一、见角平分线兼垂直补全等腰三角形
　　例1如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD.
　　
　　求证:CE=BD.
　　分析:如图1,因BD平分∠ABC,BD⊥CE,故可考虑延长CE交BA的延长线于F,则△BFC为等腰三角形,FC=2CE,只要证BD=FC即可.
　　二、见三角形一边中点作平行辅助线,构造三角形中位线,运用其定理和推论
　　例2 如图2,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE的延长线与AC的交点.
　　求证:AF=FC.
　　分析:因AD是△ABC的中线,即D为BC的中点,故可过D点作BF的平行线,得到FH=HC,要证AF=FC,只要证AF=FH即可,因E为AD的中点,DH//BF,故AF=FH,问题得证.
　　三、见三角形中线加倍,可延长三角形中线,构造出两个全等三角形,使已知条件由分散到集中
　　例3 如图3,D为BC上的一点,DC=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ADB的中线.
　　求证:AC=2AE.
　　分析:要证AC=2AE,可延长AE至F,使EF=AE,证明AF=AC即可,因AE是△ABD的中线,只要证明△AFD≌△ACD即可.
　　四、见圆中弦常作弦心距,见直径常作直径所对的圆周角
　　例4如图4,在⊙O中,弦AB与弦CD互相垂直,垂足为E,又AE=3,EB=7,求O点到CD的距离.
　　分析:求O点到CD的距离实际就是求弦心距的长,故过O作OF⊥CD,OH⊥AB,F、H分别为垂足,由于已知AE、EB的长,把求OF的长转化为求EH的长就易解了.
　　例5如图5,以△ABC的边AB为直径的半圆,C点是半圆上的一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN,BN⊥MN,CD⊥AB.
　　
　　求证:(1)CD=CM=CN;(2)CD2=AM·BN.
　　分析:见直径AB,连结AC、BC,得AC⊥BC,易证△AMC≌△ADC,同理△CDB≌△CNB,结论(1)得证.
　　在Rt△ACB中,CD⊥AB,CD2=AD?DB,又AD=AM,DB=BN,结论(2)得證.
　　五、见圆切线常作过切点的半径或作弦切角
　　例6如图6,已知AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD与⊙O在点C的切线互相垂直,垂足为D.
　　求证:AC平分∠DAB.
　　分析:见切线CD,故连结过切点C的半径OC,
　　则OC⊥CD,又AD⊥CD,∴AD//OC,为进一步证AC平
　　分∠DAB创造有利条件.
　　例7 如图7,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C,BD⊥CD,CE⊥AB.
　　求证:CD2=AE·EB.
　　分析:因CD为圆的切线,故连结BC,
　　得弦切角∠1与∠A相等,进一步证明
　　∠1=∠2,可证得Rt△BCE≌Rt△BDC,则CD=CE,连结AC,易得ED2=AE·EB,问题得证.
　　六、见两圆相交,常作公共弦,构成圆内接四边形
　　例8如图8,两圆相交于A、B两点,过A点的直线交两圆于C、D,过B点的直线交两圆于E、F.
　　
　　求证:EC//FD.
　　分析:⊙O1与⊙O2相交,故连结公共弦AB,图中出现两个圆内接四边形,利用圆内四边形对角互补的性质易得证.
　　七、见两圆相切,常作公切线
　　例9如图9,⊙O和⊙O′外切于点E,AC是外公切线,A、C是切点,AB是⊙O的直径,BD是⊙O′的切线,D是切点.
　　
　　求证:(1)AE⊥CE;(2)AB=BD.
　　分析:⊙O与⊙O′外切,故过切
　　点E作两圆的公切线交AC于F,由切线
　　长定理,知AF=FE=FC,所以AE⊥CE.连结BE,易知B、E、C在一条直线上,因BD切⊙O′于D,BD2=BE·BC,在Rt△ABC中,易证AB2=BE·BC,所以AB=BD.
　　八、见两圆的内、外公切线,常作出特殊的Rt△,利用Rt△的性质帮助解题
　　例10如图10,半径为4的两个等圆,它们的内公切线互相垂直,求两圆的圆心距.
　　
　　分析:有两圆的公切线,故考虑
　　连结O1 O2与切点并延长,过O2作O2P
　　⊥O1 P,出现Rt△O1 P O2,由于两内公切线互相垂直,故Rt△是等腰直角三角形,所以O1 O2=。