从阿波尼斯圆谈起

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  摘要:高考试题,立足教材,能力立意;数学学习,发展思维,终身受益。数学是一种追求思维深度的艺术,宁静方能致远!探究要有深度、厚度、广度,需要我们教师适时引领。本文以阿波尼斯圆为切入点展开了探究。
  关键词:数学教学;阿伯尼斯园;教师;学生
  中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)09-0127
  已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆。
  这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆。它的证明可用坐标法实现,也可用三角形的内外角平分线(逆)定理——几何法实现(如图)。
  由∵∠1=∠2∴■=■由∵∠3=∠4∴■=■
  可见∠2 ∠3=■ ■=■=■∴PM⊥PN故P点的轨迹是以MN为直径的圆。M、N分别是线段AB的内分点与外分点。
  阿氏圆在现行教材人教社A版《必修二》第四章出现了三处之多,P134 B组3题,P139用《几何画板》探究点的轨迹:圆,P144B组2题。如此高频率的出现,编者难道是无心插柳?事实上真可谓重要的事情说三遍!编者在P141写到:“类似地,用《几何画板》可以探究许多轨迹方面的问题,《几何画板》为我们提供了一个实验、发现、猜想的环境,这种环境可以启发我们用数学思想方法验证我们的猜想”试着想下去,阿氏圆是到两定点的距离之比为定值,那么到两定点的距离之和、差、积为定值?不得不说是暗暗为圆锥曲线的学习埋下了伏笔。
  在教学实践活动中,笔者以三处问题为载体,有机融合为一体,引入阿波罗尼斯圆,倡导学生勇于探索,大胆尝试,积极寻求有效的问题解决方法,学生能够批判质疑,辩证地分析问题,做出选择与决定。教师经常这样不断的引领,让学生勤于反思,学会学习,才会具有终身学习的意识和能力,高考中才会立于不败之地。
  与阿波罗尼斯圆有关的高考试题近些年屡见不鲜,下面笔者纵向深入,以一个省份——江苏高考与阿波罗尼斯圆的关系见证。
  例1. (2008年江苏)若AB=2,AC=■BC,则S△ABC的最大值——
  分析:本题以求由初中知识三角形的面积切入,也可以由正余弦定理、三角形面积公式切入,还可以由海伦公式切入,都不及用以阿波罗尼斯圆半径为高,面积最大,简洁方便。本题以三角形面积为载体,巧妙将高中数学的主干知识与数学思想、数学方法交汇一体,真不失为一道看似淡雅,实则内涵浓深的好题!
  例2. (2013年江蘇 14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4。
  设圆C的半径为1,圆心在l上。
  (1)若圆心C也在直线上y=x-1,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
  (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围。
  分析:第一问简单。第二问如果能透过现象揭示本质,认清楚命题意图是想考察阿波罗尼斯圆与圆C的位置关系,将会迎刃而解。
  解:(1)联立:y=x-1y=2x-4,得圆心为:C(3,2).
  当k存在,设切线为:y=kx 3,
  d=■=r=1,得:k=0 or k=-■a.
  故所求切线为:y=0 or k=-■x 3.
  (2)设点M(x,y),由MA=2MO,知:■=2■
  化简得:x2 (y 1)2=4,
  即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.
  又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.
  故:1≤|CD|≤3,其中|CD|=■
  解之得:0≤a≤■
  高考试题,立足教材,能力立意;数学学习,发展思维,终身受益。数学是一种追求思维深度的艺术,宁静方能致远!探究要有深度、厚度、广度,需要我们教师适时引领。
  (作者单位:山西省大同市第一中学校 037000)
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