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摘 要：小型飞行器的应用领域随着其各种功能的开发研究而不断扩大，然而无论是何种类型的小型飞行器，都遵循最基本的动力学原理。本文以四旋翼小型飞行器为例，分析其多自由度运动过程中所涉及的动力学知识，并举例其在物理学中的应用。
关键词：小型四旋翼飞行器；动力学
1 前言
小型飞行器以其灵活的飞行姿态、优越的运行性能、广泛的应用范围而倍受关注。小型飞行器非常适合在有限的空间范围内作业，可以携带摄像机、测绘仪器、空中通信节点、小型杀伤性武器等装置，在人工操控或者自动控制的条件下，以特定的飞行路线和飞行姿态完成相应的任务。小型飞行器已经在地震、泥石流等重大自然灾害的灾害评估及查险救援、环境保护、电力系统巡线、航空成像及测绘、警用及军用任务、通信中继、农业施肥和病虫害防治等领域发挥了重大作用。要实现小型飞行器的安全稳定飞行，应当建立相应的动力学模型对飞行器的运动状况进行数学上的描述，根据相关的物理学定律对飞行器的运动规律建立数学方程。
2 小型飞行器中的动力学
目前的小型飞行器多为四旋翼小型飞行器，如下图1所示，采用4个旋翼作为飞行的直接动力源，旋翼对称分布在机体的前后、左右4个方向，空間上呈轴对称结构。4个旋翼处于同一高度平面且结构和半径都相同，其中一组对角线上的两个旋翼逆时针旋转，另外一组对角线上的两个旋翼顺时针旋转，4个电机对称地安装在飞行器的支架端，支架中间部位用于安放飞行控制计算机与外部设备，共同构成具有垂直起降与空中悬停等特殊飞行能力的飞行器。
4个旋翼作为飞行动力，旋翼面为固定倾角，升力的大小和方向是4个旋翼升力的合成，旋转力矩由4个旋翼的转速差提供，小型四旋翼飞行器的结构形式无需复杂的机械部件，稳定可靠。
四旋翼飞行器通过协调4个旋翼的升力对飞行姿态进行控制，在空间内的飞行姿态包含6个自由度。假设初始状态为机身水平悬停，以机身右侧旋翼为例，减小旋翼转速会导致右翼面升力减小，破坏左右两侧的升力平衡导致机身向右侧横滚；同时由于破坏了旋翼的扭力矩平衡，导致机身向右侧偏航；由于机身右侧横滚，升力在右侧方向产生分力，致使飞行器向右侧平移；从而改变四旋翼飞行器的飞行姿态。
小型四旋翼飞行器的6个自由度状态分别指的是，悬停和升降运动、偏航运动、俯仰运动、横滚运动、前后运动、左右运动，这6个自由度的运动状态都可以通过控制4个旋翼的转速来实现。
2.1 悬停和升降运动
由于空气阻力的作用，4个旋翼会对飞行器机身产生反扭矩，反扭矩方向与旋翼旋转方向相反。在其他条件一定的情况下，旋翼的转速越高，反扭矩越大。1、3电机顺时针旋转，2、4电机逆时针旋转，4个电机的旋转速度相同，旋翼产生的升力相同，反扭矩相互抵消，因此在水平方向上飞行器能够保持稳定。同时提高4个电机的转速，四旋翼飞行器的整体升力增大，超过飞行器重力时，飞行器垂直上升；同时降低4个电机的转速，四旋翼飞行器的整体升力减小，小于飞行器重力时，飞行器垂直下降；四旋翼飞行器整体升力等于其重力时，四旋翼飞行器保持悬停状态。
2.2 偏航运动
如果1、3电机顺时针旋转的转速不等于2、4电机逆时针旋转的转速，两组旋翼在顺时针方向和逆时针方向上产生的反扭矩将无法抵消，飞行器机身发生转动。同时增大2、4电机逆时针旋转的转速，减小1、3电机顺时针旋转的转速，逆时针旋转旋翼组产生的反扭矩大于顺时针旋转旋翼组产生的反扭矩，使得机身整体承受顺时针方向的反扭矩。由于1、3电机转速相同，2、4电机转速相同，旋翼升力对称，机身不会发生侧翻，实现水平顺时针偏航运动。
2.3 俯仰运动
2、4电机转速不变，增大1电机转速，减小3电机转速，则1产生的旋翼升力大于3产生的旋翼升力，2、4转速相同则相应旋翼升力对称，机头上扬，机身不会发生横滚运动。旋翼转速的变化会导致机身反扭矩的变化，为了保证反扭矩的平衡，1、3电机转速的变化量应当相同。
2.4 横滚运动
1、3电机转速不变，增大4电机转速，减小2电机转速，可以控制机身向右侧横滚。前后两个旋翼产生的升力相同，机身不会发生俯仰运动。
2.5 前后运动
实现飞行器的前后运动需要对飞行器施加前后方向的拉力，使机身产生俯仰运动，旋翼面与地面产生夹角，拉力在水平方向上产生分量，使得飞行器机身产生前后运动。拉力在垂直方向上的分量与重力平衡，机身在竖直方向上不会产生升降运动。
2.6 左右运动
实现飞行器的左右运动需要对飞行器施加左右方向的拉力，使机身产生横滚运动，旋翼与地面产生夹角，拉力在水平方向上产生分量，使得飞行器机身产生左右运动。拉力在垂直方向上的分量与重力平衡，机身在竖直方向上不会产生升降运动。从受力上对飞行器进行分析，飞行器的4个旋翼转动产生的升力作用在机身上，雨中力和阻力共同形成合力；从力矩上对飞行器进行分析，飞行器受到旋翼力矩、空气阻力、陀螺效应等作用的影响。这些力、力矩共同作用在四旋翼飞行器上，改变飞行器的运动状态。
3 结论及实际应用
任何复杂运动都是以最基本的简单运动为基础的，实际应用中的小型飞行器结构和功能都会更加复杂，但是仍然可以依据其运动状态及规律，遵循相关的物理动力学原理建立相应的动力学模型，分析小型飞行器的运动过程。
题目：下图所示为四旋翼无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器，目前正得到越来越广泛的应用。一架质量m=2kg的无人机，其动力系统所能提供的最大升力F=36N，运动过程中所受空气阻力大小恒为f=4N。g取10m/s2。求：
（1）无人机在地面上从静止开始，以最大升力竖直向上起飞，求在t=5s时距离地面的高度h；
（2）当无人机悬停在距离地面高度H=100m处，由于动力设备故障，无人机突然失去升力而坠落。求无人机坠落地面时的速度v；
（3）在无人机坠落过程中，在遥控设备的干预下，动力设备重新启动提供向上的最大升力。为了保证安全着陆，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t1。
解答：
（1）无人机的质量为2kg，g=10m/s2，那么无人机的重力为20N。则无人机以最大升力竖直向上起飞，受到竖直向上的力为F-f-mg=36-4-20=12（N），加速度为a=（F-f-mg）/m=12/2=6（m/s2），那么t=5s时无人机距离地面的高度h=at2/2=6×5×5/2=75（m）。
（2）无人机在下落过程中，受到竖直向下的力为mg-f=20-4=16（N），加速度为a=（mg-f）/m=16/2=8（m/s2），那么距离为H=100m，下落到地面所需要的时间t=[（2×H）/a]1/2=[（2×100）/8]1/2=5（s），则无人机坠落地面时的速度v=at=8×5=40（m/s）。
（3）为了保证无人机安全着陆，飞行器从开始下落到恢复升力达到最长时间，应该是无人机降落到地面且速度恰好为零的临界状态。假设t1时刻，无人机恢复最大升力，此时无人机的速度为v1=at1=8t1（m/s），无人机距离地面的高度为H’=H-at12/2=100-4t12，无人机受到竖直向上的力为F+f-mg=36+4-20=20（N），加速度为a2=（F+f-mg）/m=20/2=10（m/s2），无人机减速到零所需要的时间t2=v1/a2=0.8t1（s），坠落的高度为h’=a2t22/2=3.2t12（m），此时应当满足h’=H’，也即3.2t12=100-4t12，解得t1=53/2/3（s）。
参考文献
[1]曾明，刘伟，邹建军.空气动力学基础（第五版）[M].北京：科学出版社，2016.
[2]陈浮，权晓波，宋彦萍.空气动力学基础（第五版）[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2015.
（作者单位：山东省东营市第一中学）
关键词：小型四旋翼飞行器；动力学
1 前言
小型飞行器以其灵活的飞行姿态、优越的运行性能、广泛的应用范围而倍受关注。小型飞行器非常适合在有限的空间范围内作业，可以携带摄像机、测绘仪器、空中通信节点、小型杀伤性武器等装置，在人工操控或者自动控制的条件下，以特定的飞行路线和飞行姿态完成相应的任务。小型飞行器已经在地震、泥石流等重大自然灾害的灾害评估及查险救援、环境保护、电力系统巡线、航空成像及测绘、警用及军用任务、通信中继、农业施肥和病虫害防治等领域发挥了重大作用。要实现小型飞行器的安全稳定飞行，应当建立相应的动力学模型对飞行器的运动状况进行数学上的描述，根据相关的物理学定律对飞行器的运动规律建立数学方程。
2 小型飞行器中的动力学
目前的小型飞行器多为四旋翼小型飞行器，如下图1所示，采用4个旋翼作为飞行的直接动力源，旋翼对称分布在机体的前后、左右4个方向，空間上呈轴对称结构。4个旋翼处于同一高度平面且结构和半径都相同，其中一组对角线上的两个旋翼逆时针旋转，另外一组对角线上的两个旋翼顺时针旋转，4个电机对称地安装在飞行器的支架端，支架中间部位用于安放飞行控制计算机与外部设备，共同构成具有垂直起降与空中悬停等特殊飞行能力的飞行器。
4个旋翼作为飞行动力，旋翼面为固定倾角，升力的大小和方向是4个旋翼升力的合成，旋转力矩由4个旋翼的转速差提供，小型四旋翼飞行器的结构形式无需复杂的机械部件，稳定可靠。
四旋翼飞行器通过协调4个旋翼的升力对飞行姿态进行控制，在空间内的飞行姿态包含6个自由度。假设初始状态为机身水平悬停，以机身右侧旋翼为例，减小旋翼转速会导致右翼面升力减小，破坏左右两侧的升力平衡导致机身向右侧横滚；同时由于破坏了旋翼的扭力矩平衡，导致机身向右侧偏航；由于机身右侧横滚，升力在右侧方向产生分力，致使飞行器向右侧平移；从而改变四旋翼飞行器的飞行姿态。
小型四旋翼飞行器的6个自由度状态分别指的是，悬停和升降运动、偏航运动、俯仰运动、横滚运动、前后运动、左右运动，这6个自由度的运动状态都可以通过控制4个旋翼的转速来实现。
2.1 悬停和升降运动
由于空气阻力的作用，4个旋翼会对飞行器机身产生反扭矩，反扭矩方向与旋翼旋转方向相反。在其他条件一定的情况下，旋翼的转速越高，反扭矩越大。1、3电机顺时针旋转，2、4电机逆时针旋转，4个电机的旋转速度相同，旋翼产生的升力相同，反扭矩相互抵消，因此在水平方向上飞行器能够保持稳定。同时提高4个电机的转速，四旋翼飞行器的整体升力增大，超过飞行器重力时，飞行器垂直上升；同时降低4个电机的转速，四旋翼飞行器的整体升力减小，小于飞行器重力时，飞行器垂直下降；四旋翼飞行器整体升力等于其重力时，四旋翼飞行器保持悬停状态。
2.2 偏航运动
如果1、3电机顺时针旋转的转速不等于2、4电机逆时针旋转的转速，两组旋翼在顺时针方向和逆时针方向上产生的反扭矩将无法抵消，飞行器机身发生转动。同时增大2、4电机逆时针旋转的转速，减小1、3电机顺时针旋转的转速，逆时针旋转旋翼组产生的反扭矩大于顺时针旋转旋翼组产生的反扭矩，使得机身整体承受顺时针方向的反扭矩。由于1、3电机转速相同，2、4电机转速相同，旋翼升力对称，机身不会发生侧翻，实现水平顺时针偏航运动。
2.3 俯仰运动
2、4电机转速不变，增大1电机转速，减小3电机转速，则1产生的旋翼升力大于3产生的旋翼升力，2、4转速相同则相应旋翼升力对称，机头上扬，机身不会发生横滚运动。旋翼转速的变化会导致机身反扭矩的变化，为了保证反扭矩的平衡，1、3电机转速的变化量应当相同。
2.4 横滚运动
1、3电机转速不变，增大4电机转速，减小2电机转速，可以控制机身向右侧横滚。前后两个旋翼产生的升力相同，机身不会发生俯仰运动。
2.5 前后运动
实现飞行器的前后运动需要对飞行器施加前后方向的拉力，使机身产生俯仰运动，旋翼面与地面产生夹角，拉力在水平方向上产生分量，使得飞行器机身产生前后运动。拉力在垂直方向上的分量与重力平衡，机身在竖直方向上不会产生升降运动。
2.6 左右运动
实现飞行器的左右运动需要对飞行器施加左右方向的拉力，使机身产生横滚运动，旋翼与地面产生夹角，拉力在水平方向上产生分量，使得飞行器机身产生左右运动。拉力在垂直方向上的分量与重力平衡，机身在竖直方向上不会产生升降运动。从受力上对飞行器进行分析，飞行器的4个旋翼转动产生的升力作用在机身上，雨中力和阻力共同形成合力；从力矩上对飞行器进行分析，飞行器受到旋翼力矩、空气阻力、陀螺效应等作用的影响。这些力、力矩共同作用在四旋翼飞行器上，改变飞行器的运动状态。
3 结论及实际应用
任何复杂运动都是以最基本的简单运动为基础的，实际应用中的小型飞行器结构和功能都会更加复杂，但是仍然可以依据其运动状态及规律，遵循相关的物理动力学原理建立相应的动力学模型，分析小型飞行器的运动过程。
题目：下图所示为四旋翼无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器，目前正得到越来越广泛的应用。一架质量m=2kg的无人机，其动力系统所能提供的最大升力F=36N，运动过程中所受空气阻力大小恒为f=4N。g取10m/s2。求：
（1）无人机在地面上从静止开始，以最大升力竖直向上起飞，求在t=5s时距离地面的高度h；
（2）当无人机悬停在距离地面高度H=100m处，由于动力设备故障，无人机突然失去升力而坠落。求无人机坠落地面时的速度v；
（3）在无人机坠落过程中，在遥控设备的干预下，动力设备重新启动提供向上的最大升力。为了保证安全着陆，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t1。
解答：
（1）无人机的质量为2kg，g=10m/s2，那么无人机的重力为20N。则无人机以最大升力竖直向上起飞，受到竖直向上的力为F-f-mg=36-4-20=12（N），加速度为a=（F-f-mg）/m=12/2=6（m/s2），那么t=5s时无人机距离地面的高度h=at2/2=6×5×5/2=75（m）。
（2）无人机在下落过程中，受到竖直向下的力为mg-f=20-4=16（N），加速度为a=（mg-f）/m=16/2=8（m/s2），那么距离为H=100m，下落到地面所需要的时间t=[（2×H）/a]1/2=[（2×100）/8]1/2=5（s），则无人机坠落地面时的速度v=at=8×5=40（m/s）。
（3）为了保证无人机安全着陆，飞行器从开始下落到恢复升力达到最长时间，应该是无人机降落到地面且速度恰好为零的临界状态。假设t1时刻，无人机恢复最大升力，此时无人机的速度为v1=at1=8t1（m/s），无人机距离地面的高度为H’=H-at12/2=100-4t12，无人机受到竖直向上的力为F+f-mg=36+4-20=20（N），加速度为a2=（F+f-mg）/m=20/2=10（m/s2），无人机减速到零所需要的时间t2=v1/a2=0.8t1（s），坠落的高度为h’=a2t22/2=3.2t12（m），此时应当满足h’=H’，也即3.2t12=100-4t12，解得t1=53/2/3（s）。
参考文献
[1]曾明，刘伟，邹建军.空气动力学基础（第五版）[M].北京：科学出版社，2016.
[2]陈浮，权晓波，宋彦萍.空气动力学基础（第五版）[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2015.
（作者单位：山东省东营市第一中学）