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摘要：在企业里，总要生产或采购一定量的产品储存起来，以此解决供应（或生产）与需求（或消费）之间的不协调问题。而报童模型就是典型的随机需求模型，旨在寻找产品的最优订货量，使期望收益最大化或期望损失最小化。本文由浅入深地分析了报童模型在实际问题中的应用，并对其前景提出了展望。
关键词：报童模型;期望收益;概率分布;最优订货量
一、 引言
人们在生产活动或日常生活中往往把所需要的物资、食物或用品暂时储存起来，以备将来的使用或消费。同样，在企业里，也总是要生产或采购一定量的产品储存起来。这种储存物品的现象是为了解决供应（或生产）与需求（或消费）之间的不协调的一种手段。
不论是供应或是需求，都有两个基本问题要考虑：一个是量，即一次供应或需求是多少;另一个是期，也就是时机，即需要什么时候供应或采购。由于一个企业，一个生产单位往往要使用成千上万种不同的物资，并且这些物资的供应（需求）的量和时期往往不是均匀的，而具有随机性，这就使问题复杂化，需要人们去研究如何利用数学工具，将一个实际问题归结为一个数学模型，然后再求出最佳的量和时期的数值。
随着中西方文化交流的日益加深和中国的对外开放程度越来越高，圣诞节在中国日渐盛行。为了烘托节日的氛围，很多家庭都会购买各式各样的小礼物和圣诞树来进行装饰。因此，在圣诞节期间销售圣诞树这对很多商家来说是一个很大的商机。但是，圣诞树体积相对较大，在库存问题上会占据仓库的很大空间，不利于其他商品的储存。而且圣诞树的可销售时间很短，仅为圣诞节的几天，所以圣诞树一旦销售不出去，就很容易造成货物积压。对于商家而言，如果圣诞树的订货量过大，在节日期间销售不出去，无论是将剩余的圣诞树储存起来还是以低于进购价的退回价退还产家，这都是一个很棘手的问题。但若圣诞树的订货量不足，会因供货不足而造成错失利润。因此制定准确的订货策略是销售圣诞树的重点。
二、 预备知识
（一）报童问题
1、报童问题的产生
一个报童从报刊发行处订报后零售，每卖出一份报纸可获利a元，若订报后卖不出去，则退回发行处，每份报纸将要赔钱b元。如果这个报童报纸订购量比当天报纸需求量多，那么他当天的盈利就会因退回报纸而支付的费用而减少;同样的，如果报童报纸订购量比当天报纸需求量少，那么他就无法获得因订购量不足而所应该获得的盈利。那么报童如何根据以往的卖报情况（每天卖出k份的概率P）来推算出每天收益达到最大的订报量n。这就是经典的报童模型。
对于报童，为了使他的收益最大，他需要考虑今天他应该准备多少报纸为宜，对于报社，它也应考虑每期报纸的印数问题。在科学的管理方法和手段在管理实践中运用越来越多的今天，管理者同样需要考虑，怎样改进粗放的管理模式，才能提高企业的管理水平，从而提高企业的效益。在管理实践中，我们会发现，与报童问题类似的问题非常多，商业企业管理者常遇到的一个问题是商品的订货量问题。特别是诸如季节性商品的订货量问题，订货量太少，就会蒙受因销售不出去而遭受的损失。订货量太少，原本可以赚到的利润没有赚到，从某种意义上，这也是一种损失。怎样确定合理的订货量，确实是一个头痛的问题。我们应该看到，这个问题其实就是一个报童问题。我们完全可以使用报童问题的研究方法去解决它。
这样我们就可以将报童问题的研究方法运用到实践中，通过科学的调查、计算，把过去经验的管理方法，上升到科学的管理方法。
2 、报童问题的数学模型
设某报童每日的潜在卖报数服从参数为λ的泊松分布.如果每卖出一份报可得报酬a，卖不掉而退回则每份赔偿b。若某日该报童批进n份报，试求其期望所得。进一步，还要求最佳的批进份数n。
解 若记其真正卖报数为ξ，则ξ与关系如下：
这里的ξ服从截尾泊松分布，即
记所得为η，则η与ξ的关系如下：
因此，期望所得为
这个问题的最终解决是当a， b， λ给定后，求n使M（n）达到极大，这是一个典型的最优化问题，也是报童问题的正确解。
（二）数学期望
1、离散型场合
设ξ为一离散型随机变量，它取值对应的概率为如果级数绝对收敛，则把它称为数学期望，简称期望、期望值或均值，记作。
2、连续性场合
设为具有密度函数p（x）的连续型随机变量，当积分绝对收敛时，我们称它为的数学期望，记作，即=
三、 案例分析
（一）某商家在圣诞节期间销售圣诞树的零售价为a元，购进价为b元，退回价为c元。而一个經营周期的销售量r是一个离散型的随机变量，其分布列为，试确定商家的最佳订货量。
解 设商家每次在圣诞节时订购n棵圣诞树，其获得利润的期望为E（n），若他多订购一棵圣诞树，则这棵圣诞树能够卖出去的概率为，卖不出去的概率为，而商家一个圣诞节期间获利的利润函数为
所以
E（n）=Ef（r，n）=
设圣诞树的订货量为n时，期望收益E（n）最大，则应有不等式
E（n）≥E（n+1）且E（n）≥E（n-1）
而E（n+1）=+
E（n-1）=+
所以
E（n）-E（n+1）=（b-c）≥0
E（n）-E（n-1）=
若记qn=P（r≤n）= 则1-qn=
qn-1=P（r≤n-1）= 而1-qn-1=
所以
E（n）-E（n+1）=（b-c）qn-（a-b）（1-qn）≥0
E（n）-E（n-1）=（a-b）（1-qn-1）-（b-c）qn-1≥0 qn-1≤
即当订货量满足上述不等式时，期望收益的最大值为
（a-c）
（二） MATLAB模拟实验分析
某商家以每棵80元的价格购进圣诞树，以100元/棵的价格销售，根据长期统计，圣诞树每天的销售量以及百分率为：
销售量 500 600 700
概率P 0.6 0.2 0.2
已知圣诞节过后销售不出去的圣诞树将以每棵70元的价格退还给厂家。试确定商家每次圣诞节订购多少圣诞树能使平均总收入最大？
1、问题分析
由题意可知
要使商家获利最大，则要求max{卖出去的圣诞树钱+退回厂家获得的钱-买进圣诞树的总钱数}
那么，我们首先应该确定商家订购圣诞树的数量分布概率，于是我们可以随机产生商家卖圣诞树的10000天的圣诞树订购量.用这10000天的平均收入大致确定其最大利润时的订购量。
也就是说随机生成3×10000的表格，其中每个空格表示在订购量确定销售量随机的情况下当天的利润。
2、 MATLAB编程代码
lr 利润
lr0 当天随机利润
lr1 10000天的总利润之和
dgl 订购量
xsl 销售量
3、代码结果展示
由图2看出，订购量为700时总利润最大，也就是平均利润最大，即问题得到解决。
四、 拓展延伸
报童问题不仅可以运用于离散型问题，同样也可以运用于连续性问题。下面用一个案例来进行探究。
（一）随着全球经济一体化趋势的日益加深，现在很多人都会在网上购买国际商品，庞大的出口跨境电商市场存在着很大的商机。很多卖家为了加快物流速度，尽可能地满足消费者的需求，都会提前将商品运往国外储存起来。但同时也会带来相关的问题，如果储存过多就会出现仓库积压;而如果储存过少就会出现缺货损失。各国对跨境电商产品在质量方面有着高要求，一般不会存在质量问题。但是，并不是所有的买家都会对自己在网上买的商品感到满意，有些买家会因为型号或尺码问题而退货，而且一般买家都享有三十天以内无理由退货服务，可以获得全额退款。因此对于退货商品产生的相关费用，如产品再包装、再入库成本等都由卖家来承担。为了实现成本最小或收益最大，卖家面临着的最优订货量问题和退货问题都影响着最优库存的决策。
假设出口跨境电商一次性订购量为Q，用于跨境电商网上销售，并且在销售前全部经过头程运输存储到海外仓，售价为P，商品售出后，允许顾客无缺陷退货，退货后顾客可得到全部退款，退货产生的退货处理成本为（包括逆向运输、检验、更新、重新包装等消耗）。同时假设跨境电商产品在一个时期内的需求量是一个连续性随机变量，f（x）为其概率密度函数，F（x）为其分布函数，则有
符号 含义 符号 含义
x 产品需求量 S 单位缺货成本
f（x） 需求量概率密度函數 H 单位产品的持有成本
F（x） 需求量分布函数 r 退货率
Q 商品订货批量 Cr 单位退货处理费用
C 商品的取得成本 C0=C-V+H 供过于求过剩产品的单位总成本
P 商品网上售价 Cu=P-C+S 供不应求缺货产品的单位总成本
V 产品的单位残值 C1=C-V+H+Cr 退货产品的单位总成本
（1）当Q≥x时，供过于求产生存储成本，同时由于存在退货，因此额外增加了退货处理费用，总费用期望值为
（2）当Q≤x时，供不应求产生缺货成本，同时由于存在退货，因此额外增加了退货处理费用，总费用期望值为
则总费用的期望值为
因为x是连续变量，可以用求导数的方法求极值
根据莱布尼茨法则：
用于求E（C（Q））对Q的求导，得：
因此最优订货量Q满足下列条件：
F（Q）==P（x≤Q）=
=
=
F（Q）=P（x≤Q）
（二）算例分析
假设某出口电商通过跨境电商平台销售中国制造的女鞋，并提前将这批女鞋运到海外储存。该女鞋的进价是300元/双，网上售价是 550元/双，消费者通过跨境电商平台购买的商品可以进行无缺陷退货，退货后能够得到全部退款，退货过程中会产生退货费用，冬季未售完的（包括退货）均在季末进行清货处理，清货处理的货物不允许退货。求女鞋的最佳订货量。根据以往的销售经验和市场需求预测，该女鞋的需求量服从参数为[100，200]的均匀分布。
为了更加清晰地反映退货对订货决策的影响，下面通过设置不同的退货率和退货费用参数取值来分析最优订货量的影响。假设国外仓库在售卖期的单位持有成本为50元/双 ，单位缺货成本数40元/双，单位处理价是160元/双。
根据信息可知：C=300，P=550，V=160，H=50，S=40，C0=C-V+H=190，Cu=P-C+S=290，令单位退货处理费用为25元，C1=C-V+H+Cr=215，退货率分别为5%，10%，20%，则最优订货批量Q满足：
当 r=5%时 ，则 F（Q）=0.5818;
r=10%时 ，则4 F（Q）=0.5594;
r=20%时，则F（Q）=0.5167;
又因为女鞋的销量服从[100，200]上均匀分布，因此：
则最优的订购量Q分别为158，156，152，很显然，最优订货量随着退货率的增加而不断减少。同理，令退货率为 10%，单位退货处理费用分别为25，55，95，则最优订货批量Q分别为 156，155，154，即最优订货量随着单位退货费用的增加而减少。 五、 总结与展望
（一）报童模型是一个经典的模型，在上述两个例子中，我们可以看出，无论是在离散型的圣诞树问题还是可看作连续型的跨境电商问题上，对于为了使成本最低或收益最大，报童模型都起到了一个很好的作用，运用报童模型，可以算出最优订货量，从而获得最大利润。
（二）报童问题是商品采购问题的一个例子，对该问题的研究和求解可以指导我们在实际中优化采购计划，从而提高商品的销售利润，但在实际中制定商品的采购计划时，我们的目标与约束一般会比报童问题复杂（例如考虑库存成本），因此需要根据实际问题进行建模和求解，不能盲目照搬已有的模型，制定采购计划之前可以采用需求预测（销量预测），但同时也要考虑销量的随机性。
（三）报童模型的应用前景：
（1）回收报童模型
进入2l世纪以来，随着资源危机、环境污染的加剧，可持续发展成为世界各国的主导趋势，随着全球化的进一步发展和企业间竞争的加剧。产品的生命周期更加縮短，退货的条款变得越来越宽松。同时，环保、法律要求越来越高，致使逆向供应链变得越来越重要.甚至影响到整个供应链系统。因此对闭环供应链的研究将具有重大的价值，它不仅可能带来环保和节约的好处，还有可能给企业带来更多的经济利益。考虑回收的报童模型，将会成为研究该类问题重要手段。
（2）电子市场环境下的报童模型研究
在电子商务时代，市场需求变化的速度不断加快，采购管理的复杂性和多变性都大大增加。利用Internet进行采购管理是大型企业电子商务战略中最重要的部分，近年来发展非常迅速。电子采购（E—Procurement）成为美国供应管理协会（ISM）优先支持的研究领域之一。
但目前关于电子采购等电子商务环境下的研究仍比较少，Internet对供应链采购管理的影响也还有许多有待研究的问题。例如Internet怎样应用于采购过程、对采购战略有何影响等。因此，采用报童模型，对电子商务下交易进行定量研究将会有很大的研究空间。
参考文献：
[1]李贤平 概率论基础 高等教育出版社 2010年4月第三版
[2]曹磊 2015—2O16年中国出口跨境电子商务规模报告
[3]庞燕 跨境电商环境下国际物流模式研究
[4]李雪敏 缪立新 徐青青 报童模型的研究进展综述
[5]吴鹏 考虑回收再制造的报童模型扩展
[6]常广庶 徐济超 基于报童模型的电子采购策略研究
[7]高秀明 汤兵勇 服装产品的采购与出清价格的启发式报童模型
作者简介：
陈乐凝（2000—） 女、汉族、河南驻马店、 华中师范大学就读、本科、研究方向：统计学。
作者单位：华中师范大学
关键词：报童模型;期望收益;概率分布;最优订货量
一、 引言
人们在生产活动或日常生活中往往把所需要的物资、食物或用品暂时储存起来，以备将来的使用或消费。同样，在企业里，也总是要生产或采购一定量的产品储存起来。这种储存物品的现象是为了解决供应（或生产）与需求（或消费）之间的不协调的一种手段。
不论是供应或是需求，都有两个基本问题要考虑：一个是量，即一次供应或需求是多少;另一个是期，也就是时机，即需要什么时候供应或采购。由于一个企业，一个生产单位往往要使用成千上万种不同的物资，并且这些物资的供应（需求）的量和时期往往不是均匀的，而具有随机性，这就使问题复杂化，需要人们去研究如何利用数学工具，将一个实际问题归结为一个数学模型，然后再求出最佳的量和时期的数值。
随着中西方文化交流的日益加深和中国的对外开放程度越来越高，圣诞节在中国日渐盛行。为了烘托节日的氛围，很多家庭都会购买各式各样的小礼物和圣诞树来进行装饰。因此，在圣诞节期间销售圣诞树这对很多商家来说是一个很大的商机。但是，圣诞树体积相对较大，在库存问题上会占据仓库的很大空间，不利于其他商品的储存。而且圣诞树的可销售时间很短，仅为圣诞节的几天，所以圣诞树一旦销售不出去，就很容易造成货物积压。对于商家而言，如果圣诞树的订货量过大，在节日期间销售不出去，无论是将剩余的圣诞树储存起来还是以低于进购价的退回价退还产家，这都是一个很棘手的问题。但若圣诞树的订货量不足，会因供货不足而造成错失利润。因此制定准确的订货策略是销售圣诞树的重点。
二、 预备知识
（一）报童问题
1、报童问题的产生
一个报童从报刊发行处订报后零售，每卖出一份报纸可获利a元，若订报后卖不出去，则退回发行处，每份报纸将要赔钱b元。如果这个报童报纸订购量比当天报纸需求量多，那么他当天的盈利就会因退回报纸而支付的费用而减少;同样的，如果报童报纸订购量比当天报纸需求量少，那么他就无法获得因订购量不足而所应该获得的盈利。那么报童如何根据以往的卖报情况（每天卖出k份的概率P）来推算出每天收益达到最大的订报量n。这就是经典的报童模型。
对于报童，为了使他的收益最大，他需要考虑今天他应该准备多少报纸为宜，对于报社，它也应考虑每期报纸的印数问题。在科学的管理方法和手段在管理实践中运用越来越多的今天，管理者同样需要考虑，怎样改进粗放的管理模式，才能提高企业的管理水平，从而提高企业的效益。在管理实践中，我们会发现，与报童问题类似的问题非常多，商业企业管理者常遇到的一个问题是商品的订货量问题。特别是诸如季节性商品的订货量问题，订货量太少，就会蒙受因销售不出去而遭受的损失。订货量太少，原本可以赚到的利润没有赚到，从某种意义上，这也是一种损失。怎样确定合理的订货量，确实是一个头痛的问题。我们应该看到，这个问题其实就是一个报童问题。我们完全可以使用报童问题的研究方法去解决它。
这样我们就可以将报童问题的研究方法运用到实践中，通过科学的调查、计算，把过去经验的管理方法，上升到科学的管理方法。
2 、报童问题的数学模型
设某报童每日的潜在卖报数服从参数为λ的泊松分布.如果每卖出一份报可得报酬a，卖不掉而退回则每份赔偿b。若某日该报童批进n份报，试求其期望所得。进一步，还要求最佳的批进份数n。
解 若记其真正卖报数为ξ，则ξ与关系如下：
这里的ξ服从截尾泊松分布，即
记所得为η，则η与ξ的关系如下：
因此，期望所得为
这个问题的最终解决是当a， b， λ给定后，求n使M（n）达到极大，这是一个典型的最优化问题，也是报童问题的正确解。
（二）数学期望
1、离散型场合
设ξ为一离散型随机变量，它取值对应的概率为如果级数绝对收敛，则把它称为数学期望，简称期望、期望值或均值，记作。
2、连续性场合
设为具有密度函数p（x）的连续型随机变量，当积分绝对收敛时，我们称它为的数学期望，记作，即=
三、 案例分析
（一）某商家在圣诞节期间销售圣诞树的零售价为a元，购进价为b元，退回价为c元。而一个經营周期的销售量r是一个离散型的随机变量，其分布列为，试确定商家的最佳订货量。
解 设商家每次在圣诞节时订购n棵圣诞树，其获得利润的期望为E（n），若他多订购一棵圣诞树，则这棵圣诞树能够卖出去的概率为，卖不出去的概率为，而商家一个圣诞节期间获利的利润函数为
所以
E（n）=Ef（r，n）=
设圣诞树的订货量为n时，期望收益E（n）最大，则应有不等式
E（n）≥E（n+1）且E（n）≥E（n-1）
而E（n+1）=+
E（n-1）=+
所以
E（n）-E（n+1）=（b-c）≥0
E（n）-E（n-1）=
若记qn=P（r≤n）= 则1-qn=
qn-1=P（r≤n-1）= 而1-qn-1=
所以
E（n）-E（n+1）=（b-c）qn-（a-b）（1-qn）≥0
E（n）-E（n-1）=（a-b）（1-qn-1）-（b-c）qn-1≥0 qn-1≤
即当订货量满足上述不等式时，期望收益的最大值为
（a-c）
（二） MATLAB模拟实验分析
某商家以每棵80元的价格购进圣诞树，以100元/棵的价格销售，根据长期统计，圣诞树每天的销售量以及百分率为：
销售量 500 600 700
概率P 0.6 0.2 0.2
已知圣诞节过后销售不出去的圣诞树将以每棵70元的价格退还给厂家。试确定商家每次圣诞节订购多少圣诞树能使平均总收入最大？
1、问题分析
由题意可知
要使商家获利最大，则要求max{卖出去的圣诞树钱+退回厂家获得的钱-买进圣诞树的总钱数}
那么，我们首先应该确定商家订购圣诞树的数量分布概率，于是我们可以随机产生商家卖圣诞树的10000天的圣诞树订购量.用这10000天的平均收入大致确定其最大利润时的订购量。
也就是说随机生成3×10000的表格，其中每个空格表示在订购量确定销售量随机的情况下当天的利润。
2、 MATLAB编程代码
lr 利润
lr0 当天随机利润
lr1 10000天的总利润之和
dgl 订购量
xsl 销售量
3、代码结果展示
由图2看出，订购量为700时总利润最大，也就是平均利润最大，即问题得到解决。
四、 拓展延伸
报童问题不仅可以运用于离散型问题，同样也可以运用于连续性问题。下面用一个案例来进行探究。
（一）随着全球经济一体化趋势的日益加深，现在很多人都会在网上购买国际商品，庞大的出口跨境电商市场存在着很大的商机。很多卖家为了加快物流速度，尽可能地满足消费者的需求，都会提前将商品运往国外储存起来。但同时也会带来相关的问题，如果储存过多就会出现仓库积压;而如果储存过少就会出现缺货损失。各国对跨境电商产品在质量方面有着高要求，一般不会存在质量问题。但是，并不是所有的买家都会对自己在网上买的商品感到满意，有些买家会因为型号或尺码问题而退货，而且一般买家都享有三十天以内无理由退货服务，可以获得全额退款。因此对于退货商品产生的相关费用，如产品再包装、再入库成本等都由卖家来承担。为了实现成本最小或收益最大，卖家面临着的最优订货量问题和退货问题都影响着最优库存的决策。
假设出口跨境电商一次性订购量为Q，用于跨境电商网上销售，并且在销售前全部经过头程运输存储到海外仓，售价为P，商品售出后，允许顾客无缺陷退货，退货后顾客可得到全部退款，退货产生的退货处理成本为（包括逆向运输、检验、更新、重新包装等消耗）。同时假设跨境电商产品在一个时期内的需求量是一个连续性随机变量，f（x）为其概率密度函数，F（x）为其分布函数，则有
符号 含义 符号 含义
x 产品需求量 S 单位缺货成本
f（x） 需求量概率密度函數 H 单位产品的持有成本
F（x） 需求量分布函数 r 退货率
Q 商品订货批量 Cr 单位退货处理费用
C 商品的取得成本 C0=C-V+H 供过于求过剩产品的单位总成本
P 商品网上售价 Cu=P-C+S 供不应求缺货产品的单位总成本
V 产品的单位残值 C1=C-V+H+Cr 退货产品的单位总成本
（1）当Q≥x时，供过于求产生存储成本，同时由于存在退货，因此额外增加了退货处理费用，总费用期望值为
（2）当Q≤x时，供不应求产生缺货成本，同时由于存在退货，因此额外增加了退货处理费用，总费用期望值为
则总费用的期望值为
因为x是连续变量，可以用求导数的方法求极值
根据莱布尼茨法则：
用于求E（C（Q））对Q的求导，得：
因此最优订货量Q满足下列条件：
F（Q）==P（x≤Q）=
=
=
F（Q）=P（x≤Q）
（二）算例分析
假设某出口电商通过跨境电商平台销售中国制造的女鞋，并提前将这批女鞋运到海外储存。该女鞋的进价是300元/双，网上售价是 550元/双，消费者通过跨境电商平台购买的商品可以进行无缺陷退货，退货后能够得到全部退款，退货过程中会产生退货费用，冬季未售完的（包括退货）均在季末进行清货处理，清货处理的货物不允许退货。求女鞋的最佳订货量。根据以往的销售经验和市场需求预测，该女鞋的需求量服从参数为[100，200]的均匀分布。
为了更加清晰地反映退货对订货决策的影响，下面通过设置不同的退货率和退货费用参数取值来分析最优订货量的影响。假设国外仓库在售卖期的单位持有成本为50元/双 ，单位缺货成本数40元/双，单位处理价是160元/双。
根据信息可知：C=300，P=550，V=160，H=50，S=40，C0=C-V+H=190，Cu=P-C+S=290，令单位退货处理费用为25元，C1=C-V+H+Cr=215，退货率分别为5%，10%，20%，则最优订货批量Q满足：
当 r=5%时 ，则 F（Q）=0.5818;
r=10%时 ，则4 F（Q）=0.5594;
r=20%时，则F（Q）=0.5167;
又因为女鞋的销量服从[100，200]上均匀分布，因此：
则最优的订购量Q分别为158，156，152，很显然，最优订货量随着退货率的增加而不断减少。同理，令退货率为 10%，单位退货处理费用分别为25，55，95，则最优订货批量Q分别为 156，155，154，即最优订货量随着单位退货费用的增加而减少。 五、 总结与展望
（一）报童模型是一个经典的模型，在上述两个例子中，我们可以看出，无论是在离散型的圣诞树问题还是可看作连续型的跨境电商问题上，对于为了使成本最低或收益最大，报童模型都起到了一个很好的作用，运用报童模型，可以算出最优订货量，从而获得最大利润。
（二）报童问题是商品采购问题的一个例子，对该问题的研究和求解可以指导我们在实际中优化采购计划，从而提高商品的销售利润，但在实际中制定商品的采购计划时，我们的目标与约束一般会比报童问题复杂（例如考虑库存成本），因此需要根据实际问题进行建模和求解，不能盲目照搬已有的模型，制定采购计划之前可以采用需求预测（销量预测），但同时也要考虑销量的随机性。
（三）报童模型的应用前景：
（1）回收报童模型
进入2l世纪以来，随着资源危机、环境污染的加剧，可持续发展成为世界各国的主导趋势，随着全球化的进一步发展和企业间竞争的加剧。产品的生命周期更加縮短，退货的条款变得越来越宽松。同时，环保、法律要求越来越高，致使逆向供应链变得越来越重要.甚至影响到整个供应链系统。因此对闭环供应链的研究将具有重大的价值，它不仅可能带来环保和节约的好处，还有可能给企业带来更多的经济利益。考虑回收的报童模型，将会成为研究该类问题重要手段。
（2）电子市场环境下的报童模型研究
在电子商务时代，市场需求变化的速度不断加快，采购管理的复杂性和多变性都大大增加。利用Internet进行采购管理是大型企业电子商务战略中最重要的部分，近年来发展非常迅速。电子采购（E—Procurement）成为美国供应管理协会（ISM）优先支持的研究领域之一。
但目前关于电子采购等电子商务环境下的研究仍比较少，Internet对供应链采购管理的影响也还有许多有待研究的问题。例如Internet怎样应用于采购过程、对采购战略有何影响等。因此，采用报童模型，对电子商务下交易进行定量研究将会有很大的研究空间。
参考文献：
[1]李贤平 概率论基础 高等教育出版社 2010年4月第三版
[2]曹磊 2015—2O16年中国出口跨境电子商务规模报告
[3]庞燕 跨境电商环境下国际物流模式研究
[4]李雪敏 缪立新 徐青青 报童模型的研究进展综述
[5]吴鹏 考虑回收再制造的报童模型扩展
[6]常广庶 徐济超 基于报童模型的电子采购策略研究
[7]高秀明 汤兵勇 服装产品的采购与出清价格的启发式报童模型
作者简介：
陈乐凝（2000—） 女、汉族、河南驻马店、 华中师范大学就读、本科、研究方向：统计学。
作者单位：华中师范大学