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摘要：首先描述了可转换债券定价模型，然后对这些模型进行了较为详细地分析，最后提出了可转换债券定价模型所存在的问题。
关键词： 可转换债券；定价模型；价值
可转换债券（convertible bond）是一种公司债券，其投资者有权在规定期限内将其转换成确定数量的发债公司的普通股票。
由于可转换债券具有的债权性、股权性和期权性三种特征，使得其定价一直是国内外业内人士关注的重点。针对可转换债券的定价问题，国内外有关专家学者已经进行了大量的研究，研究工作涉及定价原理，定价模型，数值算法和实证研究等各个方面。本文在此仅对几类常用的可转换债券定价模型进行比较分析。
一、可转换债券定价模型概述
可转换债券的价格与标的股票价格、公司价值、利率、信用风险及外汇风险等基础变量有关，可转换债券的定价过程实质就是构造函数关系的过程。按照定价的精确程度，可转换债券定价模型可分为简单定价模型和精确定价模型。
1、可转换债券简单定价模型
可转换债券简单定价模型是将可转换债券的价格定义为债券价值B和期权价值C的简单加总。
可转换债券简单定价模型可分为组合模型和Margrabe定价模型两类，它们对纯债券价值B的计算方式是相同的，区别仅在于可转换债券赋予投资者的期权价值C的计算上。
简单定价模型中的符号定义如下：T为可转换债券的到期日；N为可转换债券面值；S为标的股票价格；X为转股价格；为标的股价波动率；为纯债券价值的波动率；为股票连续混合分红收益；为债券连续混合票息；k为转换比率；r为无风险利率；为信用利差。
（1）组合模型
同理，纯债券的价值仍可由式（1.1）得到，这样采用Margrabe模型计算得到的可转换债券的价格为。
2、可转换债券精确定价模型
可转换债券精确定价模型的构建思路是：利用无套利方法推导出可转换价值的控制方程；结合边界条件，采用数值方法为控制方程求解。
可转换债券精确定价模型可分为单因素和双因素定价模型，二者区别在于控制方程中基础变量的数目不同。
可转换债券精确定价模型的假设前提有：①市场是无摩擦的(无交易费用，交易连续，借贷与卖空无限制)；②短期利率为己知常数；③股票连续分红；④不存在无风险套利机会
（1）单因素定价模型
在每个时间点，投资者都面临四种可能：继续持有、转换成股票、回售、被强制赎回。理性投资者总是希望最大化其所持有的可转换债券价值。
可转换债券定价控制方程的求解一般利用数值方法，有二项式方法和有限差分方法。文章对数值方法的原理和过程不做详细的介绍。
（2）双因素定价模型
双因素定价模型将可转换债券视为两个基础变量——股票价格S和随机利率r上的衍生资产。
二、可转换债券的定价模型分析
1、简单定价模型的特点
可转换债券简单定价模型计算相对简单，对参数的精确性的要求不高，在对可转换债券进行大致估价时，这类定价方法比较适用。
由于可转换债券中隐含的期权条款远较普通期权、认购权证复杂，使得可转换债券简单定价模型可能存在价格高估现象，其局限性表现如下：
第一，把可转换债券价值人为地分割成一个纯债券加上一个转股欧式期权导致忽略了嵌入期权的存在。同时，可转换债券还可在某个或多个时间点上以一个或多个不同的价格回售（赎回）给发行者（投资者），这点在模型中也无法体现。
第二，可转换债券赋予发行者一个美式赎回权，使其在股价超过转股价130-150%后，发行者会赎回可转换债券以达到强制转股的目的，此举无疑会在股价较高时明显减低转股期权的价值，但模型也未对此予以考虑。
第三，可转换债券简单定价模型中的转股权是按欧式期权计算价值的，但可转换债券中隐含的转股权是美式期权，投资者在禁转期结束以后，可在任何时刻转股。如果股息率高于票面利率，则美式期权的价值就会明显高于欧式期权。
第四，“向下修正条款”允许在股价低于初始转股价达一定幅度，如80%时，自动将转股价向下修正，以此增加可转换债券对投资者的吸引力。在股价相对较低时，有无此项条款对可转换债券有极大影响。对此点，模型也未考虑。
第五，可转换债券进行简单分解计算估值带来的问题在于如果可转换债券一旦被转股，其所含有的普通债券所附利息并不能完全被支付，即实际的债券价值将有所降低。
在简单定价模型中，组合模型因其简单易于操作，在对可转换债券进行大致估价时，其应用范围要大于Margrabe 模型。Margrabe 模型从某种程度上比组合模型先进，该模型中加入债券的随机行为，特别是考虑了股票和债券两种过程的相关性，使得定价结果要较组合模型精确一些。但对纯债券的价值运动而言，无法将所观测到的利率的均值回复特性考虑到模型中，这样服从几何布朗运动对于纯债券价值运动不是一个很吻合的假设。
总之，上述局限使可转换债券的简单定价
模型定价可能存在高估现象。因此可转换债券
简单定价模型只能是一个大致的参考结果。
2、精确定价模型的特点
由于可转换债券的权利是有机复合的，只有在统一的框架中讨论其定价问题才会得到比较精确的定价结果。
Ingersoll (1977)将可转换债券视为基于公司价值上的衍生产品，通过适当的边界条件，考虑可转换债券转股可能性，建立了可转换债券定价模型。但其对公司价值以及其波动率等参数难以估计。McConnell 和Schwartz(1986)以股价为标的变量，提出了一个零息票、可转换、可赎回、可回售的可转换债券精确定价模型，即目前市场上使用最为广泛的一种可转换债券定价模型。
可转换债券的精确定价模型也并非完美。首先，模型没有考虑股本扩张带来的股权稀释效应。其次，模型假定转股期权的执行价格为常量，而转换价格受向下修正条款的影响随时可能变动。再次，在具体对赎回条款和回售款隐含期权估值中，由于对规定中“连续若干个交易日收盘价高于（低于）转股价的一定比例”的期权启动条件，在实际估值时采用了只考虑一个节点收盘价的处理方法，对期权的执行条件有所放松，使期权价值有所高估。最后，对于规定“若首次不施赎回则当年将不行使赎回权”弱化舍弃，也使得期权执行权限放宽，也使期权价值被高估。
可转换债券具有固定收入债券和权益资本两方面的特性，因此影响可转换债券价值最直接的因素是利率和股票价格。单因素定价模型将利率视为常量。Brennez 和 Schwartz(1980)首次提出了双因素定价模型，即同时考虑股价和利率的影响。双因素定价模型的引入增加定价结果的精确性，但同时也增加了定价过程的复杂性。
三、可转换债券定价模型存在的问题
由于可转换债券结构、标的资产定价以及证券市场交易的复杂性，使得可转换债券的定价模型仍需要不断的完善。具体来说，存在如下问题：第一，可转换债券的最优策略高度依赖于市场环境和投资者偏好，很难从数学上精确刻画。第二，确定可转换债券的价值必须考虑违约风险，而违约风险恰恰就是发债公司拥有的一个卖权。第三，可转换债券中的所谓“期权部分”与股票期权还是有区别。如股票期权不存在股权稀释问题；如股票期权执行时交付执行价格，可转换债券的转换权执行时归还公司债券；另外股票期权执行价格为常量，而可转换债券的执行价格要根据条款调整。因此，用期权定价的方式来处理只能是近似。第四，可转换债券的结构非常复杂，现在又出现了“适身定做”的趋势（如分离交易可转换债券），这些条款的变化直接影响可转换债券交易策略。
上述难点使得可转换债券的定价模型需要不断探索和改进，定价结果才能更为精确，投资者才能更为准确地认识可转换债券的价值，获取更大收益。
作者单位：北京理工大学管理与经济学院
参考文献
[1] 危慧惠.我国可转换债券市场的定价及实证研究[D].华中科技大学，2004,27-29,55-56
[2]. 麦强,胡运权. 基于信用风险模型的可转换债券定价研究[J] . 哈尔滨工业大学学报. 2006, 38（3）：406-409.
关键词： 可转换债券；定价模型；价值
可转换债券（convertible bond）是一种公司债券，其投资者有权在规定期限内将其转换成确定数量的发债公司的普通股票。
由于可转换债券具有的债权性、股权性和期权性三种特征，使得其定价一直是国内外业内人士关注的重点。针对可转换债券的定价问题，国内外有关专家学者已经进行了大量的研究，研究工作涉及定价原理，定价模型，数值算法和实证研究等各个方面。本文在此仅对几类常用的可转换债券定价模型进行比较分析。
一、可转换债券定价模型概述
可转换债券的价格与标的股票价格、公司价值、利率、信用风险及外汇风险等基础变量有关，可转换债券的定价过程实质就是构造函数关系的过程。按照定价的精确程度，可转换债券定价模型可分为简单定价模型和精确定价模型。
1、可转换债券简单定价模型
可转换债券简单定价模型是将可转换债券的价格定义为债券价值B和期权价值C的简单加总。
可转换债券简单定价模型可分为组合模型和Margrabe定价模型两类，它们对纯债券价值B的计算方式是相同的，区别仅在于可转换债券赋予投资者的期权价值C的计算上。
简单定价模型中的符号定义如下：T为可转换债券的到期日；N为可转换债券面值；S为标的股票价格；X为转股价格；为标的股价波动率；为纯债券价值的波动率；为股票连续混合分红收益；为债券连续混合票息；k为转换比率；r为无风险利率；为信用利差。
（1）组合模型
同理，纯债券的价值仍可由式（1.1）得到，这样采用Margrabe模型计算得到的可转换债券的价格为。
2、可转换债券精确定价模型
可转换债券精确定价模型的构建思路是：利用无套利方法推导出可转换价值的控制方程；结合边界条件，采用数值方法为控制方程求解。
可转换债券精确定价模型可分为单因素和双因素定价模型，二者区别在于控制方程中基础变量的数目不同。
可转换债券精确定价模型的假设前提有：①市场是无摩擦的(无交易费用，交易连续，借贷与卖空无限制)；②短期利率为己知常数；③股票连续分红；④不存在无风险套利机会
（1）单因素定价模型
在每个时间点，投资者都面临四种可能：继续持有、转换成股票、回售、被强制赎回。理性投资者总是希望最大化其所持有的可转换债券价值。
可转换债券定价控制方程的求解一般利用数值方法，有二项式方法和有限差分方法。文章对数值方法的原理和过程不做详细的介绍。
（2）双因素定价模型
双因素定价模型将可转换债券视为两个基础变量——股票价格S和随机利率r上的衍生资产。
二、可转换债券的定价模型分析
1、简单定价模型的特点
可转换债券简单定价模型计算相对简单，对参数的精确性的要求不高，在对可转换债券进行大致估价时，这类定价方法比较适用。
由于可转换债券中隐含的期权条款远较普通期权、认购权证复杂，使得可转换债券简单定价模型可能存在价格高估现象，其局限性表现如下：
第一，把可转换债券价值人为地分割成一个纯债券加上一个转股欧式期权导致忽略了嵌入期权的存在。同时，可转换债券还可在某个或多个时间点上以一个或多个不同的价格回售（赎回）给发行者（投资者），这点在模型中也无法体现。
第二，可转换债券赋予发行者一个美式赎回权，使其在股价超过转股价130-150%后，发行者会赎回可转换债券以达到强制转股的目的，此举无疑会在股价较高时明显减低转股期权的价值，但模型也未对此予以考虑。
第三，可转换债券简单定价模型中的转股权是按欧式期权计算价值的，但可转换债券中隐含的转股权是美式期权，投资者在禁转期结束以后，可在任何时刻转股。如果股息率高于票面利率，则美式期权的价值就会明显高于欧式期权。
第四，“向下修正条款”允许在股价低于初始转股价达一定幅度，如80%时，自动将转股价向下修正，以此增加可转换债券对投资者的吸引力。在股价相对较低时，有无此项条款对可转换债券有极大影响。对此点，模型也未考虑。
第五，可转换债券进行简单分解计算估值带来的问题在于如果可转换债券一旦被转股，其所含有的普通债券所附利息并不能完全被支付，即实际的债券价值将有所降低。
在简单定价模型中，组合模型因其简单易于操作，在对可转换债券进行大致估价时，其应用范围要大于Margrabe 模型。Margrabe 模型从某种程度上比组合模型先进，该模型中加入债券的随机行为，特别是考虑了股票和债券两种过程的相关性，使得定价结果要较组合模型精确一些。但对纯债券的价值运动而言，无法将所观测到的利率的均值回复特性考虑到模型中，这样服从几何布朗运动对于纯债券价值运动不是一个很吻合的假设。
总之，上述局限使可转换债券的简单定价
模型定价可能存在高估现象。因此可转换债券
简单定价模型只能是一个大致的参考结果。
2、精确定价模型的特点
由于可转换债券的权利是有机复合的，只有在统一的框架中讨论其定价问题才会得到比较精确的定价结果。
Ingersoll (1977)将可转换债券视为基于公司价值上的衍生产品，通过适当的边界条件，考虑可转换债券转股可能性，建立了可转换债券定价模型。但其对公司价值以及其波动率等参数难以估计。McConnell 和Schwartz(1986)以股价为标的变量，提出了一个零息票、可转换、可赎回、可回售的可转换债券精确定价模型，即目前市场上使用最为广泛的一种可转换债券定价模型。
可转换债券的精确定价模型也并非完美。首先，模型没有考虑股本扩张带来的股权稀释效应。其次，模型假定转股期权的执行价格为常量，而转换价格受向下修正条款的影响随时可能变动。再次，在具体对赎回条款和回售款隐含期权估值中，由于对规定中“连续若干个交易日收盘价高于（低于）转股价的一定比例”的期权启动条件，在实际估值时采用了只考虑一个节点收盘价的处理方法，对期权的执行条件有所放松，使期权价值有所高估。最后，对于规定“若首次不施赎回则当年将不行使赎回权”弱化舍弃，也使得期权执行权限放宽，也使期权价值被高估。
可转换债券具有固定收入债券和权益资本两方面的特性，因此影响可转换债券价值最直接的因素是利率和股票价格。单因素定价模型将利率视为常量。Brennez 和 Schwartz(1980)首次提出了双因素定价模型，即同时考虑股价和利率的影响。双因素定价模型的引入增加定价结果的精确性，但同时也增加了定价过程的复杂性。
三、可转换债券定价模型存在的问题
由于可转换债券结构、标的资产定价以及证券市场交易的复杂性，使得可转换债券的定价模型仍需要不断的完善。具体来说，存在如下问题：第一，可转换债券的最优策略高度依赖于市场环境和投资者偏好，很难从数学上精确刻画。第二，确定可转换债券的价值必须考虑违约风险，而违约风险恰恰就是发债公司拥有的一个卖权。第三，可转换债券中的所谓“期权部分”与股票期权还是有区别。如股票期权不存在股权稀释问题；如股票期权执行时交付执行价格，可转换债券的转换权执行时归还公司债券；另外股票期权执行价格为常量，而可转换债券的执行价格要根据条款调整。因此，用期权定价的方式来处理只能是近似。第四，可转换债券的结构非常复杂，现在又出现了“适身定做”的趋势（如分离交易可转换债券），这些条款的变化直接影响可转换债券交易策略。
上述难点使得可转换债券的定价模型需要不断探索和改进，定价结果才能更为精确，投资者才能更为准确地认识可转换债券的价值，获取更大收益。
作者单位：北京理工大学管理与经济学院
参考文献
[1] 危慧惠.我国可转换债券市场的定价及实证研究[D].华中科技大学，2004,27-29,55-56
[2]. 麦强,胡运权. 基于信用风险模型的可转换债券定价研究[J] . 哈尔滨工业大学学报. 2006, 38（3）：406-409.