方形的试验田示意图。教材只提供了一个长方形，笔者给学生提供了两个长方形的图，两种变化，画在两幅图上。
原题：下图是李镇小学的一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。你知道原来试验田的面积是多少平方米？
“想想做做”的第1题没有任何提示，要求学生独立完成画图。此时，让学生独立画图应该是水到渠成，也是教学应该要达到的目的。教材只提供了一个长方形，让学生画出长、宽分别增加的图，把两种变化画在同一个图中，容易引起与长方形的长和宽同时增加这一情况的误解。因此，笔者给学生提供了两个相同的长方形图，把两种变化分别画在两幅图上，避免与长方形的长和宽同时变化的情况混淆。
从上面的4个层次可以看出，是由易到难，逐步引导学生自主学会画图的。
这课教学的难点虽然是画图，但是教师并没有讲如何画图，也没有讲怎样解题，学生会画了，题目会做了，也感受到了画图的价值。那是因为给学生提供了“有结构”的材料，从动手在钉子板上拉，到在格子图上画，再在有提示的图上画，最后在图上直接画。实质是一个从“扶”到“放”，从“易”到“难”的渐变过程。有了“量变”才有“质变”。“有结构”的材料应该是教师遵循学生学习的规律，针对教学难点精心设计的，为引导学生自主探究学习服务的。
针对操作设计“有结构”的材料
在小学数学学习中还有一部分要求学生动手操作的内容，有些内容由于难度较大，学生不容易掌握。如“图形的旋转”，要求学生画出一个按要求旋转后的图形。笔者借鉴了体育教学中分解动作示范教学的启示，设计了“有结构”的材料。例如：把下面的平行四边形绕A点逆时针旋转900（如图）。帮助学生探究的旋转方法。
如果给学生一个平行四边形的实物让学生旋转，这个实物是一次性旋转到位的，而在格子图上画平行四边形旋转过去的图形，必须一条边、一条边地画出来，不可能一笔到位，必须经历上面的分解过程。所以，在钉子板用橡皮筋拉出平行四边形，可由学生先探究，找到图形旋转的窍门后再在格子纸上画。
结束语
“探究——研讨”教学模式，学生获得的知识是由他们自己对“有结构”材料的观察、探索、分析、讨论得来的，而不是教师强加给学生的，因而他们获得的知识是生动、具体、深刻、鲜明的。设计好“有结构”的材料，教师应当组织学生探究、确定研讨时机和研讨方式的角色。“探究——研讨”教学模式能改变传统的教与学的方式，在数学教学中还有待进一步的探索。
（作者单位：江苏省南通市如东县宾山小学）
科学的理论支撑
美国兰本达教授曾倡导在自然教学中采用“探究——研讨”的新型教学方法。这种教学方法的教学过程，主要由“探究”和“研讨”两个环节组成。在探究环节，教师主要选择与新授概念相联系的“有结构”的材料（即各部分联系紧密，通过其相互作用能揭示一系列有关现象的材料），按层次提供给学生，让学生去支配，以便探索出这些材料所能揭示的，也是教师希望儿童认识的事物的性质与规律，从而获得对事物的感性认识和初步的理解认识。在研讨环节，教师侧重于引导学生将已获得的认识用自己的语言表达出来，通过学生之间的互相交流、启发、补充、争论，使他们对纷繁复杂的事物之间的关系有所理解，使已有的感性认识上升为理性认识，从而形成一定水平的科学概念。
针对教学重点设计材料
如教学“3的倍数的特征”，由于学生受到“2、5的倍数的特征”认识的影响，学生产生了根据一个数的个位上的数来判断的消极思维定势，而3的倍数的特征是要通过各个数位上的数字和来判断。学生很难通过一些“数”的探索发现3的倍数的特征，以往的教学常常是教师硬塞给学生的，因而学生也掌握不好。怎样把“各个数位上的数字和”凸显出来，并让学生自主探究出这个特征呢？笔者设计了一个计数器的数位表，并画在纸上，每同桌的两人发一个，让学生每人准备10个纽扣，做计数器的计数珠子用。探究时，让一名学生用“珠子”在计数器上任意摆数，另一名学生计算（可以用计算器算）并判断这个数是不是3的倍数。并按照以下的几个层次组织学生来探究：
①用2个珠子任意摆一个数，判断是不是3的倍数。探究、交流发现：用2个珠子摆的数都不是3的倍数。
②用3个珠子任意摆一个数，判断是不是3的倍数。探究、交流发现：用3个珠子摆的数都是3的倍数。
③用4个珠子任意摆一个数，判断是不是3的倍数。探究、交流发现：用4个珠子摆的数都不是3的倍数。
④猜想：3的倍数与什么有关？（交流、争辩）
⑤继续探究，验证自己的猜想。
⑥概括总结：3的倍数有什么特征？
用来摆数的珠子，就是这个数各个数位上的数字和，抓住“和”这个重点设计“有结构”的材料，有层次地组织学生在“数字和”这个核心上探究，自主发现3的倍数的特征，学生的体验是充分的、有效的，留给学生的记忆是深刻的、难忘的。此后，每当笔者提到3的倍数的特征时，他们都能脱口而出。
针对教学难点设计材料
“解决问题的策略（画图）”这节课，要学生学会用画直观示意图的方法整理相关信息，并借助所画的示意图分析实际问题的数量关系，确定解决问题的正确思路。感受用画示意图的方法整理信息对于解决问题的价值，体会到画图整理信息是解决问题的一种常用策略。教学的难点是画图，正确画出示意图，是正确解答的保证。为此，笔者为这节课设计的“有结构”的材料。
①出示：钉子板，每一格表示1米。在钉子板上用两根橡皮筋围好一个2×4的长方形。如果要把这个长方形改围成一个面积12平方米的长方形。你们准备怎么做？（只能拉动其中的一根橡皮筋）
为学生提供一个钉子板，在钉子板上围好了一个2×4的长方形，要求学生拉动其中的一根橡皮筋，让学生动手去操作，使学生直观的、动态的感知长方形长或宽增加的情形，为画图做好铺垫。
②教学例题时，把例题进行变动，教材中的图已经全部画好了，学生不可能利用教材来画了，笔者为学生提供了“半成品的格子图”。
例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？
所谓“半成品的格子图”就是在方格纸上画出了长8米的长方形。本题虽然是例题图，本应该是教师重点讲解、指导学生如何画图的，因为有格子，学生画图时有了参照，加之前面的复习铺垫，可以放手让学生自己去探索画图。实际教学时教师没有讲怎么画图，也没有示范画图，学生却画出图来了，这正是“有结构”的材料所起的作用。
③出示：“试一试”的鱼池示意图。
原题：小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？
“试一试”的教学和例题相比，画图时没有格子图了，只有“5米”的一个提示，让学生根据提示画图并解答。教师没有指导画图和解题思路的点拨，画好图后就直接让学生解答。“画图”本身就是整理理解题目的过程，图能正确画出来，题意肯定理解了。也正因为没有干扰学生的思路，教学中出现了3种不同的解题思路：一是用鱼池现在的长乘宽；二是用鱼池原来的面积减去减少的面积；三是用倍比的思路解题的。这些是笔者在课前没有料到的，为此，笔者深深地感受到：给学生一个“有结构”的材料、一个思维的空间、一点点鼓励，他们思维的翅膀会展得更开，飞得更远。
④这是“想想做做”第1题长方形的试验田示意图。教材只提供了一个长方形，笔者给学生提供了两个长方形的图，两种变化，画在两幅图上。
原题：下图是李镇小学的一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。你知道原来试验田的面积是多少平方米？
“想想做做”的第1题没有任何提示，要求学生独立完成画图。此时，让学生独立画图应该是水到渠成，也是教学应该要达到的目的。教材只提供了一个长方形，让学生画出长、宽分别增加的图，把两种变化画在同一个图中，容易引起与长方形的长和宽同时增加这一情况的误解。因此，笔者给学生提供了两个相同的长方形图，把两种变化分别画在两幅图上，避免与长方形的长和宽同时变化的情况混淆。
从上面的4个层次可以看出，是由易到难，逐步引导学生自主学会画图的。
这课教学的难点虽然是画图，但是教师并没有讲如何画图，也没有讲怎样解题，学生会画了，题目会做了，也感受到了画图的价值。那是因为给学生提供了“有结构”的材料，从动手在钉子板上拉，到在格子图上画，再在有提示的图上画，最后在图上直接画。实质是一个从“扶”到“放”，从“易”到“难”的渐变过程。有了“量变”才有“质变”。“有结构”的材料应该是教师遵循学生学习的规律，针对教学难点精心设计的，为引导学生自主探究学习服务的。
针对操作设计“有结构”的材料
在小学数学学习中还有一部分要求学生动手操作的内容，有些内容由于难度较大，学生不容易掌握。如“图形的旋转”，要求学生画出一个按要求旋转后的图形。笔者借鉴了体育教学中分解动作示范教学的启示，设计了“有结构”的材料。例如：把下面的平行四边形绕A点逆时针旋转900（如图）。帮助学生探究的旋转方法。
如果给学生一个平行四边形的实物让学生旋转，这个实物是一次性旋转到位的，而在格子图上画平行四边形旋转过去的图形，必须一条边、一条边地画出来，不可能一笔到位，必须经历上面的分解过程。所以，在钉子板用橡皮筋拉出平行四边形，可由学生先探究，找到图形旋转的窍门后再在格子纸上画。
结束语
“探究——研讨”教学模式，学生获得的知识是由他们自己对“有结构”材料的观察、探索、分析、讨论得来的，而不是教师强加给学生的，因而他们获得的知识是生动、具体、深刻、鲜明的。设计好“有结构”的材料，教师应当组织学生探究、确定研讨时机和研讨方式的角色。“探究——研讨”教学模式能改变传统的教与学的方式，在数学教学中还有待进一步的探索。
（作者单位：江苏省南通市如东县宾山小学）