论文部分内容阅读
摘 要：学习数学离不开思维，思维离不开数学思想，数学思想包括：数形结合思想、函数思想、化归转化思想、分类思想等。在初中数学中逐步渗透数学思想，培养学生的思维能力，使其形成良好的数学思维习惯，是我们每一位初中数学教育工作者时刻注意的关键问题。如果能够把握好，就能提高学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力，从而提高学生的数学素养，达到对学生思想观念层次上的数学教育。
关键词：思维渗透；数学学习；数学思想方法；思维能力；契合点；创新意识；数形结合
推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多地关注学生的学习方法和策略。数学家乔治·波利亚说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生学会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点，从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，使其形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，又是进行数学素质教育的一个切入点。本文仅谈谈数形结合思想在教学中的渗透。
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
数形结合思想贯穿于初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：
（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）；
（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题；
（3）与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
数形结合的思想方法，不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，经过长期积累，不断地丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的主动应用。
一、渗透数形结合的思想，养成用数形结合思想分析问题的意识
每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度、温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看做是一条直线，教室里每个学生的座位等等，我们可利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系，二次函数的图象与一元二次不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的解之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。
例1.根据所给图形在下列横线上填上合适的数字，并说明理由：1，3，6，10，15，21，28，36。在讲解通过形来说明数的找规律问题时应该从形中找数。如第一个图形有一个小正方形，第二个图形有三个小正方形，第三个图形有六个小正方形，那么第四个图形将有几个小正方形呢？从前三个中寻找规律，第二个比第一个多两个小正方形，第三个比第二个多三个小正方形，那么第四个就比第三个多四个小正方形，第四个图形就有十个小正方形，第五个比第四个多五个小正方形，那么第五个就有十五个小正方形，依此类推，第六个图形就有二十一个小正方形，第七个图形就有二十八个小正方形，第八个图形就有三十六个小正方形。那么上面的横线上分别填上10，15，21，28，36，第n个图形就应该有1 2 3 4 5 6… n个小正方形。这也体现了数形结合的思想。
例2.小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家。你能在平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系吗？
将探索规律和生活中的实际问题结合起来，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该按照从特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。
二、学习数形结合思想，挖掘问题的特点，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力
在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，这就成为解决问题的关键所在。数形结合的思想主要体现在以下几个方面：
（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；
（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；
（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
例1.一个角的补角是这个角余角的3倍，求这个角的度数。
解：设这个角为x度，则它的余角为（90－x）度,它的补角为（180－x）度，根据题意得：
180－x=3x（90－x）
解这个方程得：x=45
所以这个角为45度。
例2.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m。如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为（8－2x）m，宽为（5－2x）m。根据题意，可得方程（8－2x）（5－2x）=18。
解这个方程得出x的值。
这是用方程的方法来解决有关几何量的问题。
例3. A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数，1小时后乙距A地120千米，2小时后甲距A地40千米，问经过多长时间两人相遇？
分析：可以分别作出两人s与t之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了。
这是用函数图象来解决方程或实际问题。
（作者单位 湖南省常德市汉寿县南岳路实验学校）
关键词：思维渗透；数学学习；数学思想方法；思维能力；契合点；创新意识；数形结合
推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多地关注学生的学习方法和策略。数学家乔治·波利亚说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生学会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点，从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，使其形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，又是进行数学素质教育的一个切入点。本文仅谈谈数形结合思想在教学中的渗透。
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
数形结合思想贯穿于初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：
（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）；
（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题；
（3）与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
数形结合的思想方法，不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，经过长期积累，不断地丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的主动应用。
一、渗透数形结合的思想，养成用数形结合思想分析问题的意识
每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度、温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看做是一条直线，教室里每个学生的座位等等，我们可利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系，二次函数的图象与一元二次不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的解之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。
例1.根据所给图形在下列横线上填上合适的数字，并说明理由：1，3，6，10，15，21，28，36。在讲解通过形来说明数的找规律问题时应该从形中找数。如第一个图形有一个小正方形，第二个图形有三个小正方形，第三个图形有六个小正方形，那么第四个图形将有几个小正方形呢？从前三个中寻找规律，第二个比第一个多两个小正方形，第三个比第二个多三个小正方形，那么第四个就比第三个多四个小正方形，第四个图形就有十个小正方形，第五个比第四个多五个小正方形，那么第五个就有十五个小正方形，依此类推，第六个图形就有二十一个小正方形，第七个图形就有二十八个小正方形，第八个图形就有三十六个小正方形。那么上面的横线上分别填上10，15，21，28，36，第n个图形就应该有1 2 3 4 5 6… n个小正方形。这也体现了数形结合的思想。
例2.小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家。你能在平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系吗？
将探索规律和生活中的实际问题结合起来，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该按照从特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。
二、学习数形结合思想，挖掘问题的特点，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力
在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，这就成为解决问题的关键所在。数形结合的思想主要体现在以下几个方面：
（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；
（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；
（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
例1.一个角的补角是这个角余角的3倍，求这个角的度数。
解：设这个角为x度，则它的余角为（90－x）度,它的补角为（180－x）度，根据题意得：
180－x=3x（90－x）
解这个方程得：x=45
所以这个角为45度。
例2.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m。如果地毯中央长方形图案的面积为18平方米，那么花边有多宽？
如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为（8－2x）m，宽为（5－2x）m。根据题意，可得方程（8－2x）（5－2x）=18。
解这个方程得出x的值。
这是用方程的方法来解决有关几何量的问题。
例3. A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数，1小时后乙距A地120千米，2小时后甲距A地40千米，问经过多长时间两人相遇？
分析：可以分别作出两人s与t之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了。
这是用函数图象来解决方程或实际问题。
（作者单位 湖南省常德市汉寿县南岳路实验学校）