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摘 要：为获得更为复杂的混沌同步关系，针对两个不同分数阶超混沌系统，考虑时变尺度函数矩阵和系统参数未知情形，提出一种修正函数投影同步方法.研究结合同步误差系统，设计出同步控制器和未知参数自适应律，并采用Lyapunov稳定性理论证明同步误差的渐进稳定性.以分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统为例，仿真结果验证了该修改函数投影同步方法的有效性.
关键词：分数阶；超混沌系统；时变尺度函数；修正函数投影同步；参数估计
中图分类号：TP273 文献标志码：A
0 引言
混沌同步在保密通信领域有着巨大的应用前景，自Pecora等[1]首次在电路实验中实现混沌同步以来，其已成为非线性科学研究领域的一个热门研究课题[2-3].投影同步是重要的混沌同步类型，其主要特点为驱动系统与响应系统间的所有状态变量按照一定的比例关系同步[4].十几年来，人们借鉴投影同步思想，进一步提出修正函数投影同步（MFPS）[5]，其本质是现有投影同步（PS）、修正投影同步（MPS）[6]、函数投影同步（FPS）[7]等同步方案的扩展，主要特征为驱动系统与响应系统的状态变量同步到一个尺度函数矩阵.MFPS由于具有更为复杂的驱动系统与响应系统同步关系，且函数矩阵中的不同尺度函数因子更具不可预测性；因此可进一步提高混沌同步保密通信的抗破译能力.
自20世纪末以来，分数阶混沌系统及其同步研究受到了人们的广泛关注.目前，以分数阶混沌或超混沌系统作为对象、驱动系统与响应系统的状态被同步至常数尺度因子的PS方法[8]，同步到定常尺度矩阵的MPS方法[9]，以及同步到尺度函数的FPS方法[10]等均有研究报道.鉴于MFPS可获得更为复杂的同步关系，最近，文献[11]以一类部分线性的分数阶混沌系统作为驱动系统，利用驱动-响应同步原理，通过单变量耦合构造出此类系统的响应子系统，考虑时变函数矩阵作为尺度函数矩阵，并根据分数阶系统的Routh-Hurwitz条件，提出一种分数阶混沌系统的MFPS方法；文献[12]以分数阶和整数阶的统一混沌系统分别作为驱动系统和响应系统，采用主动控制思想，结合Lyapunov函数稳定性定理，提出具有自适应特性的MFPS方法.从现有资料看，分数阶混沌系统的MFPS主要采用同构系统作为研究对象，且少考虑系统参数的不确知性.
鉴于超混沌系统相比混沌系统具有更高的复杂性和不确定性；实际应用中难以获得两个完全相同的混沌系统，不同混沌系统间的同步更具广泛性，利于工程实现；实际混沌系统参数完全可能不确知或是漂移的，同步系统间的参数往往会发生偏离[13].本文为增强混沌同步保密通信系统的抗破译性能，针对两个不同分数阶超混沌系统的MFPS问题，考虑系统参数未知情形，提出一种MFPS方法.研究以显含时间的时变函数矩阵作为尺度函数矩阵，根据主动控制思想，从同步误差方程出发，设计出带有系统参数分数阶自适应估计律的MFPS控制器，采用Lyapunov稳定性理论证明同步误差系统的渐进稳定性，并以分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统为例，仿真结果验证了该同步方法的有效性.
1 分数阶超混沌系统MFPS数学模型
考虑如下形式的分数阶超混沌驱动系统和响应系统：
D■■x=f（x） （1）
D■■y=g（y）+u（t） （2）
式中：q∈（0，1）为分数阶微分阶次参数；D■■表示Caputo定义下阶次为q的分数阶微分算子[14]；x=（x1，x2，…，
xn）T∈ 分别为驱动系统和响应系统的状态向量；u是待设计的同步控制器.
定义1 对于任意初始状态的分数阶超混沌系统（1）和系统（2），在u的控制作用下，满足关系：
（3）
式中，H（t）=diag（h1（t），h2（t），…，hn（t））表示时变且可微的对角矩阵，则称驱动系统（1）和响应系统（2）实现MFPS[15].
定义驱动系统与响应系统的同步误差向量：
e=y-H（t）x （4）
式中， R ，且ei=yi-hi（t）xi ， （i=1， 2，…， n）.式（3）关系等价为同步误差距离满足关系
.
当h1（t）=h2（t）=…=hn（t）时，MFPS变为FPS；若h1（t）=h2（t）=…=hn（t）=常数，则MFPS退化为PS；当H（t）=I和H（t）=-I时，I为单位矩阵， MFPS将简化为完全同步和反相同步情形；因此，MFPS方案作为一种广义的同步类型，可获得较为复杂的驱动系统与响应系统同步关系，有利于提高混沌同步通信系统的保密性能.其中，设计恰当的同步控制规律u（t）是实现MFPS的關键.
2 MFPS控制器设计
将式（1）和式（2）整理成如下形式：
D■■x=f1（x）+f2（x）α （5）
D■■y=g1（y）+g2（y）β+u（t） （6）
式中， 分别表示驱动系统和响应系统的参数向量； 是连续函数向量；
为连续函数矩阵.结合式（5）和式（6）可得出同步误差系统：
D■■e（t）=D■■y-D■■[H（t）x]=g1（y）+g2（y）β-H（t）[f1（x）+f2（x）α]-[D■■H（t）]x+u（t） （7）
考虑系统参数均不确知情形，引入 分别表示驱动系统与响应系统的参数估计向量，并定义系统参数的估计误差向量：
eα=■-α，eβ=■-β （8）
式中，eα=（ea1， ea2，…， eam）T，eβ=（eb1， eb2，…， ebl）T.
根据主动控制思想，可设计如下的同步控制器u（t）： u（t）=-g1（y）-g2（y）■+H（t）[f1（x）+f2（x）■]+[D■■H（t）]x-Ke（t） （9）
驱动系统参数的分数阶自适应估计律：
D■■■=-f■■（x）H（t）e（t）-Peα （10）
以及响应系统参数的自适应估计律：
（11）
式中：增益矩阵K=diag（k1，k2，…，kn）， P=diag（p1， p2，…， pm）和 Q=diag（q1， q2，…， ql）均为正定矩阵，即K，P和Q中的各对角元素都大于0.
定理1 对于如下形式的分数阶动力学系统[16]：
D■■X=A（X）X （12）
其中： ， q∈（0，1].如果存在一个正定对称矩阵 ，且满足如下关系：
（13）
则系统（12）渐进稳定.
同步误差系统的稳定性证明：
构造如下形式的标量函数：
（14）
将式（7）～式（11）代入式（14），有：
结合定理1可知，在式（9）的控制规律作用下，当t→∞时，可使得同步误差系统（7）渐进稳定[16].
3 应用实例
3.1 实例的相关数学模型
选取分数阶超混沌Chen系统[17] ：
D■■x1=a1（x2-x1）+x4D■■x2=a2x1-x1x3+a3x2D■■x3=x1x2-a4x3D■■x4=x2x3+a5x4 （15）
作为响应系统，以及采用分数阶超混沌Lorenz系统建立如下响应系统[18]：
D■■y1=b1（y2-y1）+y4+u1D■■y2=b2y1-y1y3-y2+u2D■■y3=y1y2-b3y3+u3D■■y4=-y1y3+b4y4+u4 （16）
根据式（15）和式（16）可知，两系统状态向量分别为x=（x1， x2， x3， x4）T和y=（y1， y2， y3， y4）T；参数向量分别为α=（a1， a2， a3， a4， a5）T和β=（b1， b2， b3， b4）T；控制向量u=（u1， u2， u3， u4）T；对应的系统函数向量和矩阵形式为：
f1（x）= ， f2（x）= ，
（17）
g1（y）= ， g2（y）=
当α=（35，7，12，3，0.5）T，β=（10，28，8/3，-1）T，q=0.95时，两分数阶系统的自由运动均处超混沌状态[17-18].利用预估-校正算法数值求解分数阶系统[19]，图1示出了分数阶Chen系统和分数阶Lorenz系统的超混沌吸引子.
选取时变函数矩阵H（t）为：
H（t）=diag（h1（t），h2（t），h3（t），h4（t））=diag（1+sint，1+cost，2sint，2cost） （18）
则根据式（9）设计出同步控制器数学表达式：
（19）
并分别根据式（10）和式（11），得出驱动系统的参数自适应估计律：
（20）
以及响应系统的参数自适应估计律：
（21）
3.2 实例的同步仿真结果及分析
采用MATLAB软件仿真环境，分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统的系统参数大小，以及分数阶次q的取值如前所述；两系统的初始状态分别为x（0）=（8， -5， 20， 10）T和y（0）=（2， 6， 9， 2）T；选取仿真积分步长0.001 s，各增益矩阵的对角元素取值（k1， k2， k3， k4）=（20，100，160，800），（p1， p2， p3， p4， p5）=（600， 80， 40， 600， 560），（q1， q2， q3， q4）=（70， 60， 640， 60），并假定系統参数的估计初值■（0）=■（0）=0.为验证本文所提出同步方法的有效性，仿真中先让驱动系统和响应系统自由演化4 s，使系统运动充分进入超混沌轨道状态，然后再对分数阶超混沌Lorenz响应系统施加式（19）形式的控制作用.
图2示出了分数阶超混沌Chen系统与分数阶超混沌Lorenz系统间实现MFPS的状态变化轨线.图3是同步误差演化图.由图2和图3可见，施加同步控制作用前，响应系统和驱动系统呈现两个完全不同的超混沌运动轨迹；在施加同步控制作用后，带时变函数比例因子的驱动系统和响应系统间快速实现同步，且各状态轨线满足关系yi=Ri（t）=hi（t）xi，i=（1，2，3，4），同时同步误差迅速为0.图4和图5分别给出了驱动系统和响应系统的参数估计变化曲线.由图4和图5明显看出，参数的分数阶自适应估计律可使得系统未知参数的估计值最终与真实值相同.这些图示结果表明，本文基于Lyapunov稳定性理论的分数阶超混沌系统MFPS方法稳定收敛且有效.
4 结语
研究提出一种系统参数未知、两个不同分数阶超混沌系统的MFPS方法.由于该同步方法的尺度矩阵是时变函数矩阵H（t），这使得分数阶超混沌系统的同步关系具有更强的复杂度和不可预测性，且完全同步、反相同步、函数投影同步等均为该同步方法的特例.研究基于Lyapunov稳定性理论设计出具有未知参数分数阶自适应估计律的同步控制器，并以实现分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统间的MFPS为例，仿真结果验证了该同步方法的有效性.研究结果为探索更为复杂的混沌同步关系，提高混沌保密通信系统的抗破译性能，提供了有用的同步方法参考.
参考文献
[1] PECORA L M，CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Physical Review Letters，1990，64（8）：821-823. [2] WU X J， WANG H， LU H T. Modified generalized projective synchronization of a new fractional-order hyperchaotic system and its application to secure communication[J].Nonlinear Analysis： Real World Applications，2012， 13（3）：1441-1450.
[3] 赵宁， 高远， 范健文，等. 分数阶混沌系统的广义同步研究[J].广西工学院学报，2012， 23（2）：14-18.
[4] MAINIERI R， REHACEK J. Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems[J]. Physical Review Letters，
1999，82（82）：3042-3045.
[5] BAI J， YU Y G， WANG S， et al. Modified projective synchronization of uncertain fractional order hyperchaotic systems[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation，2012，17（4）：1921-1928.
[6] GAO Y， LIANG C H， WU Q Q， et al. A new fractional-order hyperchaotic system and its modified projective synchronization[J]. Chaos Solitons and Fractals，2015，76（9）：190-204.
[7] 董俊，张广军，姚宏，等. 异结构的分数阶超混沌系统函数投影同步及参数辨识[J]. 电子与信息学报，2013，35（6）：
1371-1375.
[8] ZHOU P， BAI R J， ZHENG J M. Projective synchronization for a class of fractional-order chaotic systems with fractional-order in the （1，2） interval[J]. Entropy，2015，17（3）：1123-1134.
[9] 李建芬，李农，陈长兴. 利用单驱动变量实现一类分数阶混沌系统的修正投影同步[J]. 物理学报，2010，59（11）：
7644-7649.
[10] ZHOU P， ZHU W. Function projective synchronization for fractional-order chaotic systems[J]. Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12（2）：811-816.
[11] 杨叶红， 肖剑， 马珍珍. 部分线性的分数阶混沌系统修正函数投影同步[J]. 物理学报，2013，62（18）：66-72.
[12] GUAN J B. Adaptive modified generalized function projection synchronization between integer-order and fractional-order chaotic systems[J]. Optik - International Journal for Light and Electron Optics，2016，127 （10）：4211-4216.
[13] 李睿，张广军，赵静波，等. 分数阶混沌系统广义混合投影同步与参数辨识[J]. 计算机仿真，2014，31（12）：325-328.
[14] PETR？魣？譒 I. Fractional-order nonlinear systems[M]. Beijing： Higher Education PRESS，2011.
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[18] 崔力，欧青立，徐兰霞. 分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真[J]. 电子测量技术，2010，33（5）：13-16.
[19] 冯颖凌，王建宏，周智，等. 加控制器的预估-校正算法在分数阶Chen混沌系统中的实现[J]. 数学的实践与认识，
2015，45（23）：255-259.
Abstract： In order to obtain more complex chaos synchronization relationships， considering the time-varying scaling function matrix， the paper proposes a modified function projective synchronization（MFPS） method for two different fractional-order hyperchaotic systems with unknown system parameters. The MFPS controller and fractional-order adaptive estimator of unknown system parameters are designed， and then the asymptotic stability of synchronization error system with presented controller is proved by Lyapunov stability theory. The MFPS between fractional-order hyper-chaotic Chen system and fractional-order hyper-chaotic Lorenz system is taken as a typical example， the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed MFPS method.
Key words： fractionalorder； hyper-chaotic system； time-varying scaling function； modified function projective synchronization； parameter estimation
（学科编辑：黎 娅）
关键词：分数阶；超混沌系统；时变尺度函数；修正函数投影同步；参数估计
中图分类号：TP273 文献标志码：A
0 引言
混沌同步在保密通信领域有着巨大的应用前景，自Pecora等[1]首次在电路实验中实现混沌同步以来，其已成为非线性科学研究领域的一个热门研究课题[2-3].投影同步是重要的混沌同步类型，其主要特点为驱动系统与响应系统间的所有状态变量按照一定的比例关系同步[4].十几年来，人们借鉴投影同步思想，进一步提出修正函数投影同步（MFPS）[5]，其本质是现有投影同步（PS）、修正投影同步（MPS）[6]、函数投影同步（FPS）[7]等同步方案的扩展，主要特征为驱动系统与响应系统的状态变量同步到一个尺度函数矩阵.MFPS由于具有更为复杂的驱动系统与响应系统同步关系，且函数矩阵中的不同尺度函数因子更具不可预测性；因此可进一步提高混沌同步保密通信的抗破译能力.
自20世纪末以来，分数阶混沌系统及其同步研究受到了人们的广泛关注.目前，以分数阶混沌或超混沌系统作为对象、驱动系统与响应系统的状态被同步至常数尺度因子的PS方法[8]，同步到定常尺度矩阵的MPS方法[9]，以及同步到尺度函数的FPS方法[10]等均有研究报道.鉴于MFPS可获得更为复杂的同步关系，最近，文献[11]以一类部分线性的分数阶混沌系统作为驱动系统，利用驱动-响应同步原理，通过单变量耦合构造出此类系统的响应子系统，考虑时变函数矩阵作为尺度函数矩阵，并根据分数阶系统的Routh-Hurwitz条件，提出一种分数阶混沌系统的MFPS方法；文献[12]以分数阶和整数阶的统一混沌系统分别作为驱动系统和响应系统，采用主动控制思想，结合Lyapunov函数稳定性定理，提出具有自适应特性的MFPS方法.从现有资料看，分数阶混沌系统的MFPS主要采用同构系统作为研究对象，且少考虑系统参数的不确知性.
鉴于超混沌系统相比混沌系统具有更高的复杂性和不确定性；实际应用中难以获得两个完全相同的混沌系统，不同混沌系统间的同步更具广泛性，利于工程实现；实际混沌系统参数完全可能不确知或是漂移的，同步系统间的参数往往会发生偏离[13].本文为增强混沌同步保密通信系统的抗破译性能，针对两个不同分数阶超混沌系统的MFPS问题，考虑系统参数未知情形，提出一种MFPS方法.研究以显含时间的时变函数矩阵作为尺度函数矩阵，根据主动控制思想，从同步误差方程出发，设计出带有系统参数分数阶自适应估计律的MFPS控制器，采用Lyapunov稳定性理论证明同步误差系统的渐进稳定性，并以分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统为例，仿真结果验证了该同步方法的有效性.
1 分数阶超混沌系统MFPS数学模型
考虑如下形式的分数阶超混沌驱动系统和响应系统：
D■■x=f（x） （1）
D■■y=g（y）+u（t） （2）
式中：q∈（0，1）为分数阶微分阶次参数；D■■表示Caputo定义下阶次为q的分数阶微分算子[14]；x=（x1，x2，…，
xn）T∈ 分别为驱动系统和响应系统的状态向量；u是待设计的同步控制器.
定义1 对于任意初始状态的分数阶超混沌系统（1）和系统（2），在u的控制作用下，满足关系：
（3）
式中，H（t）=diag（h1（t），h2（t），…，hn（t））表示时变且可微的对角矩阵，则称驱动系统（1）和响应系统（2）实现MFPS[15].
定义驱动系统与响应系统的同步误差向量：
e=y-H（t）x （4）
式中， R ，且ei=yi-hi（t）xi ， （i=1， 2，…， n）.式（3）关系等价为同步误差距离满足关系
.
当h1（t）=h2（t）=…=hn（t）时，MFPS变为FPS；若h1（t）=h2（t）=…=hn（t）=常数，则MFPS退化为PS；当H（t）=I和H（t）=-I时，I为单位矩阵， MFPS将简化为完全同步和反相同步情形；因此，MFPS方案作为一种广义的同步类型，可获得较为复杂的驱动系统与响应系统同步关系，有利于提高混沌同步通信系统的保密性能.其中，设计恰当的同步控制规律u（t）是实现MFPS的關键.
2 MFPS控制器设计
将式（1）和式（2）整理成如下形式：
D■■x=f1（x）+f2（x）α （5）
D■■y=g1（y）+g2（y）β+u（t） （6）
式中， 分别表示驱动系统和响应系统的参数向量； 是连续函数向量；
为连续函数矩阵.结合式（5）和式（6）可得出同步误差系统：
D■■e（t）=D■■y-D■■[H（t）x]=g1（y）+g2（y）β-H（t）[f1（x）+f2（x）α]-[D■■H（t）]x+u（t） （7）
考虑系统参数均不确知情形，引入 分别表示驱动系统与响应系统的参数估计向量，并定义系统参数的估计误差向量：
eα=■-α，eβ=■-β （8）
式中，eα=（ea1， ea2，…， eam）T，eβ=（eb1， eb2，…， ebl）T.
根据主动控制思想，可设计如下的同步控制器u（t）： u（t）=-g1（y）-g2（y）■+H（t）[f1（x）+f2（x）■]+[D■■H（t）]x-Ke（t） （9）
驱动系统参数的分数阶自适应估计律：
D■■■=-f■■（x）H（t）e（t）-Peα （10）
以及响应系统参数的自适应估计律：
（11）
式中：增益矩阵K=diag（k1，k2，…，kn）， P=diag（p1， p2，…， pm）和 Q=diag（q1， q2，…， ql）均为正定矩阵，即K，P和Q中的各对角元素都大于0.
定理1 对于如下形式的分数阶动力学系统[16]：
D■■X=A（X）X （12）
其中： ， q∈（0，1].如果存在一个正定对称矩阵 ，且满足如下关系：
（13）
则系统（12）渐进稳定.
同步误差系统的稳定性证明：
构造如下形式的标量函数：
（14）
将式（7）～式（11）代入式（14），有：
结合定理1可知，在式（9）的控制规律作用下，当t→∞时，可使得同步误差系统（7）渐进稳定[16].
3 应用实例
3.1 实例的相关数学模型
选取分数阶超混沌Chen系统[17] ：
D■■x1=a1（x2-x1）+x4D■■x2=a2x1-x1x3+a3x2D■■x3=x1x2-a4x3D■■x4=x2x3+a5x4 （15）
作为响应系统，以及采用分数阶超混沌Lorenz系统建立如下响应系统[18]：
D■■y1=b1（y2-y1）+y4+u1D■■y2=b2y1-y1y3-y2+u2D■■y3=y1y2-b3y3+u3D■■y4=-y1y3+b4y4+u4 （16）
根据式（15）和式（16）可知，两系统状态向量分别为x=（x1， x2， x3， x4）T和y=（y1， y2， y3， y4）T；参数向量分别为α=（a1， a2， a3， a4， a5）T和β=（b1， b2， b3， b4）T；控制向量u=（u1， u2， u3， u4）T；对应的系统函数向量和矩阵形式为：
f1（x）= ， f2（x）= ，
（17）
g1（y）= ， g2（y）=
当α=（35，7，12，3，0.5）T，β=（10，28，8/3，-1）T，q=0.95时，两分数阶系统的自由运动均处超混沌状态[17-18].利用预估-校正算法数值求解分数阶系统[19]，图1示出了分数阶Chen系统和分数阶Lorenz系统的超混沌吸引子.
选取时变函数矩阵H（t）为：
H（t）=diag（h1（t），h2（t），h3（t），h4（t））=diag（1+sint，1+cost，2sint，2cost） （18）
则根据式（9）设计出同步控制器数学表达式：
（19）
并分别根据式（10）和式（11），得出驱动系统的参数自适应估计律：
（20）
以及响应系统的参数自适应估计律：
（21）
3.2 实例的同步仿真结果及分析
采用MATLAB软件仿真环境，分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统的系统参数大小，以及分数阶次q的取值如前所述；两系统的初始状态分别为x（0）=（8， -5， 20， 10）T和y（0）=（2， 6， 9， 2）T；选取仿真积分步长0.001 s，各增益矩阵的对角元素取值（k1， k2， k3， k4）=（20，100，160，800），（p1， p2， p3， p4， p5）=（600， 80， 40， 600， 560），（q1， q2， q3， q4）=（70， 60， 640， 60），并假定系統参数的估计初值■（0）=■（0）=0.为验证本文所提出同步方法的有效性，仿真中先让驱动系统和响应系统自由演化4 s，使系统运动充分进入超混沌轨道状态，然后再对分数阶超混沌Lorenz响应系统施加式（19）形式的控制作用.
图2示出了分数阶超混沌Chen系统与分数阶超混沌Lorenz系统间实现MFPS的状态变化轨线.图3是同步误差演化图.由图2和图3可见，施加同步控制作用前，响应系统和驱动系统呈现两个完全不同的超混沌运动轨迹；在施加同步控制作用后，带时变函数比例因子的驱动系统和响应系统间快速实现同步，且各状态轨线满足关系yi=Ri（t）=hi（t）xi，i=（1，2，3，4），同时同步误差迅速为0.图4和图5分别给出了驱动系统和响应系统的参数估计变化曲线.由图4和图5明显看出，参数的分数阶自适应估计律可使得系统未知参数的估计值最终与真实值相同.这些图示结果表明，本文基于Lyapunov稳定性理论的分数阶超混沌系统MFPS方法稳定收敛且有效.
4 结语
研究提出一种系统参数未知、两个不同分数阶超混沌系统的MFPS方法.由于该同步方法的尺度矩阵是时变函数矩阵H（t），这使得分数阶超混沌系统的同步关系具有更强的复杂度和不可预测性，且完全同步、反相同步、函数投影同步等均为该同步方法的特例.研究基于Lyapunov稳定性理论设计出具有未知参数分数阶自适应估计律的同步控制器，并以实现分数阶超混沌Chen系统和分数阶超混沌Lorenz系统间的MFPS为例，仿真结果验证了该同步方法的有效性.研究结果为探索更为复杂的混沌同步关系，提高混沌保密通信系统的抗破译性能，提供了有用的同步方法参考.
参考文献
[1] PECORA L M，CARROLL T L. Synchronization in chaotic systems[J]. Physical Review Letters，1990，64（8）：821-823. [2] WU X J， WANG H， LU H T. Modified generalized projective synchronization of a new fractional-order hyperchaotic system and its application to secure communication[J].Nonlinear Analysis： Real World Applications，2012， 13（3）：1441-1450.
[3] 赵宁， 高远， 范健文，等. 分数阶混沌系统的广义同步研究[J].广西工学院学报，2012， 23（2）：14-18.
[4] MAINIERI R， REHACEK J. Projective synchronization in three-dimensional chaotic systems[J]. Physical Review Letters，
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[6] GAO Y， LIANG C H， WU Q Q， et al. A new fractional-order hyperchaotic system and its modified projective synchronization[J]. Chaos Solitons and Fractals，2015，76（9）：190-204.
[7] 董俊，张广军，姚宏，等. 异结构的分数阶超混沌系统函数投影同步及参数辨识[J]. 电子与信息学报，2013，35（6）：
1371-1375.
[8] ZHOU P， BAI R J， ZHENG J M. Projective synchronization for a class of fractional-order chaotic systems with fractional-order in the （1，2） interval[J]. Entropy，2015，17（3）：1123-1134.
[9] 李建芬，李农，陈长兴. 利用单驱动变量实现一类分数阶混沌系统的修正投影同步[J]. 物理学报，2010，59（11）：
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Abstract： In order to obtain more complex chaos synchronization relationships， considering the time-varying scaling function matrix， the paper proposes a modified function projective synchronization（MFPS） method for two different fractional-order hyperchaotic systems with unknown system parameters. The MFPS controller and fractional-order adaptive estimator of unknown system parameters are designed， and then the asymptotic stability of synchronization error system with presented controller is proved by Lyapunov stability theory. The MFPS between fractional-order hyper-chaotic Chen system and fractional-order hyper-chaotic Lorenz system is taken as a typical example， the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed MFPS method.
Key words： fractionalorder； hyper-chaotic system； time-varying scaling function； modified function projective synchronization； parameter estimation
（学科编辑：黎 娅）