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一、零点和点混淆导致错误
零点是定义域的一个实数，而一个真正的点是用坐标形式表示，所以如果求的是函数的零点，则一定是以实数的形式（方程的实根）表示.
例1求函数[y=x3-7x+6]的零点.
错解 令[y=0 ]得[(x-1)(x+3)(x-2)=0.]
所以零点为（1，0）（-3，0）（2，0）.
分析对零点的定义理解不透，零点是定义域内的实数.
正解令[y=0]得[(x-1)(x+3)(x-2)=0.]
所以函数零点为1，-3，2.
二、函数零点判断失误
1. 因函数的图象不是连续不断的而造成
例2函数[f(x)=x+1x]的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
错解因[f(-1)=-2，f(1)=2，]且[x<0]时，[f(x)<0；x>0]时，[f(x)>0]. 所以[f(x)]有一个零点，故选B.
分析函数的定义域决定了函数的一切性质，通过作图可知函数[f(x)=x+1x]的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用.
正解函数的定义域为[x∈R]，且[x≠0]. 当[x>0]时，[f(x)>0]；当[x<0]时，[f(x)<0]. 所以函数没有零点，故选A.
2. 因函数值在零点两侧同号而造成
例3函数[f(x)=2-4-x2][(x∈[-1,1])]的零点个数为 .
错解因[f(-1)=2-3]>0，[f(1)=2-3]>0. 所以函数没有零点，故填0.
分析由于[f(x)]在定义域内是大于等于0的，所以该题不宜用零点存在性定理.
正解令2-[4-x2]=0，解得[x=0]，所以函数仅有一个零点，故填1.
3. 因忽略对函数单调性的讨论而造成
例4判断方程[3x-x2=0]，当[x∈(-∞，0)]时实数根的个数.
错解设函数[f(x)=3x-x2.]
因[f(-1)=23]<0，[f(0)=1>0]，即[f(-1)f(0)<0.]
所以方程[3x-x2=0]，当[x∈(-∞，0)]时，只有一个实数根.
分析本题的结果虽然正确，但步骤明显有漏洞，忽略了对函数单调性的讨论，含根区间内一定有根，但根的个数不一定惟一.
正解因[f(-1)=-23]<0, [f(0)=1>0], 即[f(-1)f(0)<0]，因[f(x)=3x-x2]的图象是连续不断的，所以[f(x)]在（-1，0）内有零点，又[f(x)=3x-x2]在（-1，0）内递增，因此在（-1，0）内只有一个零点，所以方程[3x-x2=0]当[x∈(-∞，0)]时只有一个实数根.
三、分类考虑不全面
函数零点是方程的根，当已知方程的根的性质求函数中的参数范围时，往往会遗漏某个方面.
例5已知[a]是实数，函数[f(x)=2ax2+2x-3-a]，如果函数[y=f(x)]在区间[-1，1]上有零点，求[a]的取值范围.
错解若[a=0]，[f(x)=2x-3]的零点[32][∉][-1，1]不满足条件，所以[a≠0].
①若[f(x)]在[-1，1]内只有一个零点.
则[f(-1)f(1)=(a-5)(a-1)<0]，即[1 ②若[y=f(x)]在[-1，1]上有2个零点，是
[a>0 Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≥0f(-1)≥0]或[a<0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≤0f(-1)≤0]
解得[a≥5]或[a＜-3-72].
综上所求[a]的取值范围是（-∞，[-3-72]）∪（1，+∞）.
分析在求解过程中，遗漏了Δ=0也有可能保证根在[-1，1]上.
正解同上面的解法. 当[a≠0]时，分类讨论应加上③.
③令[Δ=8a2+24a+4=0]，解得[-3±72].
当[a=-3-72]时，[y=f(x)]恰有一个零点在[-1，1]上.
故[a]的取值范围为（-∞，[-3-72]]∪（1，+∞）.
四、用二分法求方程的近似解时，因区间分得不够而导致根在区间外
例6函数[f(x)=x2-5]的零点的近似解是（精确到0.1）（ ）
A. 2.0 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.3
错解D
分析区间分得不够，导致区间两端点的近似值不是同一个数，而且不在区间内. 应再分几次，直到区间端点两数的近似值相等且落在区间内为止.
正解设函数的零点为[x0]，因[f(2)=-1<0]，[f(3)=4>0]，故[x0∈(2，3)]，逐次用二分法计算，列表如下：
端点(中点)值计算中点的函数值符号取区间
[x1=2+32=2.5] [f(2.5)=1.25>0](2，2.5)
[x2=2+2.52=2.25] [f(2.25)=0.0625>0](2.125，2.25)
[x3=2+2.52=2.125] [f(2.125)=-0.4844<0] (2.125，2.25)
[x4=2.1875] [f(2.1875)<0] (2.1875，2.25)
[x5=2.21875][f(2.21875)<0] (2.1875，2.25)
[x6=2.234375][f(2.234375)<0](2.234375，2.25)
[x7=2.2421875] [f(2.2421875)>0] ( 2.234375，2.2421875)
因|2.2421875-2.234375|=0.0078125<0.1.
此时区间(2.234375，2.2421875)的两个端点精确到0.1的近似值均是2.2，故函数零点的近似解是2.2，故选C.
五、忽略实际应用题中自变量的取值范围
例7如图1，在矩形[ABCD]中，己知[AB=a]，[BC=b]，（[a>b]），在[AB、AD、CD、CB]上分别截取[AE、AH、CG、CF]都等于[x]，当[x]为何值时，四边形[EFGH]的面积最大？求出这个最大面积.
错解 设四边形[EFGH]的面积为[S].
则[S△AEH=S△CFG=12x2]，
[S△EBF=S△DHG=12(a-x)(b-x)].
所以[S=ab-2[12x2+][12(a-x)(b-x)]]
[=-2(x-a+b4])2+[(a+b)28].
当[x=a+b4]时，[S]取最大值[(a+b)28].
分析忽略了自变量[x]的值取范围：[0b>0]，所以当[a>3b]时，[a+b4>b]，自变量[x]不能取得[a+b4]，面积[S]不能取得最大值[(a+b)28].
正解同上，得[S=-2(x-a+b4])2+[(a+b)28].
由题意可知函数的定义域为[{x|0b>0]，得[0 若[a+b4≤b]，即[a≤3b，x=a+b4]时能使面积[S]取得最大值[(a+b)28].
若[a+b4>b]，即[a>3b]，函数[S(x)]在[（0,b]]上是增函数，因此当[x=b]时，面积[S]取得最大值[ab-b2].
综合可知，若[a≤3b]，当[x=a+b4]，四边形[EFGH]的面积最大值[(a+b)28]；若[a>3b]，当[x=b]时，四边形[EFGH]的面积取得最大值[ab-b2].
六、对三类具体函数的增长情况区分不明
例8当[x>4]时，下列关系正确的是（ ）
A. [2x]>[x2]>[log2x] B. [x2]>[2x]>[log2x]
C. [2x]>[log2x]>[x2] D. [x2]>[log2x]>[2x]
错解B如图2.
分析在（0，+∞）上，[y=2x]刚开始增长得较慢，随后增长速度越来越快，[y=x2]增长的速度也是越来越快，但不如[y=2x]增长得快，所以[y=2x]和[y=x2]的图象有两个交点（2，4）和（4，16）.
正解A如图3.
零点是定义域的一个实数，而一个真正的点是用坐标形式表示，所以如果求的是函数的零点，则一定是以实数的形式（方程的实根）表示.
例1求函数[y=x3-7x+6]的零点.
错解 令[y=0 ]得[(x-1)(x+3)(x-2)=0.]
所以零点为（1，0）（-3，0）（2，0）.
分析对零点的定义理解不透，零点是定义域内的实数.
正解令[y=0]得[(x-1)(x+3)(x-2)=0.]
所以函数零点为1，-3，2.
二、函数零点判断失误
1. 因函数的图象不是连续不断的而造成
例2函数[f(x)=x+1x]的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
错解因[f(-1)=-2，f(1)=2，]且[x<0]时，[f(x)<0；x>0]时，[f(x)>0]. 所以[f(x)]有一个零点，故选B.
分析函数的定义域决定了函数的一切性质，通过作图可知函数[f(x)=x+1x]的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用.
正解函数的定义域为[x∈R]，且[x≠0]. 当[x>0]时，[f(x)>0]；当[x<0]时，[f(x)<0]. 所以函数没有零点，故选A.
2. 因函数值在零点两侧同号而造成
例3函数[f(x)=2-4-x2][(x∈[-1,1])]的零点个数为 .
错解因[f(-1)=2-3]>0，[f(1)=2-3]>0. 所以函数没有零点，故填0.
分析由于[f(x)]在定义域内是大于等于0的，所以该题不宜用零点存在性定理.
正解令2-[4-x2]=0，解得[x=0]，所以函数仅有一个零点，故填1.
3. 因忽略对函数单调性的讨论而造成
例4判断方程[3x-x2=0]，当[x∈(-∞，0)]时实数根的个数.
错解设函数[f(x)=3x-x2.]
因[f(-1)=23]<0，[f(0)=1>0]，即[f(-1)f(0)<0.]
所以方程[3x-x2=0]，当[x∈(-∞，0)]时，只有一个实数根.
分析本题的结果虽然正确，但步骤明显有漏洞，忽略了对函数单调性的讨论，含根区间内一定有根，但根的个数不一定惟一.
正解因[f(-1)=-23]<0, [f(0)=1>0], 即[f(-1)f(0)<0]，因[f(x)=3x-x2]的图象是连续不断的，所以[f(x)]在（-1，0）内有零点，又[f(x)=3x-x2]在（-1，0）内递增，因此在（-1，0）内只有一个零点，所以方程[3x-x2=0]当[x∈(-∞，0)]时只有一个实数根.
三、分类考虑不全面
函数零点是方程的根，当已知方程的根的性质求函数中的参数范围时，往往会遗漏某个方面.
例5已知[a]是实数，函数[f(x)=2ax2+2x-3-a]，如果函数[y=f(x)]在区间[-1，1]上有零点，求[a]的取值范围.
错解若[a=0]，[f(x)=2x-3]的零点[32][∉][-1，1]不满足条件，所以[a≠0].
①若[f(x)]在[-1，1]内只有一个零点.
则[f(-1)f(1)=(a-5)(a-1)<0]，即[1
[a>0 Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≥0f(-1)≥0]或[a<0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f(1)≤0f(-1)≤0]
解得[a≥5]或[a＜-3-72].
综上所求[a]的取值范围是（-∞，[-3-72]）∪（1，+∞）.
分析在求解过程中，遗漏了Δ=0也有可能保证根在[-1，1]上.
正解同上面的解法. 当[a≠0]时，分类讨论应加上③.
③令[Δ=8a2+24a+4=0]，解得[-3±72].
当[a=-3-72]时，[y=f(x)]恰有一个零点在[-1，1]上.
故[a]的取值范围为（-∞，[-3-72]]∪（1，+∞）.
四、用二分法求方程的近似解时，因区间分得不够而导致根在区间外
例6函数[f(x)=x2-5]的零点的近似解是（精确到0.1）（ ）
A. 2.0 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.3
错解D
分析区间分得不够，导致区间两端点的近似值不是同一个数，而且不在区间内. 应再分几次，直到区间端点两数的近似值相等且落在区间内为止.
正解设函数的零点为[x0]，因[f(2)=-1<0]，[f(3)=4>0]，故[x0∈(2，3)]，逐次用二分法计算，列表如下：
端点(中点)值计算中点的函数值符号取区间
[x1=2+32=2.5] [f(2.5)=1.25>0](2，2.5)
[x2=2+2.52=2.25] [f(2.25)=0.0625>0](2.125，2.25)
[x3=2+2.52=2.125] [f(2.125)=-0.4844<0] (2.125，2.25)
[x4=2.1875] [f(2.1875)<0] (2.1875，2.25)
[x5=2.21875][f(2.21875)<0] (2.1875，2.25)
[x6=2.234375][f(2.234375)<0](2.234375，2.25)
[x7=2.2421875] [f(2.2421875)>0] ( 2.234375，2.2421875)
因|2.2421875-2.234375|=0.0078125<0.1.
此时区间(2.234375，2.2421875)的两个端点精确到0.1的近似值均是2.2，故函数零点的近似解是2.2，故选C.
五、忽略实际应用题中自变量的取值范围
例7如图1，在矩形[ABCD]中，己知[AB=a]，[BC=b]，（[a>b]），在[AB、AD、CD、CB]上分别截取[AE、AH、CG、CF]都等于[x]，当[x]为何值时，四边形[EFGH]的面积最大？求出这个最大面积.
错解 设四边形[EFGH]的面积为[S].
则[S△AEH=S△CFG=12x2]，
[S△EBF=S△DHG=12(a-x)(b-x)].
所以[S=ab-2[12x2+][12(a-x)(b-x)]]
[=-2(x-a+b4])2+[(a+b)28].
当[x=a+b4]时，[S]取最大值[(a+b)28].
分析忽略了自变量[x]的值取范围：[0
正解同上，得[S=-2(x-a+b4])2+[(a+b)28].
由题意可知函数的定义域为[{x|0
若[a+b4>b]，即[a>3b]，函数[S(x)]在[（0,b]]上是增函数，因此当[x=b]时，面积[S]取得最大值[ab-b2].
综合可知，若[a≤3b]，当[x=a+b4]，四边形[EFGH]的面积最大值[(a+b)28]；若[a>3b]，当[x=b]时，四边形[EFGH]的面积取得最大值[ab-b2].
六、对三类具体函数的增长情况区分不明
例8当[x>4]时，下列关系正确的是（ ）
A. [2x]>[x2]>[log2x] B. [x2]>[2x]>[log2x]
C. [2x]>[log2x]>[x2] D. [x2]>[log2x]>[2x]
错解B如图2.
分析在（0，+∞）上，[y=2x]刚开始增长得较慢，随后增长速度越来越快，[y=x2]增长的速度也是越来越快，但不如[y=2x]增长得快，所以[y=2x]和[y=x2]的图象有两个交点（2，4）和（4，16）.
正解A如图3.