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摘 要：数学方法是人类通过长期的实践活动，在运用数学思想和数学语言提出问题、解决问题的过程中，形成的稳定的、实效的数学活动手段、方式或途径.“二分法”是数学新课程的新增内容，它体现了数学课程与信息技术的结合，既要掌握基本的算法思想，又要恰当地运用计算器，合理组织技术平台下的数学活动.
关键词：数学方法；二分法求方程；教学过程的整体分析
数学方法是人类通过长期的实践活动，在运用数学思想和数学语言提出问题、解决问题的过程中，形成的稳定的、实效的数学活动手段、方式或途径。从心理学上看，数学方法属于程序性知识.在中小学阶段，大多数数学方法属于基本技能范畴，需要学生识记、掌握，甚至达到“自动化”程度.但是数学教学不仅要教学生“学知识”，还要教学生“怎样学知识”，让学生经历知识的发生发展过程，体会数学活动的过程和经验，不但要提高解题能力，还要提升对知识体系与内涵的理解，才能达到新课程（高考或课标）的要求，这一点对我们数学老师来说不容易.下面就以我听过的一节协作校（市级）公开课“二分法求方程的近似解”课堂实录（片段）做分析，整理如下与大家分享.
1 研究目的
“二分法”是数学新课程的新增内容，它体现了数学课程与信息技术的结合，既要掌握基本的算法思想，又要恰当地运用计算器，合理组织技术平台下的数学活动.上好这样一堂课，不仅需要研究教材，确定合适的技能目标，还要研究教学法，选择合适的教学方法，设计合适的教学过程.
3 核心知识与方法论
二分法的本质在于逼近，除了二分，还可以三分、四分、0.618分（黄金分割），这些都体现了数学计算的逼近思想.二分法还是运用函数观点解决方程问题的重要方法之一，体现了函数与方程之间的内在联系.“函数的零点”与“方程的解”之间的关系，是理解二分法的关键，抓住这个关键点，也就抓住了函数与方程之间的内在联系.
由此可见，本课的核心概念是：方程与方程的解，函数与函数的零点，方程与函数的关系，函数的图像，区间的中间值.必须掌握的技能是二分法的算法思想步骤.需要认识的数学思想是：函数思想，算法思想，逼近思想，数形结合思想.
4 教学过程的整体分析
4.1 教学模式
本课所采用的教学方式是教师启发下的学生自主探究.教师以问题作为教学的出发点，不直接下结论，通过问题情境，提出问题引领学生思考，探索问题的解决办法，形成基本的算法，并在具体的应用中反思、巩固建构学习的成果。
4.2 闪光点
4.2.1 努力展示学生的思维过程
本课中，教师并不满足于学生答对问题，而是通过追问，检查学生的思考状况，明确每一个思维环节的意义，让学生加深对知识的理解。如例一中，
为什么要画函数的图像？
为什么范围在3到4之间？
你怎么判断在3到4之间？看出来的还是算出来的？
为什么想到取3.5？
数学是思维的科学，数学教学是思维的教学。在课堂教学过程中，及时追问是提高学生思维参与、加速知识领悟的重要策略。面对学生简单、短小的回答，教师需要及时追问，在追问的过程中了解学生的理解程度，捕捉可能的问题，补救可能的不足。
4.2.2 以问题引领学生思考
赫尔墨斯指出：“问题是数学的心脏”。教学效果的好坏，很大程度取决于教师所设计数学问题的优劣。本课中，教师设计的问题，大都是明确的、容易引起学生思维的问题：
问题1：游戏中有什么技巧？游戏中包含了什么样的数学方法？
问题2：如何求方程的近似根？
问题3：请用二分法求方程的近似解；
在与学生互动过程中，教师又以几个小问题步步引导学生思考，如：
①如何利用上面的游戏活动中的思想设计求近似解的方案？
②如何判断方程的根所在的区间？
③如何缩小方程的根所在的区间？
④回忆：如果二次函数在区间（a，b）上满足f（a）f（b）<0，那么其零点满足什么条件？
这些问题的设计，紧紧围绕“二分法求方程的近似解”这一主题，层次分明，条理清晰，符合学生的认知规律 。
4.2.3 计算器支持数学探究顺利开展
计算器的使用不是学生活动的重点，而是支持学生开展探究活动的实验平台。学生能够独立地、熟练地使用计算器，在计算器上的操作成为观察函数值、选择区间、判断中止条件的有力工具，使学生集中精力于算法的探索和检验，保证了学生高水平的智力参与，保证了课堂探究目标的高效率实现。
5 不足之处与建议
教师是教学的主导。主导在很大程度上可以理解为教学向导，即在教学过程中进行启发、暗示、引导。在探究教学中，教师的主导作用体现在：提供探究方向，提高探究目标，启发探究方法等等。通俗地讲，就是学生能做的，就让学生自己去做，教师把握一个方向即可。
整体而言，本节课的教师教授还是有点偏多，某些关键点还有直接告知学生的现象。如逼近思想就是老师直接提出的。又如例1提出后，马上就给出4个指导性问题，在方法上这无疑限制了学生的探索，尤其第4个问题，实际上是直接指示了解题的方法。
本课在提示语的启发上还可以做得更好一些。数学教学启发，最基本的方法就是能运用“元认知提示语”（也即“知识的就近原则”）由远及近地进行引导。比如本节课的逼近思想不妨可以这样设计：
（1）游戏时有什么技巧？
教师的提示语：想想整个过程，你是怎么做的？第一步是什么？第二步是什么？……怎么简要说明步骤等.
（2）游戏中包含了什么样的数学方法？
教师提示语：从总结出的步骤想想看，对我们平常的数学活动有什么启发？比如第一步，在数学中有没有这样类似的做法，叫什么？第二步呢？……整个步骤又说明什么？
请学生回答，教师板书要点（如：估算、猜想、二分、逼近、程序化等），然后总结。
这样学生就会对算法和数学思想形成充分的经验，为后面求方程的近似值，提供更加有效的学习。
关键词：数学方法；二分法求方程；教学过程的整体分析
数学方法是人类通过长期的实践活动，在运用数学思想和数学语言提出问题、解决问题的过程中，形成的稳定的、实效的数学活动手段、方式或途径。从心理学上看，数学方法属于程序性知识.在中小学阶段，大多数数学方法属于基本技能范畴，需要学生识记、掌握，甚至达到“自动化”程度.但是数学教学不仅要教学生“学知识”，还要教学生“怎样学知识”，让学生经历知识的发生发展过程，体会数学活动的过程和经验，不但要提高解题能力，还要提升对知识体系与内涵的理解，才能达到新课程（高考或课标）的要求，这一点对我们数学老师来说不容易.下面就以我听过的一节协作校（市级）公开课“二分法求方程的近似解”课堂实录（片段）做分析，整理如下与大家分享.
1 研究目的
“二分法”是数学新课程的新增内容，它体现了数学课程与信息技术的结合，既要掌握基本的算法思想，又要恰当地运用计算器，合理组织技术平台下的数学活动.上好这样一堂课，不仅需要研究教材，确定合适的技能目标，还要研究教学法，选择合适的教学方法，设计合适的教学过程.
3 核心知识与方法论
二分法的本质在于逼近，除了二分，还可以三分、四分、0.618分（黄金分割），这些都体现了数学计算的逼近思想.二分法还是运用函数观点解决方程问题的重要方法之一，体现了函数与方程之间的内在联系.“函数的零点”与“方程的解”之间的关系，是理解二分法的关键，抓住这个关键点，也就抓住了函数与方程之间的内在联系.
由此可见，本课的核心概念是：方程与方程的解，函数与函数的零点，方程与函数的关系，函数的图像，区间的中间值.必须掌握的技能是二分法的算法思想步骤.需要认识的数学思想是：函数思想，算法思想，逼近思想，数形结合思想.
4 教学过程的整体分析
4.1 教学模式
本课所采用的教学方式是教师启发下的学生自主探究.教师以问题作为教学的出发点，不直接下结论，通过问题情境，提出问题引领学生思考，探索问题的解决办法，形成基本的算法，并在具体的应用中反思、巩固建构学习的成果。
4.2 闪光点
4.2.1 努力展示学生的思维过程
本课中，教师并不满足于学生答对问题，而是通过追问，检查学生的思考状况，明确每一个思维环节的意义，让学生加深对知识的理解。如例一中，
为什么要画函数的图像？
为什么范围在3到4之间？
你怎么判断在3到4之间？看出来的还是算出来的？
为什么想到取3.5？
数学是思维的科学，数学教学是思维的教学。在课堂教学过程中，及时追问是提高学生思维参与、加速知识领悟的重要策略。面对学生简单、短小的回答，教师需要及时追问，在追问的过程中了解学生的理解程度，捕捉可能的问题，补救可能的不足。
4.2.2 以问题引领学生思考
赫尔墨斯指出：“问题是数学的心脏”。教学效果的好坏，很大程度取决于教师所设计数学问题的优劣。本课中，教师设计的问题，大都是明确的、容易引起学生思维的问题：
问题1：游戏中有什么技巧？游戏中包含了什么样的数学方法？
问题2：如何求方程的近似根？
问题3：请用二分法求方程的近似解；
在与学生互动过程中，教师又以几个小问题步步引导学生思考，如：
①如何利用上面的游戏活动中的思想设计求近似解的方案？
②如何判断方程的根所在的区间？
③如何缩小方程的根所在的区间？
④回忆：如果二次函数在区间（a，b）上满足f（a）f（b）<0，那么其零点满足什么条件？
这些问题的设计，紧紧围绕“二分法求方程的近似解”这一主题，层次分明，条理清晰，符合学生的认知规律 。
4.2.3 计算器支持数学探究顺利开展
计算器的使用不是学生活动的重点，而是支持学生开展探究活动的实验平台。学生能够独立地、熟练地使用计算器，在计算器上的操作成为观察函数值、选择区间、判断中止条件的有力工具，使学生集中精力于算法的探索和检验，保证了学生高水平的智力参与，保证了课堂探究目标的高效率实现。
5 不足之处与建议
教师是教学的主导。主导在很大程度上可以理解为教学向导，即在教学过程中进行启发、暗示、引导。在探究教学中，教师的主导作用体现在：提供探究方向，提高探究目标，启发探究方法等等。通俗地讲，就是学生能做的，就让学生自己去做，教师把握一个方向即可。
整体而言，本节课的教师教授还是有点偏多，某些关键点还有直接告知学生的现象。如逼近思想就是老师直接提出的。又如例1提出后，马上就给出4个指导性问题，在方法上这无疑限制了学生的探索，尤其第4个问题，实际上是直接指示了解题的方法。
本课在提示语的启发上还可以做得更好一些。数学教学启发，最基本的方法就是能运用“元认知提示语”（也即“知识的就近原则”）由远及近地进行引导。比如本节课的逼近思想不妨可以这样设计：
（1）游戏时有什么技巧？
教师的提示语：想想整个过程，你是怎么做的？第一步是什么？第二步是什么？……怎么简要说明步骤等.
（2）游戏中包含了什么样的数学方法？
教师提示语：从总结出的步骤想想看，对我们平常的数学活动有什么启发？比如第一步，在数学中有没有这样类似的做法，叫什么？第二步呢？……整个步骤又说明什么？
请学生回答，教师板书要点（如：估算、猜想、二分、逼近、程序化等），然后总结。
这样学生就会对算法和数学思想形成充分的经验，为后面求方程的近似值，提供更加有效的学习。